全等三角形基本模型綜合訓練(三)(原卷版+解析)

全等三角形基本模型綜合訓練（三）1．如圖，在等腰直角△ABC中，，D、E是BC上的兩點，且BD＝CE，過D、E作DM、EN分別垂直AB、AC，垂足為M、N，延長MD、NE交于點F，連接AD、AE．其中：①四邊形AMFN是正方形；②△ABE△ACD；③當時，，正確的結論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC為邊向上作正方形BCDE，以AC為邊作正方形ACFG，點D落在GF上，連結AE，EG．若DG＝2，BC＝6，則△AEG的面積為（）A．4 B．6 C．5 D．83．如圖，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O為AC的中點，K為BC上一點，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分別交BN、OB于M、F，AC交BN于E，連接OM，下列結論：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，則．其中正確結論的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，中，，點D在內部，且使得．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．不能確定5．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，點E為BC延長線上一點，連接AE．延長CB至點D，使BD＝CE，連接AD，過點B作CD的垂線，過點C作AD的垂線交AD于點F，兩條垂線相交于點H，連接AH、DH．下列結論：①CH＝AD②∠ACH＋∠BAD＝45°③BD＋CG＝GH④⑤若，則，其中正確的有______（請?zhí)顚懶蛱枺?．如圖，在邊長為3的正方形中，點是邊上一點，點是延長線上一點，，連接，交于點，過點Ａ作于，延長交于點，連接，若，則______．7．如圖，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為_________8．如圖，BD為四邊形ABCD的對角線，，，，，，則AB的長為______．9．如圖，在中，，，，點C在直線l上．點P從點A出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點B運動；點Q從B點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點A運動．點P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應的終點時整個運動才能停止．在某時刻，分別過P和Q作于點E，于點F，則點P的運動時間等于_____秒時，與全等．10．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形（如圖1）．下面就讓小聰同學帶領你們來探索垂美四邊形的奧秘吧！請看下面題目：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系．猜想結論：（要求用文字語言敘述）寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證、證明）．（3）如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，則GE長為．(直接寫出結果，不需要寫出求解過程)11．如圖，直線l1∥l2，點A，B為直線l1的兩點，點C，D為直線l2的兩點，且滿足AB⊥AC，點E為直線l1，l2之間的一點，滿足∠AEC＝90°．(1)如圖1，當∠CAE＝45°，AB⊥BE時，線段AB與AC的數(shù)量關系為（直接寫出答案）．(2)直線BE交線段CD于點F，且滿足∠CEF＝45°；①如圖2，若∠ACE＝30°，AB＝2，求AC的長；②如圖3，若AC＝CD，用等式表示線段AB，CF，AD之間的數(shù)量關系，并證明．12．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．(1)請直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關系；(2)將圖1中的△CDE繞點C按逆時針旋轉，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．13．如圖1，已知△ABC，，，點E為AB邊上一點，過點E作于點F，連接CE，點G為CE的中點，連接GF，GB．(1)線段GF與GB的數(shù)量關系為；(2)將Rt△AEF繞點A逆時針旋轉，如圖2所示，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)在平面內，將Rt△AEF繞點A旋轉，當點F落在AB邊上時，若，，求BG的長．全等三角形基本模型綜合訓練（三）1．如圖，在等腰直角△ABC中，，D、E是BC上的兩點，且BD＝CE，過D、E作DM、EN分別垂直AB、AC，垂足為M、N，延長MD、NE交于點F，連接AD、AE．其中：①四邊形AMFN是正方形；②△ABE△ACD；③當時，，正確的結論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【詳解】∵DM、EN分別垂直AB、AC，垂足為M、N，∴∠AMF=∠ANF=90°，又∵∠BAC=90°，∴四邊形AMFN是矩形；∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=45°，∵DM⊥AB，EN⊥AC，∴△BDM和△CEN均為等腰直角三角形，又∵BD=CE，∴△BDM≌△CEN（AAS），∴BM=CN∴AM=AN，∴四邊形AMFN是正方形，故①正確；∵BD=CE，∴BE=CD，∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠C=45°，AB=AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），故②正確；如圖所示過，過B作B⊥BC，取B=CE，連接A、D，則∠BA=∠C=45°，∴△AB≌△ACE（SAS），∴∠BA=∠CAE，A=AE∵∠DAE=45°，∴∠CAE+∠BAD=∠BA+∠BAD=∠AD=45°=∠DAE∴△ADE≌△AD（SAS），∴D=DE，∵∠DB=90°，∴B2+BD2=D2，∴，故③正確；綜上，正確的有①②③，共3個．故選：D．2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC為邊向上作正方形BCDE，以AC為邊作正方形ACFG，點D落在GF上，連結AE，EG．若DG＝2，BC＝6，則△AEG的面積為（）A．4 B．6 C．5 D．8【答案】D【詳解】解：過點E作于點H，過點E作，垂足為，交的延長線于點在正方形中，，正方形中，，，四邊形是矩形在和中，，，，，三點同在一條直線上，四邊形是矩形，，，與中，，四邊形是正方形設正方形的邊長為，則，，（舍去），，與中，，故選：D．3．如圖，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O為AC的中點，K為BC上一點，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分別交BN、OB于M、F，AC交BN于E，連接OM，下列結論：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，則．其中正確結論的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解:①∵NC⊥BC，∴∠BCN=90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BCN=∠ABC，∵AB=BC，NC＝BK，∴△ABK≌△BCN（SAS），∴∠KBM=∠BAM，∵∠ABC=∠KBM+∠ABM=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠ABM+∠BAM+∠AMB=180°，∴∠AMB=90°，∴AK⊥BN；②∵AB=AC，∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵O為AC的中點，∴BO是等腰直角三角形ABC的中線垂線角平分線，∴OB=OA，∠BOE=∠AOF=90°，∠OBC=∠ABC=45°，∠BAC=45°，∵∠OBC=∠KBM+∠OBE=45°，∠BAC=∠BAM+∠OAF=45°，∠KBM=∠BAM，∴∠OBE=∠OAF，∴△OBE≌△OAF(ASA)，∴OE=OF；③∵∠BOE=90°，OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OFE=45°，∵∠AMB=90°，∠AMB+∠AME=180°，∴∠AME=90°，∴∠AME+∠BOE=180°，∴E、M、F、O四點共圓，∴∠OMN=∠OFE，∴∠OMN=45°；④如圖，取AF的中點G連接OG，∵∠ABF=90°，∴OG是直角三角形AOF的中線，∴OG=AG=AF，∴∠GOA=∠OAM，∵∠BAC=45°，∠OAF=∠BAF，∠OAF+∠BAF=∠BAC，∴∠OAF=22.5°，∴∠GOA=22.5°，∵∠OGM=∠GOA+∠OAF，∴∠OGM=45°，∵∠AME=∠OMN+∠OMG=90°，∠OMN=45°，∴∠OMG=45°，∴∠OMG=∠OGM=45°，∴OM=OG，∴OM=AF，∴．故選：D．3．如圖，中，，點D在內部，且使得．則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【詳解】如圖，在內作，且使得，連，在和中，，，為等腰三角形，為等腰三角形，，，，為等邊三角形，為等腰三角形，延長CE交AD于F點，故選：C．5．如圖，在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，點E為BC延長線上一點，連接AE．延長CB至點D，使BD＝CE，連接AD，過點B作CD的垂線，過點C作AD的垂線交AD于點F，兩條垂線相交于點H，連接AH、DH．下列結論：①CH＝AD②∠ACH＋∠BAD＝45°③BD＋CG＝GH④⑤若，則，其中正確的有______（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣佗冖堋驹斀狻窟B接EG，如圖，在Rt△ACB中，有AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵CH⊥AD，BH⊥CD，∴∠HBC=∠CFD=90°，∴∠ACF+∠FCD=∠FCD+∠CDF=∠BHC+∠FCD=90°，∴∠ACF=∠CDF=∠BHC，∵AC=BC，∴，∴CH=AD，CD=BH，故①正確；∵∠CDF+∠BAD=∠ABC=45°，∴∠ACH+∠BAD=45°，故②正確，∵EC=BD，∴BE=EC+BC=BC+BD=CD，∴BE=BH，∵∠ABC=45°，∠CBH=90°，∴∠CBA=∠ABH=45°，∴結合BG=BG，有，∴GH=GE，∵在△EGC中，EC+CG＞EG，EC=BD，∴BD+CG＞GH，故③錯誤；∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，故④正確；根據(jù)，設BH=5，CB=4，則有CD=HB=5，AC=BC=4，∴BD=CD-BC=5-4=1，∴，在Rt△ACD中，利用股溝定理可得，∴CH=AD=，∵AD⊥CH，∴，∴，∴HF=CH-CF=，∴，∴，故⑤錯誤；故答案為：①②④．6．如圖，在邊長為3的正方形中，點是邊上一點，點是延長線上一點，，連接，交于點，過點Ａ作于，延長交于點，連接，若，則______．【答案】【詳解】解：連接CH，∵為正方形，邊長為3，，∴，，，在和中，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴為等腰直角三角形，即，∵，∴，即H為EF中點，∵，∴，即，在和中，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，設，則，，∵為等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解之得：，∴．故答案為：7．如圖，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為_________【答案】【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥BC，連接DF，設AF=x，則BF=4－x，∵EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，∴DF=AF=x，∵，∴，∵FD≥FH，∴，解得：，∴AF最小值是，∴BF的最大值是．故答案為：．8．如圖，BD為四邊形ABCD的對角線，，，，，，則AB的長為______．【答案】【詳解】如圖，延長至，使得，延長至，使得，作在與，設，則，設，則中，中，，，解得，中，9．如圖，在中，，，，點C在直線l上．點P從點A出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點B運動；點Q從B點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點A運動．點P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應的終點時整個運動才能停止．在某時刻，分別過P和Q作于點E，于點F，則點P的運動時間等于_____秒時，與全等．【答案】2或或12【詳解】解：∵△PEC≌△CFQ∴PC=CQ分以下五種情況：①如圖1，P在AC上，Q在BC上，∵PE⊥l，QF⊥1，∴∠PEC=∠QFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，∴∠EPC=∠OCF，要使△PEC≌△CFQ，則需PC=CQ，∵PC=6-t,CQ=8-2t，∴6-t=8-2t，解得：t=2；②如圖2，P在BC上，Q在AC上，∵PC=t-6,CQ=2t-8，∴t-6=2t-8，解得：t=2；③如圖3:當P、Q都在AC上時，∵CP=6-t,CQ=2t-8，∴6-t=2t-8，解得：t=；④當Q到A點停止，P在BC上時，PC=AC=6，QC=t-6∴6=t-6，解得：t=12；⑤P和2都在BC上的情況不存在∵P的速度是每秒1個單位每秒，Q的速度是2個單位每秒，∴P和Q都在BC上的情況不存在．故答案為:2或或12．10．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形（如圖1）．下面就讓小聰同學帶領你們來探索垂美四邊形的奧秘吧！請看下面題目：（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．（2）試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系．猜想結論：（要求用文字語言敘述）寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證、證明）．（3）如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=2cm，AB=3cm，則GE長為．(直接寫出結果，不需要寫出求解過程)【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，證明見解析；（2）猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等，證明過程見解析；（3）cm【詳解】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．證明：連接AC、BD，∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．如圖，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，求證：AD2+BC2=AB2+CD2證明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）cm；理由：連接CG、BE，BG與CE交于N點，AB、CE交于M點，如圖，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠BAG=∠CAE，∵AC=AG，AB=AE，∴△BAG≌△EAC，∴∠ABG=∠AEC，∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，∴∠ABG+∠∠BMN=90°，∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，∴由（2）的結論可知，∵正方形的性質有BE=AB，GC=AC，∴BE=3，GC=2，∵在Rt△ABC中，AB=3，AC=2，∴理由勾股定理有，∴，∴（cm）．11．如圖，直線l1∥l2，點A，B為直線l1的兩點，點C，D為直線l2的兩點，且滿足AB⊥AC，點E為直線l1，l2之間的一點，滿足∠AEC＝90°．(1)如圖1，當∠CAE＝45°，AB⊥BE時，線段AB與AC的數(shù)量關系為（直接寫出答案）．(2)直線BE交線段CD于點F，且滿足∠CEF＝45°；①如圖2，若∠ACE＝30°，AB＝2，求AC的長；②如圖3，若AC＝CD，用等式表示線段AB，CF，AD之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)AB=AC；；(2)①，過程見解析；②AB+CF=AD，理由見解析.【解析】(1)∵AB⊥BE，∴∠ABE=90°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，又∵∠CAE=45°，∴∠BAE=90°-45°=45°故△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，又∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE=AC，∴AB=AE=×AE=AC；(2)過點B作BM⊥AE，垂足為點M，如下圖所示，∵∠AEC=90°，∠CEF=45°，∴∠AEB=180°-∠AEC-∠CEF=180°-90°-45°=45°，又∵BM⊥AE，∴∠BME=90°，∴∠MBE=180°-∠BME-∠AEB=180°-90°-45°=45°，∴∠AEB=∠MBE，∴BM=EM，又∵ACE=30°，∠AEC=90°，∴∠CAE=60°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠BAE=30°，又∵BM⊥AE，AB=2，∴BM=AB=，∴EM=，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得：AM===，∴AE=AM+EM=，∵∠ACE=30°，∠AEC=90°，∴△AEC是含30°銳角的直角三角形，∴AE=AC，故AC=2·AE=；②線段AB、CF、AD之間滿足的數(shù)量關系：AB+CF=AD，理由如下：設AD與BF的交點為P，如下圖所示，∵AB∥CD，AB⊥AC，∴CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∵∠CEF=45°，∴∠CAD=∠CEF，∴A、E、P、C四點共圓，∴∠AEC=∠APC=90°，∴CP是等腰直角三角形ACD的斜邊的高和中點，∴AP=DP，∵AB∥CD，∴∠BAP=∠FDP，在△BAP和△FDP中，∴△BAP≌△FDP，∴AB=DF，又∵△ACD是等腰直角三角形，∴CD=AD，∴AB+CF=DF+CF=CD=AD，即AB+CF=AD．12．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．(1)請直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關系；(2)將圖1中的△CDE繞點C按逆時針旋轉，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF；(2)①成立，理由見解析；②1≤S△ADF≤4.【解析】(1)解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：延長DF交AB于H，連接AF，∵∠EDC=∠BAC=90°，∴DE∥AB，∴∠ABF=∠FED，∵F是BE中點，∴BF=EF，又∠BFH=∠DFE，∴△DEF≌△HBF，∴BH=DE，HF=FD，∵DE=CD，AB=AC，∴BH=CD，AH=AD，∴△ADH為等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，又HF=FD，∴AF⊥DH，∴∠FAD=∠ADF=45°，即△ADF為等腰直角三角形，∴AD=DF;(2)解：①結論仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下：