第07講角平分線的性質(zhì)（原卷版）-2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)課（人教版）

第07講角平分線的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質(zhì)的過(guò)程中，掌握角平分線的作法和角平分線的性質(zhì).2.提高綜合運(yùn)用三角形全等的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力；掌握簡(jiǎn)單的角平分線在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用.【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)01作已知角的平分線1、用尺規(guī)作已知角的平分線的步驟已知:∠AOB,如圖.求作:∠AOB的平分線.作圖步驟第一步第二步第三步【注意】(1）第二步中必須“以大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧”,否則，兩弧不相交,不存在點(diǎn)C,無(wú)法作出角的平分線.(2)“畫(huà)射線OC”不能敘述為連接OC,因?yàn)榻瞧椒志€OC是射線,而不是線段.(3)兩弧的交點(diǎn)要在角的內(nèi)部來(lái)找,因?yàn)橐鞯氖墙堑钠椒志€.2、尺規(guī)作圖理論依據(jù)【注意】角平分線的尺規(guī)作圖的依據(jù)是全等三角形的判定知識(shí)點(diǎn)02的平分線的性質(zhì)1、角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的相等.幾何語(yǔ)言：【注意】(1)這里的“距離”指的是點(diǎn)到角的兩邊的;(2)該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù),不需要再來(lái)證:明三角形全等;(3)使用該性質(zhì)的前提條件是圖中有和.【特別注意】角平分線性質(zhì)的“兩誤區(qū)”(1)垂足的位置不對(duì):如圖,垂線段的垂足應(yīng)在角的兩邊上，而不是在角平分線上;(2)有相等無(wú)垂直:如圖,PC=PD,但PC,PD的長(zhǎng)不是點(diǎn)P到OA,OB的距離.知識(shí)點(diǎn)03角的平分線的判定1、角平分線的判定:角的到角的兩邊的的點(diǎn)在角的平分線上.2、幾何語(yǔ)言：【注意】（1）角的平分線可以看作是由角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)組成的射線.（2）注意不能缺少,這兩個(gè)條件.（3）角平分線的性質(zhì)和判定的條件和結(jié)論是互逆的,在應(yīng)用的時(shí)候一定要分清條件及得到的結(jié)論.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：作已知角的平分線例1．如圖,AB//CD,以點(diǎn)A為圓心,小于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,分別交AB,AC于E,F兩點(diǎn),再分別以點(diǎn)E,F為圓心,大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線AP,交CD于點(diǎn)M.若∠ACD=114°,求∠MAB的度數(shù).考點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)例2．如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,點(diǎn)D到直線AB的距離是cm.考點(diǎn)三：證明一個(gè)幾何命題的一般步驟例3．求證全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等.1、明確命題中的已知和求證2、根據(jù)題意，畫(huà)出幾何圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證解：已知：△ABC≌△EFG，AD⊥BC,EM⊥FG，如圖：3、經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫(xiě)出推理過(guò)程證明：考點(diǎn)四：角平分線的判定例4．如圖,BE=CF,BF⊥AC于點(diǎn)F,CE⊥AB于點(diǎn)E,BF和CE交于點(diǎn)D.求證:AD平分∠BAC.考點(diǎn)五：利用角的平分線解決線段長(zhǎng)度問(wèn)題例5．如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分線,DE上AB于點(diǎn)E.已知AB=10cm,則三角形DBE的周長(zhǎng)為( )A.10cm B.8cm C.12cm D.9cm考點(diǎn)六：利用角的平分線解決角度問(wèn)題例6．如圖,已知∠1=∠2,P為BN上一點(diǎn),PF⊥BC于點(diǎn)F，PA=PC.求證:∠PCB＋∠BAP=180°.考點(diǎn)七：利用角的平分線解決與面積有關(guān)的問(wèn)題例7．如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)為24，BO,CO分別平分∠ABC和∠ACB,OD上BC于點(diǎn)D,且OD=2,則△ABC的面積為;考點(diǎn)八：角的平分線的判定綜合應(yīng)用例8．如圖,AP,CP分別是∠ABC的外角∠MAC與∠NCA的平分線,它們相交于點(diǎn)P,PD⊥BM于點(diǎn)D,PF⊥BN于點(diǎn)F.求證:點(diǎn)P在∠MBN的平分線上.考點(diǎn)九：角的平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例9．如圖,三條公路兩兩相交于A,B,C三點(diǎn).現(xiàn)計(jì)劃修建一加油站,要求這個(gè)加油站到三條公路的距離相等.請(qǐng)問(wèn):可供選擇建站的地方有多少處?并在圖中畫(huà)出來(lái).考點(diǎn)十：角的平分線的性質(zhì)在探究題型中的應(yīng)用例10．如圖,已知AD//BC,∠ADP=90°,AP平分∠DAB,BP平分∠ABC,點(diǎn)P恰好在DC上.(1)求證:P為DC的中點(diǎn);(2)試探究線段AB,AD,BC的數(shù)量關(guān)系.例11．如圖所示,Q是△OAB的角平分線OP上的一點(diǎn),PC⊥OA于點(diǎn)C,PD⊥OB于點(diǎn)D,QE⊥OB于點(diǎn)E,FQ⊥OQ交OA于點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的是（）A.PA=PB B.PC=PD C.PC=QE D.QE=QF【即學(xué)即練】1．如圖，點(diǎn)P在∠MON的角平分線上，過(guò)點(diǎn)P作OP的垂線交OM，ON于C、D，PA⊥OM．PB⊥ON，垂足分別為A、B，EP∥BD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．CP＝PD B．PA＝PB C．PE＝OE D．OB＝CD2．如圖,OP平分∠MON,

PA⊥ON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若PA=2，OA=3，則PQ長(zhǎng)的最小值為(

)A．1 B．2 C．3 D．43．尺規(guī)作圖作的平分線方法如下：以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交、于、，再分別以點(diǎn)、為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線由作法得的根據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交邊AC于點(diǎn)D．若，AB＝12，則△ABD的面積為（

）A． B． C． D．5．如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°6．如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，PR=PS.下列結(jié)論：①點(diǎn)P在∠A的角平分線上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則供選擇的地址有（）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處8．如圖，已知在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是（

）A．24 B．30 C．36 D．429．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A．8 B．6 C．4 D．210．如圖，△ABC的兩條外角平分線AP、CP相交于點(diǎn)P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60o，則下列結(jié)論：①∠ABP=30o；②∠APC=60o；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．411．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸、y軸的正半軸上分別截取OA、OB，使OA=OB；再分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為()，則a的值為_(kāi)_______．12．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）求證：AB+AD=2AE.13．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在CD上，EA，EB分別平分∠DAB和∠CBA，設(shè)AD＝x，BC＝y(tǒng)且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的長(zhǎng)．14．如圖,∠1=∠2,P為BN上一點(diǎn),且PD⊥BC于點(diǎn)D,AB+BC=2BD，試說(shuō)明:∠BAP+∠BCP=180°.【課后鞏固】1．如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠COP＝∠DOP B．PC＝PD C．OC＝OD D．∠COP＝∠OPD2．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若PA2，則PQ的長(zhǎng)不可能是（

）A．4 B．3.5C．2 D．1.53．如圖，在中，，以頂點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，，，當(dāng)最小時(shí)，的面積是（

）A．2 B．1 C．6 D．74．小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是()A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等D．以上均不正確5．如圖：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，則PD=（

）A．4 B．3C．2 D．16．如圖，BN為∠MBC的平分線，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠APC+∠ABC＝180°，給出下列結(jié)論：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四邊形BAPC的面積是△PBD面積的2倍，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．如圖：AB、AC、BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（

）A．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)位置 B．△ABC三條高的交點(diǎn)位置C．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)位置 D．以上說(shuō)法都不正確8．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）A．11 B．5.5C．7 D．3.59．如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是20，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD=3，則△ABC的面積是（）A．20 B．25 C．30 D．3510．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①PM=PN；②OM+ON的值不變；③MN的長(zhǎng)不變；④四邊形PMON的面積不變，其中，正確結(jié)論的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④11．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為30、40、15，點(diǎn)P是三條角平分線的交點(diǎn)，將△ABC分成三個(gè)三角形，則︰︰等于