專題02三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用(原卷版+解析)

二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題02——三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用（成都專用）1．（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？茧A段練習(xí)）北京時間2022年6月5日10時44分，神舟十四號載人飛船在酒泉發(fā)射升空，為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵志條幅GF．如圖，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯xGE為18.5米，當(dāng)小亮站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓方向前行15米到達(dá)點(diǎn)D處（樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)B，D在一條直線上），在點(diǎn)D正上方點(diǎn)C處測得條幅底端F的仰角為42°，若AB，CD均為1.7米（即四邊形ABCD為矩形），請你幫助小亮計算：(1)當(dāng)小亮站在B處時離教學(xué)樓的距離BE；(2)求條幅GF的長度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，2．（2020春·四川成都·九年級成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，某測量員測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹左側(cè)一斜坡上端點(diǎn)A處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點(diǎn)C處，測得樹頂端D的仰角為60°．已知A點(diǎn)的高度AB為3米，臺階AC的坡度為1:3（即AB:BC=1:3），且B、C、（1）求斜坡AC的長；（2）請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度．（側(cè)傾器的高度忽略不計）3．（2018秋·四川成都·九年級成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，山坡上有一棵樹AB，樹底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為63米，山坡的坡角為30°，小寧在山腳的平地F處測量這棵樹的高，點(diǎn)C到測角儀EF的水平距離CF=1米，從E測得樹頂部A的仰角為45°，樹底部B的仰角為20°（1）求DF的長．（2）求AB的高度（精確到0.1米）．（參考數(shù)值：sin20°≈0.34,4．（2020秋·四川成都·九年級成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，海中有一小島A，一貨輪在A島南偏西54°的B處，由西向東航行，一段時間后到達(dá)該島南偏西25°的C處，貨輪從C處繼續(xù)向東航行44.65海里，此時貨輪與島A的距離最近，求貨輪在B處時與小島A的距離.（精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42,?cos25°=0.91，5．（2022春·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校校考期中）在“停課不停學(xué)”期間，小明用電腦在線上課，圖1是他的電腦液晶顯示器的側(cè)面圖，顯示屏AB可以繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度．研究表明：當(dāng)眼睛E與顯示屏頂端A在同一水平線上，且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角，即望向屏幕中心PAP=BP的視線EP與水平線EA的夾角∠AEP=18°時，對保護(hù)眼睛比較好，而且顯示屏頂端A與底座C的連線AC與水平線CD垂直時（如圖2）時，觀看屏幕最舒適，此時測得∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶顯示屏的寬AB為30（1）求眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE．（結(jié)果精確到1cm（2）求顯示屏頂端A與底座C的距離AC．（結(jié)果精確到1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，6．（2021·四川成都·成都外國語學(xué)校?？级＃檑`行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，在一個坡度（或坡比）i=1:2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)棵古樹CD，測得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC=26m，在距山腳點(diǎn)A處水平距離6m的點(diǎn)E處測得古樹頂端D的仰角∠AED=48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹CD所在直線與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為多少米？（結(jié)果精確到整數(shù)）（數(shù)據(jù)sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，7．（2021春·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校?？计谥校﹫D1所示的是某景區(qū)的“關(guān)帝圣像”，它從2007年1月開始鑄造，共用銅500噸，鐵2000噸，甚是偉岸壯觀．其側(cè)面示意圖如圖2所示．在B處測得圣像頂A的仰角為52.8°，在點(diǎn)E處測得圣像頂A的仰角為63.4°．已知AC⊥BC于點(diǎn)C,EG⊥BC于點(diǎn)G,EF//BC,BG=30米，F(xiàn)C=19米，求圣像的高度AF．(結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin52.8°≈0.80,cos52.8°≈0.60，8．（2021·四川成都·成都外國語學(xué)校?？家荒＃┠硡^(qū)域平面示意圖如圖所示，點(diǎn)D在河的右側(cè)，紅軍路AB與某橋BC互相垂直．某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動中，在C處測得點(diǎn)D位于西北方向，又在A處測得點(diǎn)D位于南偏東65°方向，另測得BC=414m，AB=300m（參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91，cos9．（2018秋·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┬∶飨胍獪y量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3米到達(dá)A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺階到達(dá)C處，測得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°．已知A點(diǎn)離地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三點(diǎn)在同一直線上．（1）求樹DE的高度；（2）求食堂MN的高度．10．（2018秋·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一艘觀光游船從港口A處以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號．一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向．（1）求海警船距離事故船C的距離BC．（2）若海警船以40海里/小時的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處大約所需的時間．（溫馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6）11．（2019·四川成都·成都外國語學(xué)校校考一模）如圖，在某校圖書館門前一段筆直的內(nèi)部道路AB上，過往車輛限速3米/秒在點(diǎn)B的正上方距其7米高的C處有一個探測儀．一輛轎車從點(diǎn)A勻速向點(diǎn)B行駛5秒后此轎車到達(dá)D點(diǎn)，探測儀測得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之間的距離，并判斷此轎車是否超速，（結(jié)果精確到0.01米）【參考數(shù)據(jù)：sinl8°＝0.309，cosl8°＝0.951，tanl8°＝0.325】12．（2020秋·四川成都·九年級樹德中學(xué)校考期中）小明在熱氣球A上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B、C兩點(diǎn)的俯角分別為45°、35°．已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100m，求熱氣球離地面的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）【參考數(shù)據(jù)：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70】13．（2022·四川成都·樹德中學(xué)?？级＃┤鐖D，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走28米到達(dá)點(diǎn)C，再經(jīng)過一段坡度（或坡比）為i=1:0.75、坡長為20米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D，然后再沿水平方向向右行走60米到達(dá)點(diǎn)E（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)）．在E處測得建筑物頂端A的仰角為24°，求建筑物AB的高度（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41,14．（2020·四川成都·樹德中學(xué)校考二模）如圖是小花在一次放風(fēng)箏活動中某時段的示意圖，她在A處時的風(fēng)箏線（整個過程中風(fēng)箏線近似地看作直線）與水平線構(gòu)成30°角，線段AA1表示小花身高1.5米，當(dāng)她從點(diǎn)A跑動92米到達(dá)點(diǎn)B處時，風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成45°角，此時風(fēng)箏到達(dá)點(diǎn)E處，風(fēng)箏的水平移動距離CF＝103米，這一過程中風(fēng)箏線的長度保持不變，求風(fēng)箏原來的高度C1D．15．（2019·四川成都·九年級樹德中學(xué)校考期中）如圖，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km，從A測得船C在北偏東45°(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)船C離海岸線l的距離(即CD的長)為多少？(不取近似值)16．（2022·四川成都·石室中學(xué)?？家荒＃┬″废肜脺y量知識測算湖中小山的高度、他站在湖邊看臺上，清晰地看到小山倒映在平靜的湖水中，如圖所示，他在點(diǎn)O處測得小山頂端的仰角為45°，小山頂端A在水中倒影的俯角為60°．若點(diǎn)O到湖面的距離OD＝4m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、三點(diǎn)共線，B＝AB，求小山的高度AB（光線的折射忽略不計；結(jié)果保留根號）．17．（2020秋·四川成都·九年級石室中學(xué)校考期中）石室聯(lián)合中學(xué)金沙校區(qū)位于三環(huán)跨線橋旁邊，為了不影響學(xué)生上課，市政在橋旁安裝了隔音墻，交通局也對此路段設(shè)置了限速，九年級學(xué)生為了測量汽車速度做了如下實(shí)驗(yàn)：在橋上依次取B、C、D三點(diǎn)，再在橋外確定一點(diǎn)A，使得AB⊥BD，測得AB之間15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的長（精確到0.1，3≈1.73，2≈1.41）．（2）交通局對該路段限速30千米/小時，汽車從C到D用時2秒，汽車是否超速？說明理由．18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）某公園有一滑梯，橫截面如圖薪示，AB表示樓梯，BC表示平臺，CD表示滑道．若點(diǎn)E，F(xiàn)均在線段AD上，四邊形BCEF是矩形，且sin∠BAF=23，BF=3米，BC=1米，CD(1)∠D的度數(shù)；(2)線段AE的長．19．（2022秋·四川成都·九年級四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谥校┢咧杏胖袑W(xué)九年級的一位同學(xué)，想利用剛剛學(xué)過的三角函數(shù)知識測量新教學(xué)樓的高度，如圖，她在A處測得新教學(xué)樓房頂B點(diǎn)的仰角為45°，走7米到C處再測得B點(diǎn)的仰角為55°，已知O、A、C在同一條直線上．(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)求新教學(xué)樓OB的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.4320．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校校考二模）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小紅測溫時的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為25.3cm（即MP圖1（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）測溫時規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測得∠BMN=68.6°，小紅與測溫員之間距離為50cm問此時槍身端點(diǎn)（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°=0.40，sin23.6°≈0.40二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題02——三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用（成都專用）1．（2022秋·四川成都·九年級成都七中?？茧A段練習(xí)）北京時間2022年6月5日10時44分，神舟十四號載人飛船在酒泉發(fā)射升空，為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵志條幅GF．如圖，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯xGE為18.5米，當(dāng)小亮站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓方向前行15米到達(dá)點(diǎn)D處（樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)B，D在一條直線上），在點(diǎn)D正上方點(diǎn)C處測得條幅底端F的仰角為42°，若AB，CD均為1.7米（即四邊形ABCD為矩形），請你幫助小亮計算：(1)當(dāng)小亮站在B處時離教學(xué)樓的距離BE；(2)求條幅GF的長度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，【答案】(1)小亮站在B處時離教學(xué)樓的距離BE為22.4米(2)條幅GF的長度約為10.1米【分析】（1）延長AC交GE于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD=EH=1.7（2）由（1）知CH=7.4米，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：延長AC交GE于H，則AB=CD=EH=1.7∵GE=18.5∴HG=在Rt△AGH中，∴tan37°=∴CH=7.4∴BE=（2）解：由（1）知CH=7.4米，在Rt△FCH中，∵∴tan42°=∴FH=6.66∴FG=答：條幅GF的長度約為10.1米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2020春·四川成都·九年級成都七中校考階段練習(xí)）如圖，某測量員測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹左側(cè)一斜坡上端點(diǎn)A處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點(diǎn)C處，測得樹頂端D的仰角為60°．已知A點(diǎn)的高度AB為3米，臺階AC的坡度為1:3（即AB:BC=1:3），且B、C、（1）求斜坡AC的長；（2）請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度．（側(cè)傾器的高度忽略不計）【答案】（1）AC=6米；（2）樹高為9米．【分析】（1）過點(diǎn)A作AF⊥DE于F，構(gòu)造矩形ABEF，設(shè)DE=x，在Rt△CDE中，利用正切定義解得CE=（2）在Rt△AFD中，設(shè)DE=x，DF=【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥DE于F，則四邊形ABEF為矩形，∴AF=設(shè)DE=在Rt△CDE中，在Rt△ABC中，∴tan∵ABBC=1∴BC=3AC=（2）在Rt△AFD中，∴AF=∵AF=∴3(解得x=9答：樹高為9米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及正切、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．（2018秋·四川成都·九年級成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，山坡上有一棵樹AB，樹底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為63米，山坡的坡角為30°，小寧在山腳的平地F處測量這棵樹的高，點(diǎn)C到測角儀EF的水平距離CF=1米，從E測得樹頂部A的仰角為45°，樹底部B的仰角為20°（1）求DF的長．（2）求AB的高度（精確到0.1米）．（參考數(shù)值：sin20°≈0.34,【答案】（1）10米；（2）6.4米．【分析】（1）解直角三角形BCD來求CD的長度，則DF=CD+CF；（2）由（1）求得DF的長，進(jìn)而求得GF的長，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的長，從而求得樹高．【詳解】（1）在Rt△BCD中，CD∴DF答：DF的長為10米．（2）在Rt△AGE中，∵∠∴AG在Rt△BGE中，∴AB答：樹AB的高約為6.4米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．4．（2020秋·四川成都·九年級成都七中校考階段練習(xí)）如圖，海中有一小島A，一貨輪在A島南偏西54°的B處，由西向東航行，一段時間后到達(dá)該島南偏西25°的C處，貨輪從C處繼續(xù)向東航行44.65海里，此時貨輪與島A的距離最近，求貨輪在B處時與小島A的距離.（精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.42,?cos25°=0.91，【答案】158.3海里．【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，構(gòu)造直角三角形，在Rt△ACH中，利用正切定義解得AH的值，在Rt△ABH中，由余弦定義可解得【詳解】過點(diǎn)A作AH⊥BC于由題意知：CH=44.65∵∠BAH∴在Rt△ACH中，tan∠∴AH在Rt△ABH中，cos∠∴AB答：B處與小島A的距離為158.3海里．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及正切、余弦等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2022春·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校校考期中）在“停課不停學(xué)”期間，小明用電腦在線上課，圖1是他的電腦液晶顯示器的側(cè)面圖，顯示屏AB可以繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度．研究表明：當(dāng)眼睛E與顯示屏頂端A在同一水平線上，且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角，即望向屏幕中心PAP=BP的視線EP與水平線EA的夾角∠AEP=18°時，對保護(hù)眼睛比較好，而且顯示屏頂端A與底座C的連線AC與水平線CD垂直時（如圖2）時，觀看屏幕最舒適，此時測得∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶顯示屏的寬AB為30（1）求眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE．（結(jié)果精確到1cm（2）求顯示屏頂端A與底座C的距離AC．（結(jié)果精確到1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，【答案】（1）48cm；（2）34cm【分析】（1）由已知得AP=BP=12AB=15cm，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出眼睛E與顯示屏頂端A（2）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AF和BF的長，進(jìn)而求出顯示屏頂端A與底座C的距離AC．【詳解】解：（1）由已知得AP=BP=1在Rt△∵sin∠AEP∴AE答：眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE約為48cm；（2）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)∵∠EAB+∠BAF∴∠BAF在Rt△AF=BF=∵BF∴∠CBF∴CF∴AC答：顯示屏頂端A與底座C的距離AC約為34cm．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．6．（2021·四川成都·成都外國語學(xué)校?？级＃檑`行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，在一個坡度（或坡比）i=1:2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)棵古樹CD，測得古樹底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC=26m，在距山腳點(diǎn)A處水平距離6m的點(diǎn)E處測得古樹頂端D的仰角∠AED=48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹CD所在直線與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為多少米？（結(jié)果精確到整數(shù)）（數(shù)據(jù)sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，【答案】古樹CD的高度約為23米．【分析】延長DC交EA的延長線于點(diǎn)F，則CF⊥EF，令CF＝k，則AF＝2.4k，根據(jù)勾股定理求出k=10，得到AF＝24m，CF＝10m，EF＝30m，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出DF即可得到答案．【詳解】解：延長DC交EA的延長線于點(diǎn)F，則CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i＝1：2.4，∴令CF＝k，則AF＝2.4k，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2＝AC2，∴k2+（2.4k）2＝262，解得k＝10，∴AF＝24m，CF＝10m，∴EF＝30m，在Rt△DEF中，tanE＝DFEF∴DF＝EF?tanE＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3m，∴CD＝DF﹣CF＝23.3m≈23m，∴古樹CD的高度約為23m．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形利用銳角三角函數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵．7．（2021春·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校校考期中）圖1所示的是某景區(qū)的“關(guān)帝圣像”，它從2007年1月開始鑄造，共用銅500噸，鐵2000噸，甚是偉岸壯觀．其側(cè)面示意圖如圖2所示．在B處測得圣像頂A的仰角為52.8°，在點(diǎn)E處測得圣像頂A的仰角為63.4°．已知AC⊥BC于點(diǎn)C,EG⊥BC于點(diǎn)G,EF//BC,BG=30米，F(xiàn)C=19米，求圣像的高度AF．(結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin52.8°≈0.80,cos52.8°≈0.60，【答案】圣像的高度AF約為61米【分析】設(shè)圣像的高度AF約為x米，根據(jù)已知RtΔAEF中tan∠AEF的值用x表示EF的長，根據(jù)EF=GC進(jìn)而可求出BC的長，從而利用RtΔACB中tan∠【詳解】解：設(shè)AF=x米，∵AC⊥∴四邊形FCGE為矩形，∴EF=在RtΔAEF中，tan∠∴EF=∴GC=∵BG=30∴BC=(30+在RtΔACB中，tan∠tan52.8°=∴x+19解得x≈61答：圣像的高度AF約為61米．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)．解題的關(guān)鍵在于在直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合已知條件，列出關(guān)于x的方程，求解方程即可得解．8．（2021·四川成都·成都外國語學(xué)校校考一模）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點(diǎn)D在河的右側(cè)，紅軍路AB與某橋BC互相垂直．某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動中，在C處測得點(diǎn)D位于西北方向，又在A處測得點(diǎn)D位于南偏東65°方向，另測得BC=414m，AB=300m（參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91，cos【答案】214m.【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過D作DF⊥BC于F，則四邊形EBFD是矩形，設(shè)DE=x，根據(jù)BE=DF=CF，列方程可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過D作DF⊥BC于F，則四邊形EBFD是矩形，設(shè)DE=在Rt△ADE中，∠AED=90∵tan∠DAE∴AE=∴BE=300?又BF=∴CF=414?在Rt△CDF中，∠DFC=90∴DF=又BE=即：300?x解得：x=214故：點(diǎn)D到AB的距離是214m．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確根據(jù)三角函數(shù)列方程是解題的關(guān)鍵．9．（2018秋·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┬∶飨胍獪y量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3米到達(dá)A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺階到達(dá)C處，測得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°．已知A點(diǎn)離地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三點(diǎn)在同一直線上．（1）求樹DE的高度；（2）求食堂MN的高度．【答案】（1）6；（2）1+【詳解】試題分析：（1）設(shè)DE=x，可得EF=DE﹣DF=x﹣2，從而得AF=3（x﹣2），再求出CD=33x、BC的長，根據(jù)AF=BD可得關(guān)于x（2）延長NM交DB延長線于點(diǎn)P，知AM=BP=3，由（1）得CD=33x=23、BC=23，根據(jù)NP=PD且AB試題解析：（1）如圖，設(shè)DE=x，∵AB=DF=2，∴EF=DE﹣DF=x﹣2，∵∠EAF=30°，∴AF=EFtan∠EAF=x?233=3(x?2)，又∵CD=DEtan∠DCE=x3=33x，BC=ABtan∠ACB=233=23，∴BD=BC+CD=23+33x，由AF（2）延長NM交DB延長線于點(diǎn)P，則AM=BP=3，由（1）知CD=33x=33×6=23，BC=23，∴PD=BP+BC+CD=3+23+23=3+43，∵∠NDP=45°，且MP=AB=2，∴NP=PD=3+43，∴NM=NP﹣MP=3+43點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形并選擇正確的邊角關(guān)系解直角三角形．10．（2018秋·四川成都·九年級成都外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）一艘觀光游船從港口A處以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號．一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向．（1）求海警船距離事故船C的距離BC．（2）若海警船以40海里/小時的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處大約所需的時間．（溫馨提示：sin53°≈0．8，cos53°≈0．6）【答案】（1）50海里，（2）54【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于D．先解Rt△ACD得出CD=12AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=CD【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=12在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-37°=53°，∴BC=CDsin∠CBD≈∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：50÷40=5411．（2019·四川成都·成都外國語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在某校圖書館門前一段筆直的內(nèi)部道路AB上，過往車輛限速3米/秒在點(diǎn)B的正上方距其7米高的C處有一個探測儀．一輛轎車從點(diǎn)A勻速向點(diǎn)B行駛5秒后此轎車到達(dá)D點(diǎn)，探測儀測得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之間的距離，并判斷此轎車是否超速，（結(jié)果精確到0.01米）【參考數(shù)據(jù)：sinl8°＝0.309，cosl8°＝0.951，tanl8°＝0.325】【答案】此轎車沒有超速【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可．【詳解】由題意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝BCAB∴AB=BCtan∠BAC=70.325∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之間的距離約為14.54米，此轎車沒有超速．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，掌握三角函數(shù)定義．12．（2020秋·四川成都·九年級樹德中學(xué)?？计谥校┬∶髟跓釟馇駻上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC，并測得B、C兩點(diǎn)的俯角分別為45°、35°．已知大橋BC與地面在同一水平面上，其長度為100m，求熱氣球離地面的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）【參考數(shù)據(jù)：sin35°＝0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70】【答案】熱氣球離地面的高度約為233m【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)D，用含有AD的式子表示出DB和DC，列出方程，解方程即可求得．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作AD⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)D，由題意知：∠ABD=45°，∠ACD=35°，BC=100m．∵在Rt△ADB中，tan∠ABD=AD∴BD∵在Rt△ACD中，tan∠ACD=AD∴CD=∵CD=BD+BC∴AD∴AD≈233答：熱氣球離地面的高度約為233m．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角和俯角的概念、掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，解答時，注意正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．13．（2022·四川成都·樹德中學(xué)?？级＃┤鐖D，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走28米到達(dá)點(diǎn)C，再經(jīng)過一段坡度（或坡比）為i=1:0.75、坡長為20米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D，然后再沿水平方向向右行走60米到達(dá)點(diǎn)E（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)）．在E處測得建筑物頂端A的仰角為24°，求建筑物AB的高度（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41,【答案】建筑物AB的高度約為29米．【分析】作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根據(jù)tan24°=AM【詳解】作BM⊥ED交ED的延長線于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵CNDN=10.75=43，設(shè)CN∵CD＝20，∴(3k)2＋(4k)2＝400，∴k＝4，∴CN＝16，DN＝12，∵BM⊥ED，CN⊥DM，BM⊥BC，∴四邊形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝16，BC＝MN＝28，EM＝MN＋DN＋DE＝100，在Rt△AEM中，tan24°＝AMEM∴0.45≈16+∴AB＝29答：建筑物AB的高度約為29米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．14．（2020·四川成都·樹德中學(xué)校考二模）如圖是小花在一次放風(fēng)箏活動中某時段的示意圖，她在A處時的風(fēng)箏線（整個過程中風(fēng)箏線近似地看作直線）與水平線構(gòu)成30°角，線段AA1表示小花身高1.5米，當(dāng)她從點(diǎn)A跑動92米到達(dá)點(diǎn)B處時，風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成45°角，此時風(fēng)箏到達(dá)點(diǎn)E處，風(fēng)箏的水平移動距離CF＝103米，這一過程中風(fēng)箏線的長度保持不變，求風(fēng)箏原來的高度C1D．【答案】風(fēng)箏原來的高度為272【分析】設(shè)AF＝x，則BF＝AB+AF＝92+x，在Rt△BEF中求得AD=BE=BFcos∠EBF=18+2x，由cos∠CAD=AC【詳解】解：設(shè)AF＝x，則BF＝AB+AF＝92+x，在Rt△BEF中，BE＝BFcos由題意知AD＝BE＝18+2x，∵CF＝103，∴AC＝AF+CF＝103+x，由cos∠CAD＝ACAD可得3解得：x＝32+23，則AD＝18+2（32+23）＝24+26，∴CD＝ADsin∠CAD＝（24+26）×12＝12+6則C1D＝CD+C1C＝12+6+32＝272+答：風(fēng)箏原來的高度C1D為（272+6【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義以及根據(jù)題意找到兩直角三角形間的關(guān)聯(lián)是解答本題的關(guān)鍵．15．（2019·四川成都·九年級樹德中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站，AB=2km，從A測得船C在北偏東45°(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)船C離海岸線l的距離(即CD的長)為多少？(不取近似值)【答案】（1）22.5°（2）【分析】(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算；(2)作BE//AC交CD于E，求出【詳解】(1)由題意得，∠CBD=90°∴∠ACB(2)作BE//則∠EBD=∴DB∵DA∴CE∵∠ACD=45∴∠BCD∴∠CBE∴∠CBE∴BE∴DE∴CD答：船C離海岸線l的距離為(2+2【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?方向角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義，正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵．16．（2022·四川成都·石室中學(xué)?？家荒＃┬″废肜脺y量知識測算湖中小山的高度、他站在湖邊看臺上，清晰地看到小山倒映在平靜的湖水中，如圖所示，他在點(diǎn)O處測得小山頂端的仰角為45°，小山頂端A在水中倒影的俯角為60°．若點(diǎn)O到湖面的距離OD＝4m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、三點(diǎn)共線，B＝AB，求小山的高度AB（光線的折射忽略不計；結(jié)果保留根號）．【答案】(8+43【分析】過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，設(shè)AE=xm，則AB=（x+4）m，A'E=（x+8）m，由∠AOE=45°，可知OE=AE=xm，再由tan60°=A'【詳解】解：過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則BE=OD=4m，設(shè)AE=xm，則AB=（x+4）m，A'E=（∵∠AOE=45°，∴OE=AE=xm，∵∠A∴tan60°=A'即x+8x解得x=4+43∴AB=4+4+43答∶小山的高度AB為(8+43【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．17．（2020秋·四川成都·九年級石室中學(xué)?？计谥校┦衣?lián)合中學(xué)金沙校區(qū)位于三環(huán)跨線橋旁邊，為了不影響學(xué)生上課，市政在橋旁安裝了隔音墻，交通局也對此路段設(shè)置了限速，九年級學(xué)生為了測量汽車速度做了如下實(shí)驗(yàn)：在橋上依次取B、C、D三點(diǎn)，再在橋外確定一點(diǎn)A，使得AB⊥BD，測得AB之間15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的長（精確到0.1，3≈1.73，2≈1.41）．（2）交通局對該路段限速30千米/小時，汽車從C到D用時2秒，汽車是否超速？說明理由．【答案】（1）17.3米；（2）超速，理由見解析【分析】（1）根據(jù)特殊角三角函數(shù)先求出BC和BD的長，進(jìn)而可得CD的長；（2）先進(jìn)行單位換算，再用路程除以時間求出速度進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝ABtan60°＝15在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝3AB＝153米，∴CD＝BD﹣BC＝103≈17.3米，∴CD的長為17.3米；（2）∵30千米/小時＝30000÷3600＝253而103÷2≈8.66＞253∴汽車超速．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用．在直角三角形中，已知一銳角和一邊，利用三角函數(shù)求得其中一邊，再用三角函數(shù)或勾股定理可求得第三邊．18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）某公園有一滑梯，橫截面如圖薪示，AB表示樓梯，BC表示平臺，CD表示滑道．若點(diǎn)E，F(xiàn)均在線段AD上，四邊形BCEF是矩形，且sin∠BAF=23，BF=3米，BC=1米，CD(1)∠D的度數(shù)；(2)線段AE的長．【答案】(1)30°(2)3【分析】（1）已知了CD、CE（即BF）的長，可在Rt△CED中求出∠D的正弦值，進(jìn)而可求出∠D的度