專題09【五年中考+一年模擬】幾何綜合題-備戰(zhàn)2023年廣東中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編(原卷版+解析)

專題09幾何綜合題1．（2021?廣東）如圖，邊長為1的正方形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)．連接，將沿折疊得到，交于點(diǎn)，求的長．2．（2021?廣東）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別在線段、上，且，，．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，，求的面積．3．（2018?廣東）已知，，，斜邊，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖1，連接．（1）填空：；（2）如圖1，連接，作，垂足為，求的長度；（3）如圖2，點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上運(yùn)動(dòng)，沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位秒，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1單位秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求當(dāng)為何值時(shí)取得最大值？最大值為多少？4．（2022?東莞市一模）如圖，在正方形中，是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．5．（2022?東莞市一模）如圖1，正方形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，且．（1）如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷線段與線段的位置、數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，求的正弦值．6．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖1，的邊長，對(duì)角線平分，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以1個(gè)單位秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以2個(gè)單位秒的速度運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若對(duì)角線，當(dāng)為多少秒時(shí)，為等腰三角形；（3）如圖2，若，點(diǎn)是是中點(diǎn)，作交于．點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，線段存在最小值，請(qǐng)你直接寫出這個(gè)最小值．7．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，連接，將沿對(duì)折，得到，延長交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是等腰三角形．（2）若，求的長度．8．（2022?東莞市一模）在矩形中，，是邊上一點(diǎn)，把沿直線折疊，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為且在上，交于點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的值；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，求的值．9．（2022?中山市一模）已知在中，是的中點(diǎn)，是延長線上的一點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若，，，．①求證：是等邊三角形；②求的長；（2）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，如圖2所示．若，．求證．10．（2022?中山市校級(jí)一模）如圖，在矩形中，是邊上點(diǎn)．連接，過點(diǎn)向作垂線，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．且滿足．（1）求證：；（2）若，求的長．11．（2022?中山市三模）如圖，點(diǎn)，是菱形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，以為對(duì)角線作矩形、使點(diǎn)，分別在菱形的邊，上．（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，，求菱形的周長．12．（2022?中山市三模）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．（1）如圖1，和互為“兄弟三角形”，點(diǎn)為重合的頂角頂點(diǎn)．求證：．（2）如圖2，和互為“兄弟三角形”，點(diǎn)為重合的頂角頂點(diǎn)，點(diǎn)、均在外，連接、交于點(diǎn)，連接，求證：平分．13．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，、分別是正方形邊、的中點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接并延長，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的值．14．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖①，四邊形是矩形，，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與、兩點(diǎn)重合），點(diǎn)是線段延長線的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)，設(shè)，，已知與之間的函數(shù)關(guān)系式如圖②所示，（1）圖②中與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求證：；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．15．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)沿以1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度沿的延長線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，且、相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，四邊形是平行四邊形？（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)？（3）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，試判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，并求路徑的最大值．16．（2022?香洲區(qū)一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作于，以、為鄰邊作平行四邊形．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，平行四邊形的面積為．（1）求的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的最大值．17．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知為正方形的邊上一點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)，并延長交的延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連結(jié)，．（1）請(qǐng)寫出所有與相等角（必須用圖中所給的字母）；（2）請(qǐng)判斷的形狀，并證明；（3）若，，求的長．18．（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，已知矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，沿著折疊矩形，使點(diǎn)，分別落在，處，且點(diǎn)在線段上（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，求的長；（3）若，求折疊后重疊部分的面積．19．（2022?潮南區(qū)模擬）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，連接，．如果，，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）延長交于點(diǎn)，求的值．20．（2022?潮南區(qū)模擬）如圖1，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為何值，；（2）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某一時(shí)段的的面積大于在上運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻的的面積，請(qǐng)你求出這一時(shí)段的取值范圍．21．（2022?龍湖區(qū)一模）已知在中，為邊的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到，連接，．（1）如圖1，當(dāng)且時(shí)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，延長到點(diǎn)，使，連接，當(dāng)，時(shí)，求的長．22．（2022?南海區(qū)一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)、分別在射線、上同時(shí)向右、向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的2倍，是否成立（只寫結(jié)果，不需說明理由）？（3）正方形的邊長為4，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)，求周長的最小值．23．（2022?禪城區(qū)校級(jí)一模），分別為正方形的邊，的中點(diǎn)，分別與，相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，求的值；（3）求的值．24．（2022?三水區(qū)一模）如圖，在中，，是邊上的中線，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）若，且，求四邊形的面積；（3）連接，求證：．25．（2022?南海區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知正方形的邊長為6，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為斜邊作等腰．（1）若，則．（2）在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的外接圈的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到邊的距離的最大值．（3）連結(jié)、．當(dāng)時(shí)，求長度．26．（2022?新會(huì)區(qū)模擬）如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，是線段延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，．求證：（1）四邊形是平行四邊形；（2）．27．（2022?惠陽區(qū)一模）如圖1，把一個(gè)含45角的直角三角板和一個(gè)正方形擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，連，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、．（1）請(qǐng)判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；（2）將圖1中的直角三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）連接，若，，將圖1中的直角三角板繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出面積的最大值和最小值．28．（2022?惠城區(qū)一模）如圖，正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．（1）求證：矩形是正方形；（2）求的值．29．（2022?惠東縣三模）如圖，將平行四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處．（1）連接，求證：四邊形是菱形；（2）若為中點(diǎn)，，，求的長．30．（2022?惠城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)，重合時(shí)，作，邊交折線于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)，得到．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．（1）直接寫出線段的長（用含的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值；（3）設(shè)與重合部分圖形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的最大值．31．（2022?梅州模擬）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出線段的長．32．（2022?河源一模）如圖，扇形的半徑，圓心角，點(diǎn)是上異于，的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)，在線段上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)是上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在，，這三條線段中，是否存在長度不變的線段？若存在，請(qǐng)指出這條線段并求該線段的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．33．（2022?紫金縣二模）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，其中點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)落在上，延長交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)．（1）若是的中點(diǎn)，求證：是等腰三角形；（2）若，，求的長．專題09幾何綜合題1．（2021?廣東）如圖，邊長為1的正方形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)．連接，將沿折疊得到，交于點(diǎn)，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】延長交于，連接．四邊形是正方形，，，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，．2．（2021?廣東）如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)、分別在線段、上，且，，．（1）求證：；（2）求證：以為直徑的圓與相切；（3）若，，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）證明：如圖1，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于，，，，，，，四邊形是梯形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，連接并延長交的延長線于，，，，，，，是的中位線，，，以為直徑的圓與相切；（3）如圖2，由（1）知，，，，在中，，，，，，，，過點(diǎn)作，交的延長線于，，，四邊形是矩形，，過點(diǎn)作于，四邊形是矩形，，由（1）知，，，，在中，，，，．3．（2018?廣東）已知，，，斜邊，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖1，連接．（1）填空：；（2）如圖1，連接，作，垂足為，求的長度；（3）如圖2，點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上運(yùn)動(dòng)，沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位秒，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1單位秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求當(dāng)為何值時(shí)取得最大值？最大值為多少？【答案】（1）60；（2）；（3）有最大值，最大值為【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，是等邊三角形，．故答案為：60．（2）如圖1中，，，，，，是等邊三角形，，，，．（3）①當(dāng)時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)，在上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)作且交于點(diǎn)．則，，．時(shí)，有最大值，最大值．②當(dāng)時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)，在上運(yùn)動(dòng)．作于．則，，．當(dāng)時(shí)，取最大值，，③當(dāng)時(shí)，、都在上運(yùn)動(dòng)，作于．，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，，最大值，綜上所述，有最大值，最大值為．4．（2022?東莞市一模）如圖，在正方形中，是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）2【詳解】（1）證明：在正方形中，，，在與中，，，，，，，；（2）連接交于，設(shè)正方形的邊長為，，，，，．5．（2022?東莞市一模）如圖1，正方形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，且．（1）如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷線段與線段的位置、數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，求的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1），，理由如下：延長交于，交于，如圖：四邊形是正方形，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，，，，；（2）過作于，如圖：，是等腰直角三角形，，，，在中，，，由（1）知，，．6．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖1，的邊長，對(duì)角線平分，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以1個(gè)單位秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以2個(gè)單位秒的速度運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若對(duì)角線，當(dāng)為多少秒時(shí)，為等腰三角形；（3）如圖2，若，點(diǎn)是是中點(diǎn)，作交于．點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，線段存在最小值，請(qǐng)你直接寫出這個(gè)最小值．【答案】（1）見解析；（2）的值為或或；（3）【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，平分，，，四邊形是菱形；（2）解：如圖，交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，，，，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，又，，，即，，綜上，的值為或或；（3）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，四邊形是菱形，，，又，，，，，，，是線段的中垂線，，，在和中，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)有最小值是，的最小值為．7．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，連接，將沿對(duì)折，得到，延長交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是等腰三角形．（2）若，求的長度．【答案】（1）見解析；（2）1【詳解】（1）證明：在正方形中，，，根據(jù)翻折，可得，，，是等腰三角形；（2）設(shè)，，，為的中點(diǎn)，，根據(jù)翻折，，，，，，在中根據(jù)勾股定理，得，解得，．8．（2022?東莞市一模）在矩形中，，是邊上一點(diǎn)，把沿直線折疊，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為且在上，交于點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的值；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）9【詳解】（1）在矩形中，，，是中點(diǎn)，，在和中，，；（2），，，，，，，，設(shè)，，，或，，，，，，由折疊得，，在矩形，，沿折疊得到，，，，，，，．（3）如圖，連接，，，，；，是菱形，，，，，，，，，．9．（2022?中山市一模）已知在中，是的中點(diǎn)，是延長線上的一點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若，，，．①求證：是等邊三角形；②求的長；（2）過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，如圖2所示．若，．求證．【答案】見解析【詳解】（1）證明：①，，，，，是等邊三角形，②解：是等邊三角形，，是的中點(diǎn)，，在中，，，；（2）證明：連接，，，在和中，，，，，，又，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，．10．（2022?中山市校級(jí)一模）如圖，在矩形中，是邊上點(diǎn)．連接，過點(diǎn)向作垂線，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．且滿足．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，，，，，，在和中，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，．的長為．11．（2022?中山市三模）如圖，點(diǎn)，是菱形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，以為對(duì)角線作矩形、使點(diǎn)，分別在菱形的邊，上．（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，，求菱形的周長．【答案】（1）見解析；（2）12【詳解】（1）證明：延長交于點(diǎn)，如圖所示：四邊形是矩形，，，四邊形是菱形，，，；（2）解：連接，如圖所示：在矩形中，，，又，，四邊形是菱形，，，，，為中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，菱形的周長為．12．（2022?中山市三模）新定義：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．（1）如圖1，和互為“兄弟三角形”，點(diǎn)為重合的頂角頂點(diǎn)．求證：．（2）如圖2，和互為“兄弟三角形”，點(diǎn)為重合的頂角頂點(diǎn)，點(diǎn)、均在外，連接、交于點(diǎn)，連接，求證：平分．【答案】見解析【詳解】證明：（1）和互為“兄弟三角形”，，，，，即，在和中，，，；（2）如圖，過點(diǎn)作于，于，和互為“兄弟三角形”，，，即，在和中，，，，，，，又，，，，，平分．13．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，、分別是正方形邊、的中點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接并延長，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：、分別是正方形邊、的中點(diǎn)，，，在和中，，，；（2）解：如圖，連接，由折疊可知：，，，，在和中，，，，，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，，，．14．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖①，四邊形是矩形，，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與、兩點(diǎn)重合），點(diǎn)是線段延長線的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)，設(shè)，，已知與之間的函數(shù)關(guān)系式如圖②所示，（1）圖②中與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求證：；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）或或【詳解】（1）解：設(shè)，由圖象得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，代入得：，，．故答案為：．（2）證明：，，，，，四邊形是矩形，，，．（3）解：假設(shè)存在的值，使得是等腰三角形，①若，則，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，在中，由勾股定理得：，．②若，如圖①，作，交于，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，（舍，經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，．③若，則，，，，，，，，，，，．綜上，或或．15．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)沿以1個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度沿的延長線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，它們同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，且、相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，四邊形是平行四邊形？（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)？（3）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開始向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，試判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，并求路徑的最大值．【答案】（1）2；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，；（3）見解析【詳解】（1）四邊形是菱形，，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，，此時(shí)四邊形是平行四邊形，故答案為：2；（2）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，，，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，在中，，，，在中，，即，解得或（舍去），當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，；（3）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑是一條線段，理由如下：連接并延長交于點(diǎn)，，，，直線始終經(jīng)過定點(diǎn)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑就是線段，由題意知，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)時(shí)路徑最大，如圖作于點(diǎn)，，，，四邊形是菱形，，，，，是等邊三角形，，，在中，，，在中，，，路徑的最大值為．16．（2022?香洲區(qū)一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作于，以、為鄰邊作平行四邊形．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，平行四邊形的面積為．（1）求的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的最大值．【答案】（1）；（2）與的關(guān)系式為，的最大值是2【詳解】（1）中，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，；（2）如圖，延長交于點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，與的關(guān)系式為，的最大值是2．17．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知為正方形的邊上一點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連結(jié)，并延長交的延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連結(jié)，．（1）請(qǐng)寫出所有與相等角（必須用圖中所給的字母）；（2）請(qǐng)判斷的形狀，并證明；（3）若，，求的長．【答案】（1），和；（2）見解析；（3）【詳解】（1）四邊形是正方形，，點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，，，，，，四邊形是正方形，，由（1）知，，，，，，，，故答案為：，和；（2）是等腰直角三角形，證明：四邊形是正方形，，由（1）知，，，，，，點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，，是等腰直角三角形；（3）將與的交點(diǎn)記作點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，，，，，，在中，，，在中，，，．18．（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，已知矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，沿著折疊矩形，使點(diǎn)，分別落在，處，且點(diǎn)在線段上（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，求的長；（3）若，求折疊后重疊部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）4；（3）【詳解】（1）證明：由折疊可知：，，，，，，，，；（2）解：由（1）得，，，，；（3）解：，，，連接，在中，，由對(duì)稱性得，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，，，且，，，，，由題意得四邊形為矩形，，，折疊后重疊部分的面積．19．（2022?潮南區(qū)模擬）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，連接，．如果，，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）延長交于點(diǎn)，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，設(shè)，則，，．20．（2022?潮南區(qū)模擬）如圖1，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為何值，；（2）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某一時(shí)段的的面積大于在上運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻的的面積，請(qǐng)你求出這一時(shí)段的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，的面積大于在上運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻的的面積【詳解】（1）若，，，，當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)作于，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，，，，由題意可得，，，，，，，綜上所述：；（3）當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，取得最大值為2，即當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最大面積為，令，即，解得：或，，拋物線的開口向下，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，的面積大于在上運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻的的面積．21．（2022?龍湖區(qū)一模）已知在中，為邊的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到，連接，．（1）如圖1，當(dāng)且時(shí)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，延長到點(diǎn)，使，連接，當(dāng)，時(shí)，求的長．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【詳解】（1）結(jié)論：．理由：如圖1中，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，，，，，，，，，．（3）如圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，．22．（2022?南海區(qū)一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)、分別在射線、上同時(shí)向右、向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的2倍，是否成立（只寫結(jié)果，不需說明理由）？（3）正方形的邊長為4，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)，求周長的最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，．，，，，，，，，；（2）解：成立；理由如下：根據(jù)題意得：，，，又，，，，，，；（3）解：過作，交于，于，如圖所示：則，，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，此時(shí)的周長最小，，，，，，，，，，，，連接、、，則，，，，，，，由勾股定理得：，周長的最小值．23．（2022?禪城區(qū)校級(jí)一模），分別為正方形的邊，的中點(diǎn)，分別與，相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，求的值；（3）求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：正方形，，，、為邊、的中點(diǎn)，，在與中，，；（2）解：，，，，，，，，，；（3）解：設(shè)，則，則，四邊形是正方形，，，得，，，，由（1）同理得：，，，，由勾股定理得：，．24．（2022?三水區(qū)一模）如圖，在中，，是邊上的中線，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）若，且，求四邊形的面積；（3）連接，求證：．【答案】（1）見解析；（2）30；（3）見解析【詳解】（1）四邊形是菱形．理由如下：，，是中點(diǎn)，，在和中，，，，又，四邊形是平行四邊形，是邊上的中線，，又，，平行四邊形是菱形；（2）四邊形是菱形，，，，設(shè)，，在中，由勾股定理得，，解得，，，，，菱形的面積；（3）證明：四邊形是菱形，垂直平分，，，，，，，，，又，，，．25．（2022?南海區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知正方形的邊長為6，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，以為斜邊作等腰．（1）若，則．（2）在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的外接圈的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到邊的距離的最大值．（3）連結(jié)、．當(dāng)時(shí)，求長度．【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1），，，，，，，，即，，故答案為：；（2）如圖，取的中點(diǎn)，過作于，由題意知，的外接圓心在線段的中點(diǎn)處，圓心到的距離為的長，，是的中位線，，設(shè)，則，由（1）知，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值為，的最大值為，該圓心到邊的距離的最大值為；（3）如圖，作于，于，連接，，，，，設(shè)，則，，，由（1）可知，，，，即，，，即，，，即，，，，，，，在與中，，，，，四邊形是正方形，，，即，，，，長度為．26．（2022?新會(huì)區(qū)模擬）如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，是線段延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，．求證：（1）四邊形是平行四邊形；（2）．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，是的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，．27．（2022?惠陽區(qū)一模）如圖1，把一個(gè)含45角的直角三角板和一個(gè)正方形擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)重合，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，連，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、．（1）請(qǐng)判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；（2）將圖1中的直角三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）連接，若，，將圖1中的直角三角板繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出面積的最大值和最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）面積的最大值和最小值分別為：，【詳解】（1），證明如下：如圖，連接，四邊形是正方形，，，，，，，為的中位線，，；（2）仍然成立，證明如下：如圖，連接，四邊形是正方形，，，，，即，，，，分別為，的中點(diǎn)，，，，；（3）解：如圖，連接，，設(shè)交于，交于，，，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，由題意可知，，即，當(dāng)時(shí)，最小值，當(dāng)時(shí)，最大值，面積的最大值和最小值分別為：，．28．（2022?惠城區(qū)一模）如圖，正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，以、為鄰邊作矩形，連接．（1）求證：矩形是正方形；（2）求的值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）如圖，作于，于，四邊形是正方形，．，，，，四邊形是矩形，．四邊形是矩形，．．，，．矩形是正方形；（2）四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，．．，．．29．（2022?惠東縣三模）如圖，將平行四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處．（1）連接，求證：四邊形是菱形；（2）若為中點(diǎn)，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）10【詳解】（1）證明：如