2024-2025新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)38極大值與極小值含解析蘇教版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE5極大值與微小值[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．(多選)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論正確的是()A．－3是f(x)的一個(gè)微小值點(diǎn)B．－2和－1都是f(x)的極大值點(diǎn)C．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3，＋∞)D．f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)解析：選ACD當(dāng)x<－3時(shí)，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)時(shí)f′(x)≥0，∴－3是微小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，增區(qū)間是(－3，＋∞)，減區(qū)間是(－∞，－3)．故選A、C、D.2．函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e)上的極大值為()A．－e B．1－eC．－1 D．0解析：選Cf(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－1.令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.3．已知a是函數(shù)f(x)＝x3－12x的微小值點(diǎn)，則a等于()A．－4 B．－2C．4 D．2解析：選D∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，則x1＝－2，x2＝2.當(dāng)x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－2，2)時(shí)，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，∴f(x)的微小值點(diǎn)為a＝2.4．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和微小值，則實(shí)數(shù)a的值可以是()A．－4 B．－3C．6 D．8解析：選AD由題意知f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有兩個(gè)不相等的根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.5．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于點(diǎn)(1，0)，則f(x)的極大值、微小值分別為()A.eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)解析：選Af′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得當(dāng)x＝eq\f(1,3)時(shí)f(x)取極大值eq\f(4,27)，當(dāng)x＝1時(shí)f(x)取微小值0.6．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為a＝________，b＝________．解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，又當(dāng)x＝1時(shí)有極值－2，∴f′(1)＝3a＋b＝0， ①a＋b＝－2， ②聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3.))答案：1－37．f(x)＝eq\f(2x＋1,x2＋2)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______，微小值為_(kāi)_______．解析：f′(x)＝eq\f(2（x2＋2）－2x（2x＋1）,（x2＋2）2)＝eq\f(－2（x＋2）（x－1）,（x2＋2）2).令f′(x)<0，得x<－2或x>1；令f′(x)>0，得－2<x<1.所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－2，1)上單調(diào)遞增，所以f(x)微小值＝f(－2)＝－eq\f(1,2).答案：(－2，1)－eq\f(1,2)8．若函數(shù)y＝－x3＋6x2＋m的極大值為13，則實(shí)數(shù)m等于______，微小值為_(kāi)_______．解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或x＝4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)時(shí)，y′＜0；x∈(0，4)時(shí)，y′＞0，∴x＝4時(shí)取到極大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.x＝0時(shí)取到微小值－19.答案：－19－199．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減微小值2(1－ln2＋a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)；f(x)在x＝ln2處取得微小值．微小值為f(ln2)＝2(1－ln2＋a)，無(wú)極大值．10．設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)推斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是微小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由．解：(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1.由極值點(diǎn)的必要條件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且eq\f(a,2)＋4b＋1＝0，解得，a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6).(2)由(1)可知f(x)＝－eq\f(2,3)lnx－eq\f(1,6)x2＋x，且其定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝－eq\f(2,3)x－1－eq\f(1,3)x＋1＝－eq\f(（x－1）（x－2）,3x).當(dāng)x∈(0，1)∪(2，＋∞)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，f′(x)>0；所以x＝1是函數(shù)f(x)的微小值點(diǎn)，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11.(多選)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)，(2，0)．如圖，則下列說(shuō)法中正確的是()A．當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，函數(shù)f(x)取得微小值B．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)C．當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)取得微小值D．當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)取得極大值解析：選BCD由圖象可知，x＝1，x＝2是函數(shù)的兩極值點(diǎn)，∴B正確；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0；x∈(1，2)時(shí)，f′(x)＜0，∴x＝1是極大值點(diǎn)，x＝2是微小值點(diǎn)，故C、D正確．故選B、C、D.12．已知函數(shù)f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0，2021π)，則函數(shù)f(x)的極大值之和為()A.eq\f(e2π（1－e2021π）,e2π－1) B.eq\f(eπ（1－e2020π）,1－e2π)C.eq\f(eπ（1－e1010π）,1－e2π) D.eq\f(eπ（1－e1010π）,1－eπ)解析：選Bf′(x)＝2exsinx，令f′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，當(dāng)2kπ<x<2kπ＋π時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)(2k－1)π<x<2kπ時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝(2k＋1)π時(shí)，f(x)取到極大值，∵x∈(0，2021π)，∴0<(2k＋1)π<2021π，∴0≤k<1010，k∈Z.∴f(x)的極大值之和為S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2019π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2019π＝eq\f(eπ[1－（e2π）1010],1－e2π)＝eq\f(eπ（1－e2020π）,1－e2π)，故選B.13．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則a＝________，該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間為_(kāi)_______．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，又因?yàn)閒′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是(3，＋∞)．答案：－15(3，＋∞)(答案不唯一)14．已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)探討f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.從而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2))).令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－2，－ln2)時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln2)上單調(diào)遞減．當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．[C級(jí)