2025屆黑龍江省齊齊哈爾市數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆黑龍江省齊齊哈爾市數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù).設(shè)命題的定義域?yàn)?，命題的值域?yàn)?若為真，為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．函數(shù)直線與的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.3．對(duì)于公差為1的等差數(shù)列，；公比為2的等比數(shù)列，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.B.C.數(shù)列為等差數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為4．若存在過(guò)點(diǎn)（0，－2）的直線與曲線和曲線都相切，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－25．已知函數(shù)(且，)的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則的最小值為（）A. B.C. D.76．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.107．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，，則（）A. B.4C. D.18．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.849．拋物線有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后經(jīng)過(guò)它的焦點(diǎn)．反之，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出一條平行于x軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物線兩次反射后，穿過(guò)點(diǎn)，則光線從A出發(fā)到達(dá)B所走過(guò)的路程為（）A.8 B.10C.12 D.1410．南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅在數(shù)學(xué)上也有很多創(chuàng)造，其最著名的成就是祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，現(xiàn)有一個(gè)圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的底面面積相等，高也相等，若長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)為，圓柱體的體積為，根據(jù)祖暅原理，可推斷圓柱體的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值11．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.212．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A.（） B.（）C.（） D.（）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.14．如圖，在棱長(zhǎng)都為的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請(qǐng)選擇該平行六面體的三個(gè)頂點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)這三個(gè)頂點(diǎn)的平面與直線垂直.這三個(gè)頂點(diǎn)可以是________15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①?gòu)恼叫蜛BCD開始，第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為___；②如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個(gè)正方形，這n個(gè)正方形的面積之和為___.16．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，且，的面積為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若，的面積為，求.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O以原點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O交于兩點(diǎn)A，B，求弦長(zhǎng).19．（12分）甲、乙等6個(gè)班級(jí)參加學(xué)校組織廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機(jī)確定各班級(jí)的出場(chǎng)順序（序號(hào)為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級(jí)的出場(chǎng)序號(hào)中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級(jí)之間的演出班級(jí)（不含甲乙）個(gè)數(shù)X的分布列與期望20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcosA+（2c+a）cosB=0（1）求角B的大??；（2）若b=4，△ABC的面積為，求a+c的值21．（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.22．（10分）已知圓.（1）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時(shí)的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.2、C【解析】先求出AB坐標(biāo)，表示出，規(guī)定函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求最小值.【詳解】聯(lián)立解得可得點(diǎn)．聯(lián)立解得可得點(diǎn)．由題意可得解得，令，其中，∴．∴函數(shù)單調(diào)遞減；．因此，的最小值為故選：C【點(diǎn)睛】距離的最值求解：（1）幾何法求最值；（2）代數(shù)法：表示出距離，利用函數(shù)求最值.3、B【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判定選項(xiàng)A正確；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，即判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的定義判定選項(xiàng)C正確；利用錯(cuò)位相減法求和，即判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A:由條件可得，，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由條件可得，，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，則，即數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，上面兩式相減可得，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：B.4、A【解析】在兩曲線上設(shè)切點(diǎn)，得到切線，又因?yàn)椋?，－2）在兩條切線上,列方程即可.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若直線與和的切點(diǎn)分別為（，），，∴過(guò)（0，－2）的直線為、，則有，可得故選：A.5、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定極值點(diǎn)可得a與b的關(guān)系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對(duì)求導(dǎo)得：，因函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則，此時(shí)，，，因，即，因此，在2左右兩側(cè)鄰近的區(qū)域值一正一負(fù)，2是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則有，又，，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：B6、A【解析】根據(jù)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】解：由題意，關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，?1，-3）.故選：A【點(diǎn)睛】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對(duì)稱，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得，，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為3，故，即，解得故選：D8、C【解析】根據(jù)對(duì)稱性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴故選：C.9、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點(diǎn)為，設(shè)光線第一次交拋物線于點(diǎn)，第二次交拋物線于點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程為：，作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，，，，故選：C10、C【解析】由條件可得長(zhǎng)方體的體積為，設(shè)長(zhǎng)方體的底面相鄰兩邊分別為，根據(jù)基本不等式，可求出底面面積的最大值，進(jìn)而求出高的最小值，得出結(jié)論.【詳解】依題意長(zhǎng)方體的體積為，設(shè)圓柱的高為長(zhǎng)方體的底面相鄰兩邊分別為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查基本不等式求最值，要認(rèn)真審題，理解題意，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：.故選：D12、A【解析】根據(jù)題意，求得的外心，再根據(jù)外心的性質(zhì)，以及重心的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋实男甭?，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故的垂直平分線的方程為，即，故△的外心坐標(biāo)即為與的交點(diǎn)，即，不妨設(shè)點(diǎn)，則，即；又△的重心的坐標(biāo)為，其滿足，即，也即，將其代入，可得，，解得或，對(duì)應(yīng)或，即或，因?yàn)榕c點(diǎn)重合，故舍去.故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##30°【解析】過(guò)點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進(jìn)而（或其補(bǔ)角）是所求角，算出答案即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設(shè)所求角為，于是.設(shè)原正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點(diǎn)F，則，所以，即，于是.故答案為：.14、①.②.點(diǎn)或點(diǎn)（填出其中一組即可）【解析】（1）以向量，，為基底分別表達(dá)出向量和，展開即可解決；（2）由上一問(wèn)可知，用上一問(wèn)同樣的方法可以證明出，這樣就證明了平面與直線垂直.【詳解】（1）令，，，則，則有，故（2）令，，，則，則有，故故，即又由（1）之,,故直線垂直于平面同理可證直線垂直于平面故答案為：0;點(diǎn)或點(diǎn)15、①.1②.【解析】根據(jù)題意，正方形邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求解.【詳解】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第n個(gè)正方形的面積為，則第n個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以第n+1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，∴，即第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1；∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：1；.16、【解析】利用待定系數(shù)法列出關(guān)于的方程解出即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定理得到，兩邊消去公因式得到，化一即可求得角A；（2）因?yàn)?，所以，再結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.【詳解】（1）由,得,因?yàn)椋?，整理得：，因，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)榧?，所以，?【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求半徑，進(jìn)而得圓方程；（2）根據(jù)直線與圓的弦長(zhǎng)公式即可求解【小問(wèn)1詳解】由，所以圓O的方程為；【小問(wèn)2詳解】由點(diǎn)O到直線的距離為所以弦長(zhǎng)19、（1）（2）X01234p期望為.【解析】（1）求出甲、乙兩班級(jí)的出場(chǎng)序號(hào)中均為偶數(shù)的概率，進(jìn)而求出答案；（2）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值.【小問(wèn)1詳解】由題意得：甲、乙兩班級(jí)的出場(chǎng)序號(hào)中均為偶數(shù)的概率為，故甲、乙兩班級(jí)的出場(chǎng)序號(hào)中至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；【小問(wèn)2詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4，，，，故分布列為：X01234p數(shù)學(xué)期望為20、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)求出，即可得到結(jié)果（2）利用三角形的面積求出，通過(guò)由余弦定理求解即可【詳解】解：（1）因?yàn)閎cosA=（2c+a）cos（π﹣B），所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB∴cosB=﹣∴B=（2）由=得ac=4由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2+ac=16∴a+c=2【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正、余弦定理及三角形的面積公式解三角形問(wèn)題，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到21、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，進(jìn)而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小問(wèn)2詳解】∵，且，，，∴