2022-2023學(xué)年蘇教版江蘇高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義第03講 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(詳解版)

第7章三角函數(shù)

第03講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)

理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.借理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，會(huì)求三角函數(shù)的最

助圖象變換，了解函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.通小正周期.

過三角函數(shù)圖象的三種畫法：描點(diǎn)法、兒理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最大值與最

何法、五點(diǎn)法，體會(huì)用“五點(diǎn)法”作圖給小值的概念.

我們學(xué)習(xí)帶來的好處，并會(huì)熟練地畫出一會(huì)判斷三角函數(shù)的奇偶性，會(huì)求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

些較簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.會(huì)求三角函數(shù)的最值.

㈱知識(shí)精講

一、正弦函數(shù)圖象

1.正弦函數(shù)的圖象

2.正弦函數(shù)圖象的畫法

(-)幾何法：

(1)利用①畫出v=sinx,xG[O,22的圖象；

(2)將圖象向②平行移動(dòng)(每次2n個(gè)單位長(zhǎng)度).

(二)五點(diǎn)法：

TT_STT

(1)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：③，(?,1),④,(―,-1),⑤

2--2

(2)畫出正弦曲線在[0,2R上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，用光滑的曲線連接;

(3)將所得圖象⑥一平行移動(dòng)(每次2n個(gè)單位長(zhǎng)度).

二、余弦函數(shù)圖象

1.余弦函數(shù)的圖象

2.余弦函數(shù)圖象的畫法

(1)要得到片cosx的圖象，只需把片sinx的圖象向—⑦單位長(zhǎng)度即可，這是由于cosx二⑧.

⑵五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：⑨，(￡,0),⑩,(―,0),?

22-

(3)用“五點(diǎn)法”：畫余弦曲線*cosx在［0,2記上的圖象時(shí)，選取五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別為再用光滑的曲線連

接.

三、正切函數(shù)圖象

四、正余弦函數(shù)的性質(zhì)

1.周期函數(shù)

(1)對(duì)于函數(shù)/(x),如果存在一個(gè),使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的___________值時(shí)，都

有,那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/(x)的最小正周期.

(3)正弦函數(shù)y=sinx(xCR)和余弦函數(shù)y=cosx(x《R)都是周期函數(shù)，最小正周期為,2kn(keZ

且心0)是它們的周期.

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosx

定義域R

值域A

3FTT

J

2y2■*IT

圖象

°41T'

_IT3*rr

奇偶性②函數(shù)③函數(shù)

周期性最小正周期：7=④_

在⑤（kez）上遞增；在⑦（kez）上遞增；

單調(diào)性

在⑥~（kez）上遞減在⑧（kwz）上遞減

當(dāng)':⑨時(shí)，ymin=-1；當(dāng)乂=?時(shí)，ymin=-1；

最值

當(dāng)x=?時(shí)，ymax=l當(dāng)X二?時(shí),ymax=l

對(duì)稱軸x=—+knfkGZx=kn,k?Z

2

對(duì)稱為

(kn,0),kGZ(―+kn,0),kez

中心2

五、正切函數(shù)的性質(zhì)

定義域

值域②

奇偶性③函數(shù)

單調(diào)性在④_上單調(diào)遞增

周期性最小正周期為丁=豆___

對(duì)稱性對(duì)稱中心⑥

六、函數(shù)y=Asin（@x+°）的圖象

1.3對(duì)，=5訪（x+（p）,xWR的圖象的影響

片sin（x+（p）（eW0）的圖象可以看作是把正弦曲線片sinX上所有的點(diǎn)向①_（當(dāng)《>0時(shí)）或向②_（當(dāng)

°<0時(shí)）平行移動(dòng)③_個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.

2.U）（w>0）對(duì)y=sin（wx+（p）的圖象的影響

函數(shù)片sin（3x+（p）的圖象，可以看作是把片sin（x+卬）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)④（當(dāng)儂>1時(shí)，）或

⑤_（當(dāng)0<3<1時(shí)）到原來的⑥倍（縱坐標(biāo)⑦）而得到.

3.A（A>0）對(duì)片Asin（wx+<p）的圖象的影響

函數(shù)y=Asin（sx+g）的圖象，可以看作是把片sin（u）x+cp）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)⑧（當(dāng)A>1時(shí)）或縮

短（當(dāng)0<4<1時(shí)）到原來的⑨倍（橫坐標(biāo)不變）而得到，函數(shù)片Asinx的值域?yàn)樗畲笾禐檎甲?/p>

小值為?.

七、圖象平移伸縮變換

【探究問題】

1.函數(shù)y=sinx、y=sin2x、y=sin!》的周期分別是多少？

-2一一

2.要作出y=sin2x的圖象，需要求哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)？

3.要作出y=sin；x的圖象，又需要求哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)？

4.由上述探究和思考，你能得到>=411*和y=sin2x、y=sin；x圖象的關(guān)系嗎？

5.是否可由y=sin2x的圖象得到y(tǒng)=singx的圖象？

【探究提示】

1.2兀、兀、4兀；

TT3兀

2.分別令2x等于0、p兀、皇、2兀可得函數(shù),=5吊2%圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)：

JTTT37r

（O,O）,（-,1）,（-,O）,（—,-1）,（K,O）；

424

1兀377

3.分別令上x等于（）、-,兀、—,2兀可得函數(shù)y=sin2x圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)：

222

（0,0）,（兀,1）,（2兀,0）,（3兀,一1）,（4兀,0）；

4.y=sinx圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的;，得到y(tǒng)=sin2x的圖象：y=sinx圖象上

點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到y(tǒng)=singx的圖象；

5.可以，把^=$也2%的圖象伸長(zhǎng)為原來的4倍，得到y(tǒng)=singx的圖象.

運(yùn)??:韁?、運(yùn).，璃。.?運(yùn)…：＜.?二???*運(yùn)域.?。運(yùn)?鬻。??運(yùn)?。蠹.??

參考答案

一、①正弦線②左、向右③(0,0)④(兄，0)⑤(2n,0)⑥向左、向右

二、⑦左移g個(gè)⑧sin(x+])⑨(0,1)⑩(兄，-1)?(2n,1)

三、1.①非零常數(shù)7，②每一個(gè)，(3)/(x+T)=f(x),④非零常數(shù)了，⑤最小的正數(shù)，⑥2兀

rrjr

2.⑦[-1,1]⑧奇⑨偶⑩2H?[一耳+2左肛耳+2m]

JT37c77,

@[—+2ki,—+2k/r](12)[一九+2左左,2Z4](13)[2k/r,+7i\(14)--4-2k兀(kGZ)

7t

(15)-+2k兀(k￡Z)?(2左+1)兀(kGZ)(17)2k7i{kGZ)

五、①且+②(一00,+00)③奇④(左乃一],攵4+])(左wZ)⑤7T

⑥(",0)(keZ)

2

六、①左②右③|財(cái)④縮短⑤伸長(zhǎng)⑥,⑦不變⑧伸長(zhǎng)⑨A⑩[-4A]?-A

(0

考法01正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

例：

1.圖中的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是()

A.y=|sinx|B.y=sinIx|C.y=sin-1xID.y=—Isinx|

3

2.y=l+sinx,xe[0,2%]的圖象與y=5的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

14

【跟蹤訓(xùn)練】1.利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)/(x)=y=sin(—x+7)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的簡(jiǎn)圖.

26

2.作出函數(shù)y=Jl-cos?。的圖象.

3.用五點(diǎn)法畫出下列函數(shù)的圖象：

(1)y=2-sinx,xe[(),2?]；

正切函數(shù)的圖象

【說明】除利用正切線畫函數(shù)y=tanx(xwhr+m，AreZ)的圖象外，還可以利用類似于“五點(diǎn)法”的“三

點(diǎn)兩線法”作簡(jiǎn)圖，這里的三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,0),(烏,1),(-工,-1),兩線是直線x=巴和x=-2,根據(jù)這三

4422

點(diǎn)和兩條直線，便可以得到函數(shù)y=tanx(xlat+^,keZ)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖.畫出y=tanx,x的

圖象后，再把圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次移動(dòng)兀個(gè)單位長(zhǎng)度)，就可得到y(tǒng)=tanx,xwR,xw]+E,ZeZ

的圖象.正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線.

利用圖象求函數(shù)卜=必』6的定義域.

【跟蹤訓(xùn)練】

畫出函數(shù)y=|tanx|的簡(jiǎn)圖，并根據(jù)圖象寫出其周期和單調(diào)區(qū)間.

考法03三角函數(shù)的定義域、值域問題

求函數(shù)y=Jlog,二——1的定義域.

V-sinx

【名師點(diǎn)評(píng)】(1)求函數(shù)的定義域通常是解不等式組，利用“數(shù)形結(jié)合”，借助于數(shù)軸畫線求交集的方法進(jìn)

行.在求解三角函數(shù)，特別是綜合性較強(qiáng)的三角函數(shù)的定義域時(shí)，我們同樣可以利用“數(shù)形結(jié)合”，在單位

圓中畫三角函數(shù)線，求表示各三角不等式解集的扇形區(qū)域的交集來完成.

(2)求三角函數(shù)的定義域要注意三角函數(shù)本身的特征和性質(zhì)，如在轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組后要注意三角

函數(shù)的符號(hào)及單調(diào)性，在進(jìn)行三角函數(shù)的變形時(shí)，要注意三角函數(shù)的每一步變形都要保持恒等，即不能改

變?cè)瘮?shù)的自變量的取值范圍.

【跟蹤訓(xùn)練】

求下列函數(shù)的值域：

(1)y=|sinx|+sinx;；

71Jt71

(2)y—2sin(2xd—),xG[--,—]；

366

【點(diǎn)評(píng)】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特

殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)罷了.

考法04正切函數(shù)性質(zhì)

正切函數(shù)的性質(zhì)

1.周期性

由誘導(dǎo)公式可知，tan(x+7r)=tanx,XGR,xwE+工,ZeZ,因此花是正切函數(shù)的一個(gè)周期.

2

一般地，函數(shù)y=A+(p)+k(Aco0)的最小正周期T='-.

\(o\

2.奇偶性

正切函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x€R,x*E+±k€Z},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于/(-x)=tan(-x)=MT

2cos(-x)

=二包竺=Tanx=—/(x),因此正切函數(shù)是奇函數(shù).

COSX

3.單調(diào)性和值域

單位圓中的正切線如圖所示.

IinIV

利用單位圓中的正切線研究正切函數(shù)的單調(diào)性和值域，可得下表:

兀c71713兀

角X——f0——_f兀f—

2222

正切線AT—00fC)f4-00—00—>0->+00

tan尤增函數(shù)增函數(shù)

由上表可知正切函數(shù)在(-工馬和(巴，網(wǎng))上均為增函數(shù)，由周期性可知正切函數(shù)的增區(qū)間為

2222

++()teZ).此外由其變化趨勢(shì)可知正切函數(shù)的值域?yàn)?TO,+8)或R,因此正切函數(shù)沒

22

有最值.

【深化拓展】

y=|tan的周期性

函數(shù)y=|sinx|及y=|cosx|的周期是其對(duì)應(yīng)函數(shù)y=sinx,y=8sx周期的一半，而函數(shù)y=\tanx|的圖

象是把y=tanx在x軸下方的圖象翻折到x軸上方，但其周期與y=tanx的周期相等，均為乃

求函數(shù)y=tan(2x--)的定義域.

【跟蹤訓(xùn)練】求下列函數(shù)的最小正周期：

(1)y=tan(-^x)；

IT

(2)y=tan(2x+—).

【思路分析】利用周期函數(shù)的定義來解，對(duì)于正切函數(shù)y=tanx,

若tanx=tan(%+T),

則7為正切函數(shù)的周期.

T的最小值為最小正周期.

考法05五點(diǎn)作圖法

用五點(diǎn)法畫函數(shù)y=Asin(s:+0)(xwR)的簡(jiǎn)圖，先作變量代換，令X=cox+cp,再用方程思想由X取0,],

7

兀，,27t來確定對(duì)應(yīng)的X值，最后根據(jù)X,),的值描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)的圖象.

作出函數(shù)y=|sin(*()在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象.

【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)y=2sin（土+工）.

26

（1）試用“五點(diǎn)法”畫出它的圖象;

（2）求它的振幅、周期和初相.

【技巧點(diǎn)撥】利用五點(diǎn)法作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象之后，只需把函數(shù)圖象向左右兩方伸展出一部分即

可.如果要作出函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的圖象，則要注意函數(shù)圖象端點(diǎn)的處理.

考法06圖象的變換

如何由函數(shù)y=sinx的圖象得到函數(shù)>,=3sin（2x-§）的圖象？

【點(diǎn)評(píng)】（1）本題用了由函數(shù)y=sinx,xwR的圖象變換到函數(shù)y=Asin（5+e）,xeR的圖象的兩種方

法.第一種方法是先進(jìn)行相位變換；第二種方法是先進(jìn)行周期變換.在先進(jìn)行周期變換時(shí)，要注意下一步

的變換平移的長(zhǎng)度.

（2）若此問題改為“如何由y=3sin（2x—三）的圖象得到函數(shù)），=$山》的圖象”.請(qǐng)同學(xué)們自己敘述一下變

換過程.

【跟蹤訓(xùn)練】

將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行怎樣的變換可得到y(tǒng)=gsin（2x+3+1的圖象？

【思路分析】先相位變換，再周期變換，再振幅變換，最后平移即可.

考法07根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式

已知函數(shù)y=Asin（ox+0）（其中A>0,3>O,|同<兀）一個(gè)周期的圖象如圖所示，求函數(shù)的

解析式.

【解題技巧】求e的值是本類問題的難點(diǎn)，正確選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的方程是解決問題的關(guān)鍵.

【跟蹤訓(xùn)練】

若函數(shù)y=Asin（（yx+e）+8（其中A>0,a?0,|°|<］）在其一個(gè)周期內(nèi)的圖象上有一個(gè)最高點(diǎn)啥',3）和

一個(gè)最低點(diǎn)（段,-5）,求這個(gè)函數(shù)的解析式.

考法08函數(shù)y=Asin（s：+e）性質(zhì)的應(yīng)用

已知函數(shù)f（x）=Asin（6wx+e）,xeR（其中A>0,<w>01Q<<p<^）的周期為兀，且圖象

上的一個(gè)最低點(diǎn)為M（年,-2）.

（1）求/（X）的解析式；

（2）當(dāng)工€［0,5］時(shí)，求/（x）的最值.

【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)y=A-Acos（ox+s）（A>0,>0,0<夕<兀），且y=/（x）的最大值為2,其圖

象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,并過點(diǎn)（1,2）.

（1）求夕；

（2）計(jì)算阿+〃2）+…+〃2014）.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知函數(shù)/(%)=sin?yX3>0)在一親(上是單調(diào)函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱軸方程為x=一，則”

2

的值不可能是（）

\_75

B.D.

333

7T

2.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x+—),貝！|()

6

A./(X)的最小正周期為T

B./(x)的圖象可以由函數(shù)g(x)=2sin2x向左平移~個(gè)單位得到

C./(力的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

D./(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為內(nèi)乃+工水萬+二］伏eZ)

63

jr

3.函數(shù)片tan(3x+7)的一個(gè)對(duì)稱中心是()

6

兀

A.(0,0)B.(-,0)

6

44

C.(——，0)D.以上選項(xiàng)都不對(duì)

9

4.要得到函數(shù)y=sin(2x+^1的圖象，可以將函數(shù)y=sinx的圖象上各點(diǎn)()

A.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成原來的2倍，然后再向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度

B.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成原來的2倍，然后再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成原來的《，然后再向左平移B個(gè)單位長(zhǎng)度

D.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變成原來的!，然后再向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

212

5.點(diǎn)。［一盛力］是函數(shù)/.(x)=sin?x+°)+加(。＞0,閘＜5)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且點(diǎn)P到

該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值為27T,則()

4

A.“X)的最小正周期是2乃

B.加的值為2

C./(X)的初相為個(gè)

57r

D.“X)在--,0上單調(diào)遞增

6.函數(shù)〃x)=-2cos(；x+"的周期、振幅、初相分別是()

，兀c兀

C.4兀,2,—D.2兀,2,一

44

7.若要得到一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)圖像，可以將函數(shù)y=0cos（、+?）的圖像（）

TTTT

A.向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度

42

TTTT,

C.向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移7個(gè)單位長(zhǎng)度

42

（冗\(yùn)-rr27r

8.函數(shù)〃X）=COS⑺一1（。>0）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則。的最大值為（）

175,

A.-B.-C,-D.6

242

題組B能力提升練

1.為得到函數(shù)y=cos（x-（）的圖象，只需將y=cos2x的圖象（）

A.先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度

6

TT

B.先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.先向右平移B個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）

6

TT

D.先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）

2.設(shè)0>0,函數(shù)/（x）=-6sinGx+cosGx在區(qū)間（。，］上有零點(diǎn)，則口的值可以是（）

,1512

A.-B.—C.-D.一

6633

3.分別對(duì)函數(shù)y=sinx的圖象進(jìn)行如下變換：

①先向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，然后將其上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍，得到y(tǒng)=/（x）的圖象；

②先將其上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，

以下結(jié)論正確的是（）

A.f(x)=g(x)

47r、

B.—,0為〃zx）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

37

C.直線x=為函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸

D.“X)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度可得g(x)的圖象

4.寫出一個(gè)值域?yàn)椋郏?］的周期函數(shù)/(%)=.(不能用分段函數(shù)形式)

5.若函數(shù)/(x)=sin(2尤+0,^的圖象與直線y=a有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6.已知函數(shù)〃x)=V^sin［2x+弓).

1

-O方X

(1)用“五點(diǎn)法"作出了(X)在［0,可上的簡(jiǎn)圖.

(2)由圖象寫出/(X)在［0,兀］上的單調(diào)區(qū)間.

7.已知函數(shù)/(x)=sin((yx+°X(y>0,冏<句圖象經(jīng)過點(diǎn)(W，T)，(g)且在區(qū)間上

單調(diào)遞增.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

7T

(2)當(dāng)xe時(shí)，求/*)的值域.

_6

8.如圖是函數(shù)/(x)=Asin3x+e)(A>0,0>(),|<P|<|)的部分圖象.

(1)求函數(shù)/(x)的表達(dá)式;

(2)若函數(shù)/(x)滿足方程〃x)=a(0<a<l),求在[0,2可內(nèi)所有實(shí)數(shù)根之和.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.已知函數(shù)/(x)=sin(s+e),其中。>o,TT上，T一T二為f(x)的零點(diǎn)，且/(X),,I/71-\恒成立,

24

7T7C\

/(X)在區(qū)間一丁，底上有最小值無最大值，則。的最大值是_______

_1224)

2乃x

2.函數(shù)/(x)=cos(——)(xeZ)的值域有6個(gè)實(shí)數(shù)組成，則非零整數(shù)〃的值是.

n

3.函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足/(9-1=/(彳+X〕，且當(dāng)XG[0,乃)時(shí)，f(x)=2Sin”

V2JV2Jx—nx+n

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①/U)=0；

②萬是函數(shù)/(x)的周期；

③函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增；

④函數(shù)g(x)=/(x)-sin1(%G[-10,10])所有零點(diǎn)之和為3萬.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

4.已知函數(shù)/(x)=sin(@x+e)3>0,0<e(萬)的最小正周期為乃，且直線x=—]是其圖象的一條對(duì)

稱軸.

(1)求函數(shù)/(X)的解析式;

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移(個(gè)單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為

原來的2倍后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記作y=g(x),已知常數(shù)〃eN*,且函數(shù)

網(wǎng)x)=/(x)+沏(可在(0,〃乃)內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)4與n的值.

5.已知函數(shù),f(x)=2sin?x+0(0>O，M<;r),“X)圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差？

?

(1)①“X)的一條對(duì)稱軸x=_(且/⑤>/(1)；

②/(X)的一個(gè)對(duì)稱中心|二，。|，且在上單調(diào)遞減；

V12)|_63_

③/(x)向左平移1個(gè)單位得到的圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱且/(0)>0

從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；

(2)在(1)的情況下，令=-cos2x,g(x)=//[/z(x)],若存在xe使得

g2(x)+(2—a)g(x)+3—aWO成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

6.已知函數(shù)/(x)=Gsin(公v+*)+2sin2絲普一1(①>0,0<夕<兀)為奇函數(shù)，且.f(x)圖象的相鄰

兩對(duì)稱軸間的距離為巴.

2

(1)求.f(x)的解析式.

(2)求〃(x)=/(x)+sinx+cosx的最大值.

兀1

(3)將函數(shù).f(x)的圖象向右平移w個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的三(縱坐標(biāo)變)，得到函數(shù)

62

產(chǎn)g(x)的圖象，當(dāng)j芻時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域.

126

4it47r

(4)對(duì)于第(3)問中的函數(shù)g(X),記方程g(x)=q在上的根從小到依次為％,與，…Z，

試確定〃的值，并求玉+2々+2七+…+2x,i+x?的值.

第7章三角函數(shù)

第03講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)

理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.借理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，會(huì)求三角函數(shù)的最

助圖象變換，了解函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.通小正周期.

過三角函數(shù)圖象的三種畫法：描點(diǎn)法、幾理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最大值與最

何法、五點(diǎn)法，體會(huì)用“五點(diǎn)法”作圖給小值的概念.

我們學(xué)習(xí)帶來的好處，并會(huì)熟練地畫出一會(huì)判斷三角函數(shù)的奇偶性，會(huì)求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

些較簡(jiǎn)單的函數(shù)圖象.會(huì)求三角函數(shù)的最值.

趣知識(shí)精講

一、正弦函數(shù)圖象

1.正弦函數(shù)的圖象

2.正弦函數(shù)圖象的畫法

(-)幾何法：

(1)利用①畫出v=sinx,xW［0,2n］的圖象：

(2)將圖象向②平行移動(dòng)(每次2n個(gè)單位長(zhǎng)度).

(二)五點(diǎn)法：

yr37r

(1)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：③,(-,1),④,(―,-1),⑤

22

(2)畫出正弦曲線在［0,2m上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，用光滑的曲線連接;

(3)將所得圖象⑥一平行移動(dòng)(每次2兄個(gè)單位長(zhǎng)度).

二、余弦函數(shù)圖象

1.余弦函數(shù)的圖象

2.余弦函數(shù)圖象的畫法

(1)要得到片COSX的圖象，只需把y=sinx的圖象向—⑦單位長(zhǎng)度即可，這是由于cosx=⑧.

⑵五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(9),(-,0),⑩,(―,0),?

-------------2--------2-

(3)用“五點(diǎn)法”：畫余弦曲線y=cosx在［0,2n］上的圖象時(shí)，選取五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別為再用光滑的曲線連

接.

三、正切函數(shù)圖象

四、正余弦函數(shù)的性質(zhì)

1.周期函數(shù)

(2)對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè),使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的___________值時(shí)，都

有,那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個(gè),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/(x)的最小正周期.

(3)正弦函數(shù)y=sinx(x6R)和余弦函數(shù)y=cosx(x€R)都是周期函數(shù)，最小正周期為,2kn(kwZ

且心0)是它們的周期.

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)y=sinx片cosX

定義域R

值域①

3FTT

J

2y2■*IT

圖象

°41T'

_IT3*rr

奇偶性②函數(shù)③函數(shù)

周期性最小正周期：7=④_

在⑤（kez）上遞增；在⑦（kez）上遞增；

單調(diào)性

在⑥~（kez）上遞減在⑧（kwz）上遞減

當(dāng)':⑨時(shí)，ymin=-1；當(dāng)乂=?時(shí)，ymin=-1；

最值

當(dāng)x=?時(shí)，ymax=l當(dāng)X二?時(shí),ymax=l

對(duì)稱軸x=—+knfkGZx=kn,k?Z

2

對(duì)稱為

(kn,0),kGZ(―+kn,0),kez

中心2

五、正切函數(shù)的性質(zhì)

定義域

值域②

奇偶性③函數(shù)

單調(diào)性在④_上單調(diào)遞增

周期性最小正周期為丁=豆___

對(duì)稱性對(duì)稱中心⑥

六、函數(shù)y=Asin（@x+°）的圖象

1.3對(duì)，=5訪（x+（p）,xWR的圖象的影響

片sin（x+（p）（eW0）的圖象可以看作是把正弦曲線片sinX上所有的點(diǎn)向①_（當(dāng)《>0時(shí)）或向②_（當(dāng)

°<0時(shí)）平行移動(dòng)③_個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.

2.U）（w>0）對(duì)y=sin（wx+（p）的圖象的影響

函數(shù)片sin（3x+（p）的圖象，可以看作是把片sin（x+卬）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)④（當(dāng)儂>1時(shí)，）或

⑤_（當(dāng)0<3<1時(shí)）到原來的⑥倍（縱坐標(biāo)⑦）而得到.

3.A（A>0）對(duì)片Asin（wx+<p）的圖象的影響

函數(shù)y=Asin（sx+g）的圖象，可以看作是把片sin（u）x+cp）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)⑧（當(dāng)A>1時(shí)）或縮

短（當(dāng)0<4<1時(shí)）到原來的⑨倍（橫坐標(biāo)不變）而得到，函數(shù)片Asinx的值域?yàn)樗?，最大值為占?/p>

小值為?.

七、圖象平移伸縮變換

【探究問題】

1.函數(shù)y=sinx、y=sin2x、y=sin!》的周期分別是多少？

-2一一

2.要作出y=sin2x的圖象，需要求哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)？

3.要作出y=sin；x的圖象，又需要求哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)？

4.由上述探究和思考，你能得到>=411*和y=sin2x、y=sin；x圖象的關(guān)系嗎？

5.是否可由y=sin2x的圖象得到y(tǒng)=singx的圖象？

【探究提示】

1.2兀、兀、4兀；

TT3兀

2.分別令2x等于0、p兀、皇、2?？傻煤瘮?shù),=5吊2%圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)：

JTTT37r

（O,O）,（-,1）,（-,O）,（—,-1）,（K,O）；

424

1兀377

3.分別令上x等于（）、-,兀、—,2?？傻煤瘮?shù)y=sin2x圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)：

222

（0,0）,（兀,1）,（2兀,0）,（3兀,一1）,（4兀,0）；

4.y=sinx圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的;，得到y(tǒng)=sin2x的圖象：y=sinx圖象上

點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到y(tǒng)=singx的圖象；

5.可以，把^=$也2%的圖象伸長(zhǎng)為原來的4倍，得到y(tǒng)=singx的圖象.

8?.：%.、運(yùn)魏。.?運(yùn).。培,?盤霧?.?■富

參考答案

一、①正弦線②左、向右③(0,0)(4)(n,0)⑤(2n,0)⑥向左、向右

二、⑦左移二個(gè)⑧sin(x+巴)⑨(0,1)⑩(兀，-1)?(2n,1)

22

三、1.①非零常數(shù)7，②每一個(gè)，@f(x+7)=f(x),④非零常數(shù)7，⑤最小的正數(shù)，⑥2n

2.⑦[-1,1]⑧奇⑨偶⑩2n?]一一+2k7V,—+2k7v]

22

jr37rTC

(§)[—+2卜兀,—+2k/r](12)\-TI+2k/r](13)[2k/r,2k7i+TT](14)-—+2k兀(kwZ)

jr

?-+2k兀(keZ)?(2A+D戒kGZ)(17)2k世kGZ)

五、①{x|XGH且XH+ez}②(一00,+00)③奇④伏"-3次乃+，(keZ)⑤n

@(—.OXXreZ)

2

六、①左②右③|神④縮短⑤伸長(zhǎng)⑥⑦不變⑧伸長(zhǎng)⑨A⑩[-4A]?T

CO

考法01正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象

例3

1.圖中的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是()

A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=sin-1x|D.y=-|sinx|

【思路分析】y軸右側(cè)的圖象與y=sinx關(guān)于*軸對(duì)稱所以為T=-sinx的一部分整個(gè)圖象關(guān)于y軸對(duì)

稱，則函數(shù)為偶函數(shù)，則應(yīng)為y=-sin|x|

【答案】C

【解析】考慮取特殊值.

2.丁=1+$也蒼％?0,2句的圖象與〉二：的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

----------------------------------------------------------------------3

【思路分析】作出的圖象y=sinxt平移得到的圖象y=l+sinx,xc[0,2兀]作出直底|y二—

【答案】2

【解析】由y=sinx的圖象向上平移1個(gè)單位，得y=l+sinx,xw[(),2句的圖象，故與y=,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

是2個(gè).

11

【跟蹤訓(xùn)練】1.利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)/(x)=y=sin(—x+7)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的簡(jiǎn)圖.

26

]7T

【思路分析】先列表如圖確定五點(diǎn)的坐標(biāo)，后描點(diǎn)并畫圖，利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=sin(^x+代)在長(zhǎng)度

26

為一個(gè)周期的閉區(qū)間的簡(jiǎn)圖；

【解析】先列表，后描點(diǎn)并畫圖

17V3冗

—x+—°2不

26T

8萬1U

X

--T

y1010

2.作出函數(shù)丁=J1-cos?。的圖象.

【思路分析】要善于利用函數(shù)y=/(x)的圖象來作y="(x)|及y=/(|x|)的圖象.

［解析】將y=Vl-cos2x化為y=|sinx|,

sinxQk兀<x<+")

因?yàn)閥■sinx|=<

-sinx(lk7T+7r<x<2Zrzr+2^),(kez)(keZ)

所以作出y=—cos?x的圖象如下圖所示.

3.用五點(diǎn)法畫出下列函數(shù)的圖象:

(1)y=2-sinx,xe[0,2^-]；

(2)y=—+sinx,xe[0,2TT].

【思路分析】按列表、描點(diǎn)、連線的步驟作圖象，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，另外注意曲線凹凸的方向.

【解析】按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表如下:

7137r

X0