2025屆山西省上黨聯(lián)盟高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆山西省上黨聯(lián)盟高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知在等比數(shù)列中，，，則（）A.9或 B.9C.27或 D.272．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且，則（）A.12 B.4C.6 D.83．?dāng)?shù)列中前項(xiàng)和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．太極圖被稱(chēng)為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱(chēng)陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱(chēng)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，設(shè)圓O：，則下列說(shuō)法中正確的是（）①函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)②圓O的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)③函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)④函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是為圓O的太極函數(shù)的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④5．由直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A. B.C.4 D.26．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.17．如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.8．若曲線與曲線在公共點(diǎn)處有公共切線，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或10．小明騎車(chē)上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.11．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若、、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)到軸的距離為A B.4C. D.12．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A. B.C. D.以上都不對(duì)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將數(shù)列{n}按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，則第22組中的第一個(gè)數(shù)是_________14．已知函數(shù)，___________.15．下列命題：①若，則；②“在中，若，則”逆命題是真命題；③命題“，”的否定是“，”；④“若，則”的否命題為“若，則”.則其中正確的是______.16．已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)且，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，，（）（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；（3）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫(xiě)出的解析式．（直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由）18．（12分）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）如圖，在三棱柱中，，D為BC的中點(diǎn)，平面平面ABC（1）證明：；（2）已知四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn)E，使得平面EAD與平面EAC的夾角的余弦值為，若存在，求出CE的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)（其中，）與拋物線相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖，連接并延長(zhǎng)交拋物線于兩點(diǎn)，，設(shè)和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）一臺(tái)還可以用的機(jī)器由于使用的時(shí)間較長(zhǎng)，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來(lái)的某機(jī)械零件有一些會(huì)有缺陷，每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速率而變化，下表為抽樣試驗(yàn)結(jié)果:轉(zhuǎn)速(轉(zhuǎn)/秒)1615129每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)（件）10985通過(guò)觀察散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)與有線性相關(guān)關(guān)系:（1）求關(guān)于的回歸直線方程；（2）若實(shí)際生產(chǎn)中，允許每小時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個(gè)，那么機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(參考:回歸直線方程為，其中，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)公比為，則，解得，又，所以.故選：B.2、B【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求出公差.【詳解】，所以.故選：B3、B【解析】由已知求得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，，可求得范圍.【詳解】解：因?yàn)?，則，兩式相減得，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.4、B【解析】①③可以通過(guò)分析奇偶性和結(jié)合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數(shù)，且與圓O的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故符合題意，①正確；同理函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)，③正確；例如，是偶函數(shù)，也能將將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故②錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)不是為圓O的太極函數(shù)的充要條件，例如為奇函數(shù)，但不滿足將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，所以④錯(cuò)誤；故選：B5、D【解析】切點(diǎn)與圓心的連線垂直于切線，切線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為直線上點(diǎn)與圓心連線和半徑的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心與直線上點(diǎn)距離的最小值，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，，切線長(zhǎng)的最小值為：，故選：D.6、B【解析】先畫(huà)出可行域，由，作出直線向下平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最小值，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中可求得答案【詳解】由題可得其可行域?yàn)槿鐖D，l：，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B7、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C8、A【解析】設(shè)公共點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)、的值.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，曲線在處的切線斜率，的導(dǎo)數(shù)為，曲線在處的切線斜率，因?yàn)閮汕€在公共點(diǎn)處有公共切線，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故選：A9、B【解析】分雙曲線的焦點(diǎn)在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點(diǎn)在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定的情況下，要對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類(lèi)討論，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】先研究四個(gè)選項(xiàng)中圖象的特征，再對(duì)照小明上學(xué)路上的運(yùn)動(dòng)特征，兩者對(duì)應(yīng)即可選出正確選項(xiàng).【詳解】考查四個(gè)選項(xiàng)，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示的是離開(kāi)學(xué)校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車(chē)上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛可得出圖象開(kāi)始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，故此時(shí)有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時(shí)間加快速度行駛，此一段時(shí)間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關(guān)鍵是理解坐標(biāo)系的度量與小明上學(xué)的運(yùn)動(dòng)特征，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為根據(jù)橢圓方程求得c，進(jìn)而判斷出，即得或令，進(jìn)而可得點(diǎn)P到x軸的距離【詳解】解：設(shè)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M由于，，；，只能或令，得，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本應(yīng)用考查了學(xué)生推理和實(shí)際運(yùn)算能力是基礎(chǔ)題12、C【解析】根據(jù)目標(biāo)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知，第組中最后一個(gè)數(shù)即為前組數(shù)的個(gè)數(shù)和，由此可求得第21組的最后一個(gè)數(shù)，從而就可得第22組的第一個(gè)數(shù).【詳解】由條件可知，第21組的最后一個(gè)數(shù)為，所以第22組的第1個(gè)數(shù)為.故答案為：14、【解析】直接利用分段函數(shù)的解析式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：-115、②③④【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，正弦定理與四種命題的概念，命題的否定，判斷各命題【詳解】①，滿足，但，①錯(cuò)；②在中，由正弦定理，因此其逆命題也是真命題，②正確；③存在命題的否定是全稱(chēng)命題，命題“，”的否定是“，”，③正確；④由否命題的概念，“若，則”的否命題為“若，則”，④正確故答案為：②③④16、3【解析】根據(jù)雙曲線方程求出，再根據(jù)雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線為，所以、，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】（1）取得中點(diǎn)，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側(cè)棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量公式即可得出；（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫(xiě)出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，又，側(cè)棱底面，，，平面（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則，解得，故所求（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案寫(xiě)出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，利用向量求線面角、柱體的定義應(yīng)用和表面積的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題18、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算作答.(2)由(1)求出，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和19、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直證明線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】∵，且D為BC的中點(diǎn)，∴，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，交線為BC，AD⊥BC，AD面ABC，所以AD⊥面，因?yàn)槊?，所?【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)E，滿足題設(shè)要求連接，，∵四邊形為邊長(zhǎng)為2的菱形，且，∴為等邊三角形，∵D為BC的中點(diǎn)∴，∵平面平面ABC，交線為BC，面，所以面ABC，故以D為原點(diǎn)，DC，DA，分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系則，，，，設(shè)，，設(shè)面AED的一個(gè)法向量為，則，令，則設(shè)面AEC的一個(gè)法向量為，則，令，則設(shè)平面EAD與平面EAC的夾角為，則解得：，故點(diǎn)E為中點(diǎn)，所以20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）是定值，定值為.【解析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到韋達(dá)定理，再利用韋達(dá)定理求出，即得證；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到韋達(dá)定理，再求出，，即得解.【詳解】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，得，所以.所以即.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去，得，故.設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去得，從而，則，同理可得，，即定值.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】(1)根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問(wèn)題；(2)以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，求法向量的夾角，根據(jù)二面角的余弦值與法向量的夾角的余弦的關(guān)系確定二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】由題意，，等邊三角形，，∵