安徽省亳州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2025屆安徽省高三摸底大聯(lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3．本卷命題范圍：高考范圍.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后由復(fù)數(shù)的幾何意義可得.【詳解】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．故選：B．2.已知集合．則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求，進(jìn)而得圖中陰影部分表示的集合.【詳解】由題，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：D.3.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求出分位數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)定義得到方程，求出【詳解】因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)共6個(gè)，且，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大第3個(gè)數(shù)，即6，則，解得．故選：B．4.已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圓柱半徑可得圓柱的高，然后可解.【詳解】球的體積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A．5.已知，則值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】，利用三角恒等變換得到，求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，即，所以，解得（?fù)根舍去）.故選：C．6.已知雙曲線，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)在上即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，即，又兩條漸近線方程為，即，故有，所以．故選：B．7.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則的值為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性解方程組求解可得，然后可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即①，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即②，聯(lián)立①②可得，所以．故選：D．8.數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則可能的不同取值的個(gè)數(shù)為（）A.45 B.46 C.90 D.91【答案】B【解析】【分析】利用累加法表示出，先計(jì)算時(shí)的，然后依次將調(diào)整為3可求得的最大值，然后可得解.【詳解】由累加法可得，其中，故，且an奇偶交錯(cuò)出現(xiàn).（1）若為奇數(shù)，由可得對(duì)可取遍中的每一個(gè)奇數(shù)；（2）若為偶數(shù)，由可得對(duì)可取遍中的每一個(gè)偶數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，；考慮時(shí)，調(diào)整為3，則對(duì)應(yīng)的可增加，依次對(duì)至少一個(gè)調(diào)整為3后，即，從上述的調(diào)整過(guò)程可得取遍了中的奇數(shù)或偶數(shù)（取奇數(shù)還是偶數(shù)取決于的奇偶性），當(dāng)時(shí)，取遍了中的奇數(shù)，合計(jì)46個(gè).故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于先根據(jù)求的最小值，然后依次將調(diào)整為3求的最大值，然后分析即可得解.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9已知隨機(jī)變量滿足：，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式和方差公式列方程求出，然后根據(jù)期望性質(zhì)和方差性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】對(duì)A，因?yàn)椋?，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由上知，故B正確；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D正確．故選：BCD．10.設(shè)函數(shù)，定義域?yàn)?，若關(guān)于的不等式的解集為或，下列說(shuō)法正確的是（）A.的極大值為0B.點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心C.直線與函數(shù)的圖象相切D.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)解集確定，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求極值可判斷A；計(jì)算即可判斷B；設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解可判斷C；求出極小值，然后解，結(jié)合圖象即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，解得或，所以，則，當(dāng)時(shí)，f′x<0；當(dāng)或時(shí)，f′可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為f1=0，故A對(duì)于B，因?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得所以直線與函數(shù)的圖象相切于，故C正確；對(duì)于D，由A選項(xiàng)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，令，解得或3，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，由圖可知，的取值范圍為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.曲線的圖象由兩個(gè)圓構(gòu)成B.的最大值為C.的取值范圍為D.直線與曲線有且僅有3個(gè)交點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)方程為，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可判定A正確；由表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，可判定B錯(cuò)誤；設(shè)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線與圓的位置關(guān)系，可判定C正確；由直線與圓均相切，可判定D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A中，由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個(gè)圓，所以A正確；對(duì)于B中，由表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，最大值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，即圖中直線的斜率為1，可得直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則直線與圓相切，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，又由表示的是點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，故的取值范圍為，所以C正確；對(duì)于D中，由C項(xiàng)可知直線與圓均相切，所以直線與曲線有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解策略：1、借助幾何性質(zhì)與圓的有關(guān)最值問(wèn)題，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想求解：①形如：形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題；②形如：形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；③形如：的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問(wèn)題；2、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；3、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．12.已知向量，且，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】【分析】通過(guò)向量線性運(yùn)算、向量平行求得參數(shù)，根據(jù)投影向量求法求解即可.【詳解】由題意知，因?yàn)椋傻?，解得，所以，所以在上的投影向量為．故答案為?13.已知函數(shù)與的圖象上任意3個(gè)相鄰的交點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)出相鄰三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可知為等腰直角三角形，然后可得，求解即可得解.【詳解】如圖所示，設(shè)函數(shù)與的交點(diǎn)分別為，由得，所以，則，由對(duì)稱性和已知可得為等腰直角三角形，所以點(diǎn)到直線的距離為，即，解得．故答案為：14.用個(gè)不同的元素組成個(gè)非空集合（，每個(gè)元素只能使用一次），不同的組成方案數(shù)記作，且當(dāng)時(shí)，．現(xiàn)有7名同學(xué)參加趣味答題活動(dòng)，參加一次答題，即可隨機(jī)獲得四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學(xué)獲得卡片后，可集齊全4種卡片的概率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用結(jié)論列出對(duì)應(yīng)取值表格，然后由排列組合知識(shí)和古典概型概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)題干可列出對(duì)應(yīng)取值表格如下：12341121131314176151152510613190657163301350即個(gè)人集齊全4種卡片等價(jià)于7個(gè)不同元素組成4個(gè)非空集合，再將4個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)4種卡片，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于正確理解題干結(jié)論，利用結(jié)論求出，然后結(jié)合古典概型概率公式求解.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用和差公式和三角形內(nèi)角和定理將已知條件展開(kāi)，然后化簡(jiǎn)整理即可得解；（2）利用三角形面積公式求出，然后由面積公式和余弦定理列方程組可得，可得周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由，得，①由，得，②由①②聯(lián)立，得，由，得，所以，又由B∈0,π，得【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，得．由，即，所以．由余弦定理，得，即，所以，可得，所以的周長(zhǎng)為．16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與直線分別交橢圓于和兩點(diǎn)，求四邊形的面積．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義和離心率定義列方程組求解即可；（2）利用弦長(zhǎng)公式和平行直線的距離公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，解得，則橢圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】易知四邊形為平行四邊形，設(shè)Ax1聯(lián)立直線與橢圓消去并整理得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榕c平行，所以這兩條直線的距離，則平行四邊形的面積．17.如圖，在四棱錐中，，平面平面．（1）證明：；（2）若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理證明，然后由面面垂直性質(zhì)定理可證平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）記為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后由二面角的向量法可得.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，因?yàn)?，易知，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則令，則，故，故，設(shè)二面角的大小為，由圖形可知，為銳角，故二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)．（1）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′x，進(jìn)而由求得，再檢驗(yàn)即可.（2）先構(gòu)造函數(shù)設(shè)，定義域?yàn)?，接著求其?dǎo)函數(shù)，再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減，再結(jié)合，得到存在使gx0=0，從而得時(shí)h′x>0，函數(shù)hx單調(diào)遞增，時(shí)h′x<0，函數(shù)hx單調(diào)遞減，進(jìn)而得，再結(jié)合題意得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得恒成立，于是由在上單調(diào)遞減且gx0=0得恒成立，解即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題，故，解得，此時(shí)，故定義域?yàn)?,+∞，，所以當(dāng)時(shí)f′x<0，x∈2,+所以為函數(shù)的極值點(diǎn)，故.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，定義域?yàn)?，，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，在上連續(xù)，所以存使，當(dāng)時(shí)，gx>0，即h′x當(dāng)時(shí)，gx<0，即h′x所以函數(shù)hx，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且gx0=0所以只需恒成立，即，解得.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)恒成立求參問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)換成最值問(wèn)題，所以對(duì)于不等式恒成立可以先轉(zhuǎn)化成求函數(shù)，，的最值，利用導(dǎo)數(shù)工具求出即可進(jìn)一步求解，接下來(lái)根據(jù)恒成立，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得恒成立，再由在上單調(diào)遞減且gx0=0得恒成立，解即可得解.19.已知數(shù)列，對(duì)于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．（1）判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；（3）證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，有”．【答案】（1）數(shù)列是“凹數(shù)列”，理由見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）計(jì)算出，故滿足“凹數(shù)列”的定義；（2）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到，由題意得對(duì)任意恒成立，化簡(jiǎn)得到，得到答案；（3）先證明出必要性，放縮得到，故，再證明充分性，取，則有，即，所以為“凹數(shù)列”.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則，又，故，即，數(shù)列是“凹數(shù)列”．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)