江蘇省南通市通州區(qū)、海安縣2025屆高二數學第一學期期末考試模擬試題含解析

江蘇省南通市通州區(qū)、海安縣2025屆高二數學第一學期期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某學校隨機抽取了部分學生，對他們每周使用手機的時間進行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內的學生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③2．已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A.6 B.36C.10 D.3．設等差數列前項和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.264．設雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.85．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}6．已知函數，若對任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.7．設為拋物線焦點，直線，點為上任意一點，過點作于，則（）A.3 B.4C.2 D.不能確定8．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.39．已知等差數列的前項和為，且，，則（）A.3 B.5C.6 D.1010．已知焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.11．已知函數，為的導數，則（）A.-1 B.1C. D.12．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市開展“愛我內蒙，愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委給參賽作品A打出的分數如莖葉圖所示，記分員算得平均分為91，復核員在復核時，發(fā)現一個數字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則數字x應該是______14．某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為100，200，150，50件．為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上所有產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取___________件15．如圖是用斜二測畫法畫出水平放置的正三角形ABC的直觀圖，其中，則三角形的面積為______.16．二項式的展開式中，項的系數為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）各項都為正數的數列的前項和為，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）求；（3）設，數列的前項和為，求使成立的的最小值.18．（12分）已知橢圓點（1）若橢圓的左焦點為，上頂點為，求點到直線的距離；（2）若點是橢圓的弦的中點，求直線的方程19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A、B、C的度數成等差數列，（1）若，求c的值；（2）求最大值20．（12分）已知等差數列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.21．（12分）設，分別是橢圓：的左、右焦點，的離心率為，點是上一點.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓E于A，B兩點，且，求直線的方程.22．（10分）已知數列的前n項和為，，且.（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內的學生中選取的人數為3.【詳解】，故①正確；根據頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內的學生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數為，故③正確.故選：B.2、B【解析】由公切線條數得兩圓外切，由此可得的關系，從而點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，由求得的最小值，平方后即得結論【詳解】圓標準方程為，，半徑為，圓標準方程為，，半徑為，兩圓有三條公切線，則兩圓外切，所以，即，點在以原點為圓心，4為半徑的圓上，記，，所以，所以的最小值為故選：B3、A【解析】根據給定條件利用韋達定理結合等差數列性質計算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數列的前項和，于是得，所以.故選：A4、C【解析】根據雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質可知，利用函數的單調性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質可知：，令，則，所以上單調遞增，所以當時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.5、D【解析】根據題意，解不等式求出集合，由，得，進而求出，從而可求出集合，最后根據并集的運算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因為，則，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集的定義和并集運算，屬于基礎題.6、B【解析】根據函數單調性定義、二次函數性質及對稱軸方程，即可求解參數取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數，則，即的取值范圍是故選：B【點睛】本題考查函數單調性定義，二次函數性質，屬于基礎題.7、A【解析】由拋物線方程求出準線方程，由題意可得，由拋物線的定義可得，即可求解.【詳解】由可得，準線為，設，由拋物線的定義可得，因為過點作于，可得，所以，故選：A.8、D【解析】根據空間向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】.故選：D.9、B【解析】根據等差數列的性質，以及等差數列的前項和公式，由題中條件，即可得出結果.【詳解】因為數列為等差數列，由，可得，，則.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數列的性質，以及等差數列前項和的基本量運算，屬于基礎題型.10、D【解析】由題意，化簡即可得出雙曲線的離心率【詳解】解：由題意，.故選：D11、B【解析】由導數的乘法法則救是導函數后可得結論【詳解】解：由題意，，所以.故選：B12、A【解析】根據題意可求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，再根據截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關系，即可求出球的半徑，從而得到球的體積【詳解】設球的半徑為cm，根據已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為cm，所以由，得，所以球的體積為故選：A【點睛】本題主要考查球的體積公式的應用，以及球的結構特征的應用，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由平均數列出方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：114、【解析】根據分層抽樣的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為100，200，150，50件，用分層抽樣的方法從以上所有產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取個數為件.故答案為：.15、【解析】根據直觀圖和平面圖的關系可求出，進而利用面積公式可得三角形的面積【詳解】由已知可得則故答案為：.16、80【解析】利用二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】二項式的通項公式為：，令，所以項的系數為，故答案為：80三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數列的遞推關系式，結合等差數列的定義，即可求得數列的通項公式；（2）化簡，結合裂項相消法求出數列的和；（3）利用分組法求得，結合，即可求得的最小值.【小問1詳解】解：因為各項都為正數的數列的前項和為，且滿足，當時，解得；當時，；兩式相減可得，整理得（常數），故數列是以2為首項，2為公差的等差數列；所以.【小問2詳解】解：由，可得，所以，所以.【小問3詳解】解：由，可得，所以當為偶數時，，因為，且為偶數，所以的最小值為48；當為奇數時，，不存在最小的值，故當為48時，滿足條件.18、（1）（2）【解析】(1)根據橢圓基本關系求得,,再利用截距式求得方程,進而求得點到直線的距離.(2)設,利用點差法求解即可.【詳解】（1）橢圓的左焦點是,上頂點,方程為,即,點到直線的距離；（2）設,,,,又,,兩式相減得：,,即直線的斜率為,直線的方程為：,即【點睛】本題主要考查了橢圓中的基本量運算以及點差法的運用,屬于基礎題.19、（1）；（2）【解析】（1）利用等差數列以及三角形內角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數，結合三角函數的最值求解即可【詳解】（1）由角A、B、C的度數成等差數列，得2B＝A＋C又，∴由正弦定理，得，即由余弦定理，得，即，解得（2）由正弦定理，得，∴，∴由，得所以當時，即時，20、（1）（2）【解析】（1）根據已知求出首項和公差即可求出；（2）利用裂項相消法求解即可.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因為，所以，化簡得，解得，所以【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以.21、（1）（2）或【解析】(1)按照所給的條件帶入橢圓方程以及e的定義即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，表達出，解方程即可.【小問1詳解】由題意知，，且，解得，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率存在且不為0，故可設直線的方程為，設，.由得，則……①，……②，因為，所以，，由可得……③由①②