河北邢臺(tái)市南和一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題含解析

河北邢臺(tái)市南和一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.2．已知x是上的一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù)，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.3．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（）A.4 B.3C.2 D.14．直線的方向向量為（）A. B.C. D.5．函數(shù)的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.66．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線，過點(diǎn)作直線l，若l與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.48．在等比數(shù)列中，，且，則t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.29．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.10．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.211．已知直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A. B.C.﹣1 D.112．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______.14．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.15．設(shè)點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，已知，且，則雙曲線的離心率為________16．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數(shù)列記為，則___________（填數(shù)值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物錢C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.18．（12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)M滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，點(diǎn)，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點(diǎn)B．證明：動(dòng)直線PB經(jīng)過定點(diǎn)19．（12分）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是，且，求的最小值.20．（12分）已知數(shù)列中，.（1）證明是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使恒成立的最小的整數(shù)k.21．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.22．（10分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先求定義域，再由導(dǎo)數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，所以由得，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.2、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.3、C【解析】由拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,故拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解析】根據(jù)直線方程，求得斜率k，分析即可得直線的方向向量.【詳解】直線變形可得，所以直線的斜率，所以向量為直線的一個(gè)方向向量，因?yàn)?，所以向量為直線的方向向量，故選：D5、D【解析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最小值【詳解】由，得，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：D6、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D7、D【解析】先確定雙曲線的右頂點(diǎn)，再分垂直軸、與軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，再分、兩種情況討論，即可得解【詳解】解：根據(jù)雙曲線方程可知右頂點(diǎn)為，使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)情況為：①當(dāng)垂直軸時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)的直線方程為，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為聯(lián)立方程可得當(dāng)即時(shí)，方程只有一個(gè)根，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，整理可得即故選：D8、A【解析】先求出，利用等比中項(xiàng)求出t.【詳解】在等比數(shù)列中，，且，所以所以，即，解得：.當(dāng)時(shí)，，不符合等比數(shù)列的定義，應(yīng)舍去，故.故選：A.9、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義判斷【詳解】由題意得，圖象上某點(diǎn)處的切線斜率隨增大而減小，滿足要求的只有A故選：A10、B【解析】根據(jù)互相垂直的兩直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)閮芍本€與互相垂直，所以，故選：B11、A【解析】利用兩直線垂直斜率關(guān)系，即可求解.【詳解】直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查兩直線垂直間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】利用空間向量線性運(yùn)算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出的值，由此可得出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，整理可得，，解得，因此，.故答案為：.14、【解析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)在處的切線方程.【詳解】，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.16、992【解析】列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規(guī)律可得中，以為被減數(shù)的項(xiàng)共有個(gè)，因?yàn)?，所以是中的?項(xiàng)，所以.故答案為：992.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程即可求解；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理即可求出的值;當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由過點(diǎn)即可求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出的值.【小問1詳解】將點(diǎn)代入得，，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理得：，，，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由直線過點(diǎn),則，，，，綜上所述可知，為定值為.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達(dá)定理，利用N、B、Q三點(diǎn)共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關(guān)系，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得的值，從而得直線BP所過定點(diǎn)【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?dòng)點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，則，可得，，所以，點(diǎn)M的軌跡方程為；【小問2詳解】證明：∵，∴直線PQ垂直于x軸，易知，直線BP的斜率存在且不為0，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，化簡得：，直線與雙曲線左支、右支各有一個(gè)交點(diǎn)，需滿足或，∴，，又，又N、B、Q三點(diǎn)共線，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化簡得：，∴，∴，即，滿足判別式大于0，即直線BP方程為，所以直線BP過定點(diǎn)19、（1）（2）8【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，求得，同理求得，從而可求得的值，再結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)，則，等價(jià)于，曲線為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且實(shí)軸長為2，焦距為，故曲線的方程為：；【小問2詳解】解：由題意可得直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，所以，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.20、（1）證明見解析，（2）4【解析】（1）由，得到，利用等比數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，然后利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，得，∴，∴數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，∴，即.【小問2詳解】由題意得.，兩式相減得：，因?yàn)?，所以，所以使恒成立的最小的整?shù)k為4.21、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，進(jìn)而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得