2025屆云南省玉溪市江川縣數學高二上期末統考模擬試題含解析

2025屆云南省玉溪市江川縣數學高二上期末統考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數及其導函數，若存在使得，則稱是的一個“巧值點”.下列選項中沒有“巧值點”的函數是()A. B.C. D.2．已知數列滿足：，數列的前n項和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．直線的傾斜角為（）A.60° B.30°C.120° D.150°4．已知雙曲線上點到點的距離為15，則點到點的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或215．若函數在區(qū)間上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.27．在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（）A. B.C. D.8．在平面直角坐標系中，已知點，，，，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是.當時，的最小值為（）A. B.C. D.9．已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標滿足，則的最小值為（）A B.C. D.410．若橢圓上一點到C的兩個焦點的距離之和為，則（）A.1 B.3C.6 D.1或311．下列結論正確的個數為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.112．已知直線，當變化時，所有直線都恒過點（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某次數學期末試卷中有8道4選1的單選題14．若是直線外一點，為線段的中點，，，則______15．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________16．已知函數有三個零點，則實數的取值范圍為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.（1）若在點處的切線為，求a，b的值；（2）求的單調區(qū)間.18．（12分）已知等差數列的前和為，數列是公比為2的等比數列，且，（1）求數列和數列的通項公式；（2）現由數列與按照下列方式構造成新的數列①將數列中的項去掉數列中的項，按原來的順序構成新數列；②數列與中的所有項分別構成集合與，將集合中的所有元素從小到大依次排列構成一個新數列;在以上兩個條件中任選一個做為已知條件，求數列的前30項和.19．（12分）設雙曲線的左、右焦點分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°（1）求雙曲線C的標準方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標準方程20．（12分）已知圓與直線相切（1）求圓O的標準方程；（2）若線段AB的端點A在圓O上運動，端點B的坐標是，求線段AB的中點M的軌跡方程21．（12分）籃天技校為了了解車床班學生的操作能力，設計了一個考查方案；每個考生從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成零件加工，規(guī)定：至少正確加工完成其中個零件方可通過．道備選題中，考生甲有個零件能正確加工完成，個零件不能完成；考生乙每個零件正確完成的概率都是，且每個零件正確加工完成與否互不影響（1）分別求甲、乙兩位考生正確加工完成零件數的概率分布列（列出分布列表）；（2）試從甲、乙兩位考生正確加工完成零件數的數學期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的操作能力22．（10分）如圖所示，第九屆亞洲機器人錦標賽VEX中國選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設計了一個矩形坐標場地ABCD（包含邊界和內部，A為坐標原點），AD長為10米，在AB邊上距離A點4米的F處放置一只電子狗，在距離A點2米的E處放置一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機器人在場地內沿直線方向同時到達場地內某點M，那么電子狗將被機器人捕獲，點M叫成功點.（1）求在這個矩形場地內成功點M的軌跡方程；（2）P為矩形場地AD邊上的一動點，若存在兩個成功點到直線FP的距離為，且直線FP與點M的軌跡沒有公共點，求P點橫坐標的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用新定義：存在使得，則稱是的一個“巧點”，對四個選項中的函數進行一一的判斷即可【詳解】對于A，，則，令，解得或，即有解，故選項A的函數有“巧值點”，不符合題意；對于B，，則，令，令，則g(x)在x＞0時為增函數，∵(1)，(e)，由零點的存在性定理可得，在上存在唯一零點，即方程有解，故選項B的函數有“巧值點”，不符合題意；對于C，，則，令，故方程無解，故選項C的函數沒有“巧值點”，符合題意；對于D，，則，令，則.∴方程有解，故選項D的函數有“巧值點”，不符合題意故選：C2、D【解析】由于，所以利用裂項相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價于，即恒成立，化簡得到，因為，當且僅當，即時取等號，所以故選：D3、C【解析】求出斜率，根據斜率與傾斜角的關系，即可求解.【詳解】解：，即，直線的斜率為，即直線的傾斜角為120°.故選：C.4、D【解析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設，，，為雙曲線的焦點，則由雙曲線定義，知，而所以或21故選：D.5、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，令，利用函數的單調性與導數的關系判斷單調性，數形結合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，構造函數，則，令，得，令，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又時，，時，，且，所以，即，所以的范圍故選：D6、A【解析】根據題意設圓方程為:,代點即可求出,進而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設圓的圓心為,則其標準方程為:,將點代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.7、C【解析】根據新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設外接圓方程為，則解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C8、A【解析】設出點坐標，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點的軌跡方程，設，根據雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設點坐標為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點的軌跡方程為又，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以、為頂點的雙曲線的左支（除點），因為，設，由雙曲線的定義可知，所以，當且僅當、、三點共線時取得最小值，因為，所以，所以，即的最小值為；故選：A9、B【解析】由數量積的坐標運算求得，令，化為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案【詳解】解：根據題意可得，、，所以，令，由約束條件作出可行域如下圖所示，由得，即，由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為，即，所以故選：B10、B【解析】討論焦點的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得故選：B.11、D【解析】根據常數函數的導數為0，可判斷①；根據冪函數的求導公式，可判斷②；根據指數函數以及對數函數的求導公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯誤；對于，，故，故②正確；對于，則，故③錯誤；對于，則，故④錯誤，故選：D12、D【解析】將直線方程整理為，從而可得直線所過的定點.【詳解】可化為，∴直線過定點，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.84375【解析】合理設出事件，利用全概率公式進行求解.【詳解】設小王從這8題中任選1題，且作對為事件A，選到能完整做對的5道題為事件B，選到有思路的兩道題為事件C，選到完全沒有思路為事件D，則，，，由全概率公式可得：PA=PB故答案為：14、【解析】根據題意得到，進而得到，求得的值，即可求解.【詳解】因為為線段的中點，所以，所以，又因為，所以，所以故答案為：.15、【解析】根據已知可得，設，利用勾股定理結合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.16、【解析】由題意可得與的圖象有三個不同的交點，經判斷時不符合題意，當時，時，兩個函數圖象有一個交點，可得時與的圖象有兩個交點，等價于與的圖象有兩個不同的交點，對求導，數形結合即可求解.【詳解】令可得，若函數函數有三個零點，則可得方程有三個根，即與的圖象有三個不同的交點，作出的圖象如圖：當時，是以為頂點開口向下的拋物線，此時與的圖象沒有交點，不符合題意；當時，與的圖象只有一個交點，不符合題意；當時，時，與的圖象有一個交點，所以時與的圖象有兩個交點，即方程有兩個不等的實根，即方程有兩個不等的實根，可得與的圖象有兩個不同的交點，令，則，由即可得，由即可得，所以在單調遞增，在單調遞減，作出其圖象如圖：當時，，當時，可得與的圖象有兩個不同的交點，即時，函數有三個零點，所以實數的取值范圍為，故答案為：【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）答案見解析.【解析】（1）已知切線求方程參數，第一步求導，切點在曲線，切點在切線，切點處的導數值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導，第三步令導數大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小問1詳解】的定義域為，，因為在點處的切線為，所以，所以；所以把點代入得：.即a，b的值為：，.【小問2詳解】由（1）知：.①當時，在上恒成立，所以在單調遞減；②當時，令，解得：，列表得：x-0+單調遞減極小值單調遞增所以，時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當時，在單調遞減；當時，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點睛】導函數中得切線問題第一步求導，第二步列切點在曲線，切點在切線，切點處的導數值為切線斜率這三個方程，可解切線相關問題.18、（1），（2）答案見解析【解析】（1）由題意可直接得到等比數列的通項公式；求出等差數列的公差，即可得到其通項公式；（2）若選①，則可確定由數列前33項的和減去，即可得答案；若選②，則可確定由數列前27項的和加上，即可得答案.【小問1詳解】因為數列為等比數列，且，所以.又因，所以，又，則，故等差數列的通項公式為.【小問2詳解】因為，，所以，而若選①因為在數列前30項內，不在在數列前30項內.，則數列前30項和為：=1632.若選②因為在數列前30項內，不在在數列前30項內.，則數列前30項和為：=1203.19、（1），2（2）【解析】（1）結合，聯立即得解；（2）由題意，即得解.【詳解】（1）由題意，又解得：故雙曲線C的標準方程為：，離心率為（2）由題意橢圓的焦點在軸上，設橢圓方程為故即橢圓方程為：20、（1）（2）【解析】(1)由圓心到直線的距離等于半徑即可求出.(2)由相關點法即可求出軌跡方程.【小問1詳解】已知圓與直線相切，所以圓心到直線的距離為半徑．所以，所以圓O的標準方程為：【小問2詳解】設因為AB的中點是M，則，所以，又因A在圓O上運動，則，所以帶入有：，化簡得：．線段AB的中點M的軌跡方程為:.21、（1）分布列見解析（2）甲的試驗操作能力較強，理由見解析【解析】（1）設考生甲、乙正確加工完成零件的個數分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，計算出兩個隨機變量在不同取值下的概率，可得出這兩個隨機變量的概率分布列；（2）計算出、、、的值，比較、的大小，以及、的大小，由此可得出結論.【小問1詳解】解：設考生甲、乙正確加工完成零件的個數分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，，，，所以，考生甲正確加工完成零件數的概率分布列如下表所示：，，，，所以，考生乙正確加工完成零件數的概率分布列如下表所示：【小問2詳解】解：，，，，所以，，從做對題的數學期望分析，兩人水平相當；從通過考查的概率分析，甲通