2025屆天津南開中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

2025屆天津南開中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓C：的焦點(diǎn)在x軸上，其離心率為則橢圓C的長軸長為（）A.2 B.C.4 D.82．已知函數(shù)，，若對任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.C.1 D.4．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．設(shè)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.C. D.96．已知為原點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.7．已知橢圓的中心為，一個(gè)焦點(diǎn)為，在上，若是正三角形，則的離心率為（）A. B.C. D.8．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個(gè)情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個(gè)小燈，另一種是大燈下綴4個(gè)小燈，大燈共360個(gè)，小燈共1200個(gè).若在這座樓閣的燈球中，隨機(jī)選取一個(gè)燈球，則這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為A. B.C. D.9．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，則a2021+b2020=（）A.-1 B.0C.1 D.210．設(shè),則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11．?dāng)?shù)列滿足，且，則的值為（）A.2 B.1C. D.-112．已知{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn，取得最大值時(shí)，n=（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列是首項(xiàng)為的遞增數(shù)列，若，，則滿足條件的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為______14．已知數(shù)列中，，，則_______.15．過直線上一動點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為______16．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則__________，滿足不等式的最大整數(shù)為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，平面.（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知直線：，直線：.（1）若，求與的距離；（2）若，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：；（2）點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動，設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍.22．（10分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B，C為E上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中B點(diǎn)在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)橢圓的離心率，即可求出，進(jìn)而求出長軸長.【詳解】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的離心率為，則，即所以橢圓C的長軸長為故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知：對任意的，，都有恒成立，故可得對任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當(dāng)時(shí)，,.對任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.3、B【解析】先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，和雙曲線的漸近線方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為,由點(diǎn)到直線的距離公式可得.故選：B4、C【解析】∵“”?“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.5、B【解析】由雙曲線的的定義可得，于是將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，由得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的由焦點(diǎn)為，且點(diǎn)A在雙曲線的兩支之間.由雙曲線的定義可得,即所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號.故選：B6、A【解析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒7、D【解析】根據(jù)是正三角形可得的坐標(biāo)，代入方程后可求離心率.【詳解】不失一般性，可設(shè)橢圓的方程為：，為半焦距，為右焦點(diǎn)，因?yàn)榍遥?，故，，整理得到，故，故選：D.8、B【解析】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè)，根據(jù)題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè)，根據(jù)題意可得，解得，則燈球的總數(shù)為個(gè)，故這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】根據(jù)A=B，可得兩集合元素全部相等，分別求得和ab=1兩種情況下，a，b的取值，分析討論，即可得答案.【詳解】因?yàn)锳=B，若，解得，當(dāng)時(shí)，不滿足互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因?yàn)锳=B，所以，解得，所以；若ab=1，則，所以，若，解得或1，都不滿足題意，舍去，若，解得，不滿足互異性，舍去，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩集合相等的概念，在集合相等問題中由一個(gè)條件求出參數(shù)后需進(jìn)行代入檢驗(yàn)，檢驗(yàn)是否滿足互異性、題設(shè)條件等，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】,，所以是必要不充分條件，故選B.考點(diǎn)：1.指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.充分條件與必要條件.11、D【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求得數(shù)列的周期性，結(jié)合周期性得到，即可求解.【詳解】解：由題意，數(shù)列滿足，且，可得，可得數(shù)列是以三項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，所以.故選：D.12、B【解析】由題可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得最大值故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、，答案不唯一【解析】由，，可得，進(jìn)而解得，然后寫出通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由題可得，因?yàn)?，，所以有，解得，只要公差d滿足即可，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可，我們可以取，此時(shí).故答案為：，答案不唯一.14、【解析】根據(jù)遞推公式一一計(jì)算即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，故答案為?5、【解析】當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長，最小，則四邊形的面積最小，此時(shí)是點(diǎn)到已知直線的垂線段.然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再結(jié)合弦長公式和面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)圓心與點(diǎn)的距離最小時(shí)，切線長，最小，則四邊形的面積最小，此時(shí)是點(diǎn)到已知直線的垂線段.圓心到直線的距離為四邊形面積的最小值為故答案為：16、①.##②.【解析】由得到，即可得到數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而求出，再根據(jù)求出，令，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可求出的取值范圍，從而得解；【詳解】解：由，令，得，，解得；當(dāng)時(shí)，，即因此，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，即所以，令，所以，所以，則最大整數(shù)為；故答案為：；；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，、所在的直線為、軸，以過點(diǎn)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（2）計(jì)算出平面的法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)，、所在的直線為、軸，以過點(diǎn)垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，則，故，因?yàn)槠矫妫矫妫瑒t，若，則，故、、、，則，，.因此，若，則與所成角的余弦值為.【小問2詳解】解：若，則、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以直線與平面所成角的正弦值為.18、(1).(2).【解析】分析：（1）先根據(jù)求出k的值，再利用平行線間的距離公式求與的距離.(2)先根據(jù)求出k的值，再解方程組得與的交點(diǎn)的坐標(biāo).詳解：（1）若，則由，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，兩直線重合，不符合，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，所以.（2）若，則由，得.所以兩直線方程為：，：，聯(lián)立方程組，解得，所以與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線的位置關(guān)系和距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計(jì)算能力.(2)直線與直線平行，則且兩直線不重合.直線與直線垂直，則.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件求出即可；（2），然后利用等差數(shù)列的求和公式求出答案即可.【詳解】（1）且，，（2）20、（1）（2）【解析】（1）首先分別求出、為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再由為真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依題意是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，即可得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，解得，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù)滿足，即，解得：，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為因，所以，即；【小問2詳解】解：由，即，所以，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，則，解得；21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）過作，垂足為，利用正余弦定理可證，再利用線線垂足證明線面垂直，進(jìn)而可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線面夾角的正弦值.【小問1詳解】證明：由已知可得四邊形是等腰梯形，過作，垂足為，則，在中，，則，可得，在中，由余弦定理可得，，則，，又平面，平面，，，，平面，平面，又為矩形，，則平面，而平面，；【小問2詳解】平面，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，又，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，又，，，，則.22、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合拋物線定