2025屆安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期開學(xué)達(dá)標(biāo)測試試題【含答案】

學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準(zhǔn)考證號學(xué)校________________班級____________姓名____________考場____________準(zhǔn)考證號…………密…………封…………線…………內(nèi)…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共7頁2025屆安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期開學(xué)達(dá)標(biāo)測試試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）1、（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，則點(diǎn)M的表示的數(shù)為（）

A．（2，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）2、（4分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A． B．C． D．3、（4分）如圖，矩形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O，如果∠ADB=30°，那么∠AOB度數(shù)是（A．30° B．C．60° D．4、（4分）下列命題正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形B．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形C．對角線相等的四邊形是矩形D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形5、（4分）在比例尺為1∶5000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為25cm，則甲、乙兩地間的實(shí)際距離是()A．1250km B．125km C．12.5km D．1.25km6、（4分）小明家、公交車站、學(xué)校在一條筆直的公路旁（小明家、學(xué)校到這條公路的距離忽略不計(jì)），一天，小明從家出發(fā)去上學(xué)，沿這條公路步行到公交車站恰好乘上一輛公交車，公交車沿這條公路勻速行駛，小明下車時(shí)發(fā)現(xiàn)還有4分鐘上課，于是他沿這條公路跑步趕到學(xué)校（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)），小明與家的距離s（單位：米）與他所用時(shí)間t（單位：分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，已知小明從家出發(fā)7分鐘時(shí)與家的距離為1200米，從上公交車到他到達(dá)學(xué)校共用10分鐘，下列說法：①小明從家出發(fā)5分鐘時(shí)乘上公交車②公交車的速度為400米/分鐘③小明下公交車后跑向?qū)W校的速度為100米/分鐘④小明上課沒有遲到其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7、（4分）將一張正方形紙片，按如圖步驟①，②，沿虛線對折兩次，然后沿③中的虛線剪去一個(gè)角，展開鋪平后的圖形是（）A． B． C． D．8、（4分）如圖正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在CD、BC邊上，△AEF是等邊三角形．以下結(jié)論：①EC＝FC；②∠AED＝75°；③AF＝CE；④EF的垂直平分線是直線AC．正確結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）9、（4分）計(jì)算＝_____，（﹣）2＝_____，3﹣＝_____．10、（4分）如圖，已知在中，AB=AC，點(diǎn)D在邊BC上，要使BD=CD，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件是_____________________．（只需填上一個(gè)正確的條件）11、（4分）的化簡結(jié)果為________12、（4分）如圖，在矩形中，沿著對角線翻折能與重合，且與交于點(diǎn)，若，則的面積為__________.13、（4分）一次函數(shù)y=2x的圖象沿x軸正方向平移3個(gè)單位長度，則平移后的圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為_____．三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）14、（12分）某圖書館計(jì)劃選購甲、乙兩種圖書．已知甲圖書每本價(jià)格是乙圖書每本價(jià)格的2.5倍，用800元單獨(dú)購買甲圖書比用800元單獨(dú)購買乙圖書要少24本．（1）甲、乙兩種圖書每本價(jià)格分別為多少元？（2）如果該圖書館計(jì)劃購買乙圖書的本數(shù)比購買甲圖書本數(shù)的2倍多8本，且用于購買甲、乙兩種圖書的總經(jīng)費(fèi)不超過1060元，那么該圖書館最多可以購買多少本乙圖書？15、（8分）計(jì)算：÷+×﹣．16、（8分）如圖O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，A(4，4)，B點(diǎn)在第二象限，AB＝5，AB與y軸交于點(diǎn)F，對角線AC交y軸于點(diǎn)E(1)直接寫出B、C點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)動點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線段C﹣D﹣A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，請用含t的代數(shù)式表示△EDP的面積；(3)在(2)的條件下，是否存在一點(diǎn)P，使△APE沿其一邊翻折構(gòu)成的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出當(dāng)t為多少秒時(shí)存在符合條件的點(diǎn)P；若不存在，請說明理由．17、（10分）某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品，需要精加工后，才能投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品多用20天，而乙工廠每天比甲工廠多加工8件產(chǎn)品，公司需付甲工廠加工費(fèi)用每天80元，乙工廠加工費(fèi)用每天120元．（1）求甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品．（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成；也可以由兩個(gè)廠家同時(shí)合作完成．在加工過程中，公司需派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天5元的誤餐補(bǔ)助費(fèi)．請你幫助公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說明理由．18、（10分）某校要從小紅、小明和小亮三名同學(xué)中挑選一名同學(xué)參加數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽，在最近的四次專題測試中，他們?nèi)说某煽內(nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生專題集合證明PISA問題應(yīng)用題動點(diǎn)問題小紅70758085小明80807276小亮75759065（1）請算出小紅的平均分為多少？（2）該校根據(jù)四次專題考試成績的重要程度不同而賦予每個(gè)專題成績一個(gè)權(quán)重，權(quán)重比依次為x：1：2：1，最后得出三人的成績（加權(quán)平均數(shù)），若從高分到低分排序?yàn)樾×?、小明、小紅，求正整數(shù)x的值．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）19、（4分）如圖，某港口P位于南北延伸的海岸線上，東面是大海.“遠(yuǎn)洋”號、“長峰”號兩艘輪船同時(shí)離開港口P，各自沿固定方向航行，“遠(yuǎn)洋”號每小時(shí)航行12nmile，“長峰”號每小時(shí)航行16nmile，它們離開港東口1小時(shí)后，分別到達(dá)A，B兩個(gè)位置，且AB=20nmile，已知“遠(yuǎn)洋”號沿著北偏東60°方向航行，那么“長峰”號航行的方向是________.20、（4分）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖，則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是______.21、（4分）解關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則常數(shù)m的值等于________．22、（4分）如圖，菱形的邊長為2，點(diǎn)，分別是邊，上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足，設(shè)的面積為，則的取值范圍是__．23、（4分）若O是四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點(diǎn)，且OB＝OD，AC＝14cm，則當(dāng)OA＝_____cm時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形．二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30分）24、（8分）如圖1，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，連接AD．（1）在圖2、圖3兩個(gè)網(wǎng)格圖中各畫出一個(gè)與△ABC相似的三角形，要求所畫三角形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，相似比各不相同，且與△ABC的相似比不為1；

（2）tan∠CAD=．25、（10分）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，四邊形ABCD是正方形．（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；（2）求直線BD的表達(dá)式．26、（12分）在正方形ABCD中，P是對角線AC上的點(diǎn)，連接BP、DP.⑴求證：BP=DP；⑵如果AB=AP，求∠ABP的度數(shù).

參考答案與詳細(xì)解析一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）1、C【解析】首先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC的長，進(jìn)而得到AM的長，再根據(jù)A點(diǎn)表示-1，可得M點(diǎn)表示的數(shù)．解：AC=，

則AM=，

∵A點(diǎn)表示-1，

∴M點(diǎn)表示的數(shù)為：-1，

故選C．“點(diǎn)睛”此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．2、D【解析】

根據(jù)因式分解的定義，逐一判斷選項(xiàng)，即可得到答案．【詳解】∵是整式的乘法，不是因式分解，∴A不符合題意，∵不是因式分解，∴B不符合題意，∵不是因式分解，∴C不符合題意，∵是因式分解，∴D符合題意．故選D．本題主要考查因式分解的定義，掌握因式分解的定義，是解題的關(guān)鍵．3、C【解析】

只要證明OA=OD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OD=12BD，AC=∴OA=OB，∴∠OAD=∠ODA=30°，∵∠AOB=∠OAD+∠ODA=60°．故選：C．本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB．4、D【解析】試題分析：A．對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項(xiàng)錯誤；B．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯誤；C．對角線相等的四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本選項(xiàng)錯誤；D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故本選項(xiàng)正確．故選D．考點(diǎn)：命題與定理．5、D【解析】試題分析：比例尺的定義：比例尺=圖上距離∶實(shí)際距離.由題意得甲、乙兩地的實(shí)際距離，故選D.考點(diǎn)：比例尺的定義點(diǎn)評：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握比例尺的定義，即可完成.6、D【解析】

解：①小明從家出發(fā)乘上公交車的時(shí)間為7-（1200-400）÷400=5分鐘，①正確；

②公交車的速度為（3200-1200）÷（12-7）=400米/分鐘，②正確；

③小明下公交車后跑向?qū)W校的速度為（3500-3200）÷3=100米/分鐘，③正確；

④上公交車的時(shí)間為12-5=7分鐘，跑步的時(shí)間為15-12=3分鐘，因?yàn)?＜4，小明上課沒有遲到，④正確；

故選D．7、B【解析】

按照題目要求弄清剪去的是對角線互相垂直平分的四邊形，即為菱形，又菱形的頂點(diǎn)在折痕上，可得正確答案；或動手操作，同樣可得正確答案.【詳解】解：由題意知，剪去的是對角線互相垂直平分的四邊形，即為菱形，又菱形的頂點(diǎn)在折痕上，故選B.本題考查了圖形的折疊和動手操作能力，對此類問題，在不容易想象的情況下，動手操作不失為一種解決問題的有效方法.8、D【解析】

由題意可證△ABF≌△ADE，可得BF=DE，即可得EC=CF，由勾股定理可得EF=EC，由平角定義可求∠AED=75°，由AE=AF，EC=FC可證AC垂直平分EF，

則可判斷各命題是否正確．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠C=∠D=∠DAB=90°

∵△AEF是等邊三角形

∴AE=AF=EF，∠EAF=∠AEF=60°

∵AD=AB，AF=AE

∴△ABF≌△ADE

∴BF=DE

∴BC-BF=CD-DE

∴CE=CF

故①正確

∵CE=CF，∠C=90°

∴EF=CE，∠CEF=45°

∴AF=CE，

∵∠AED=180°-∠CEF-∠AEF

∴∠AED=75°

故②③正確

∵AE=AF，CE=CF

∴AC垂直平分EF

故④正確

故選D．本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)和判定解決問題是本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）9、62．【解析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡和（﹣）2，利用二次根式的加減法計(jì)算3﹣.【詳解】解：＝2，（﹣）2＝6，3﹣＝2．故答案為2,6,2．本題考查了二次根式的加減法：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．10、AD⊥BC【解析】

根據(jù)等腰三角形“三線合一”，即可得到答案．【詳解】∵在中，AB=AC，，．故答案為：．本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形“三線合一”，是解題的關(guān)鍵．11、【解析】

根據(jù)二次根式的乘法，化簡二次根式即可．【詳解】解：，故答案為：．本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．12、【解析】

由矩形的性質(zhì)及翻折變換先證AF=CF，再在Rt△CDF中利用勾股定理求出CF的長，可通過S△AFC=AF?CD求出△ACF的面積．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠D=90°，AD∥BC，CD=AB=1，AD=BC=3，

∴∠FAC=∠ACB，

又∵∠B沿著對角線AC翻折能與∠E重合，

∴∠ACB=∠ACF，

∴∠FAC=∠ACF，

∴FA=FC，

在Rt△DFC中，

設(shè)FC=x，則DF=AD-AF=3-x，

∵DF2+CD2=CF2，

∴（3-x）2+12=x2，

解得，x=，

∴AF=，

∴S△AFC=AF?CD

=××1

=.故答案是：．考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱稱的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等，解題關(guān)鍵是要先求出AF的長，轉(zhuǎn)化為求FC的長，在Rt△CDF中利用勾股定理求得．13、y=2x﹣6【解析】分析：由函數(shù)y=2x的圖象過原點(diǎn)可知，平移后的直線必過點(diǎn)（3，0），設(shè)平移后的直線的解析式為：y=2x+b，將點(diǎn)（3，0）代入其中，解得對應(yīng)的b的值即可得到平移后的直線的解析式.詳解：∵直線y=2x必過原點(diǎn)，∴將直線向右平移3個(gè)單位長度后的新直線必過點(diǎn)（3，0），設(shè)平移后的直線的解析式為：y=2x+b，則2×3+b=0，解得：b=-6，∴平移后的直線的解析式為：y=2x-6.故答案為：y=2x-6.點(diǎn)睛：本題解題有兩個(gè)要點(diǎn)：（1）由直線y=2x必過原點(diǎn)可得平移后的直線必過點(diǎn)（3，0）；（2）將直線y=kx+b平移后所得的新直線的解析式與原直線的解析式中，k的值相等.三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）14、（1）乙圖書每本價(jià)格為20元，則甲圖書每本價(jià)格是50元；（2）該圖書館最多可以購買28本乙圖書．【解析】

根據(jù)兩種圖書的倍數(shù)關(guān)系，設(shè)乙圖書每本的價(jià)格為x元，則甲圖書每本的價(jià)格為2.5x元，再根據(jù)同樣多的錢購買圖書數(shù)量相差24本，列方程，求出方程的解即可，分式方程一定要驗(yàn)根.設(shè)購買甲圖書m本，則購買乙圖書(2m＋8)本，再根據(jù)總經(jīng)費(fèi)不超過1060元，列不等式，求出不等式的解集，進(jìn)而求得最多可買乙圖書的本數(shù).【詳解】解：（1）設(shè)乙圖書每本價(jià)格為元，則甲圖書每本價(jià)格是元，根據(jù)題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程的根，則，答：乙圖書每本價(jià)格為20元，則甲圖書每本價(jià)格是50元；（2）設(shè)購買甲圖書本數(shù)為，則購買乙圖書的本數(shù)為：，故，解得：，故，答：該圖書館最多可以購買28本乙圖書．本題考查分式方程的運(yùn)用，一元一次不等式組的運(yùn)用，理解題意，抓住題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系解決問題.15、.【解析】

先進(jìn)行二次根式化簡和乘除運(yùn)算，然后再進(jìn)行加減即可.【詳解】解：原式＝4﹣．本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．16、(1)B(-1，4)，C(-4，0)；見解析；(3)或7.5.【解析】

（1）過A作AG⊥x軸于G，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可得AF、AG的長，即可求出BF的長，利用勾股定理可求出DG的長，進(jìn)而可得OD的長，即可求出OC的長，根據(jù)B點(diǎn)在第二象限即可得出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)，可得OE=OF，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠FAE=∠DAE，利用AAS可證明△AEF≌△AEH，可得EH=EF，分別討論點(diǎn)P在CD、DA邊時(shí)，利用三角形面積公式表示出△EDP的面積即可；（3）分別討論沿PA、PE、AE翻折時(shí)，點(diǎn)P的位置，畫出圖形即可得答案.【詳解】（1）如圖，過A作AG⊥x軸于G，∵A（4，4），四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=CD=5，AG=OG=4，AG=4，∴BF=AB-AF=1，DG==3，∴OD=OG-DG=1，∴OC=CD-OD=4，∵點(diǎn)B在第二象限，∴B（-1，4），C（-4，0）（2）如圖，連接DE，過E作EH⊥AD于H，設(shè)AC解析式為y=kx+b，∵A（4，4），C（-4，0），∴，解得：，∴直線AC的解析式為：y=x+2，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，∴E（0，2），∴EF=OE=2，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠FAE=∠DAE，又∵AE=AE，∠AFE=∠AHE=90°，∴△AEF≌△AEH，∴EH=EF=2，∵t=5時(shí)，D與P重合，不構(gòu)成三角形，∴t≠5，∴當(dāng)點(diǎn)P在CD邊運(yùn)動時(shí)，即0≤t<5時(shí)，S△EDP=DP1×OE=（5-t）×2=5-t，當(dāng)點(diǎn)P在DA邊運(yùn)動時(shí)，即5<t≤10時(shí)，S△EDP=DP2×EH=（t-5）×2=t-5.(3)當(dāng)沿AP邊翻折時(shí)，AE=CE，則P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴APE三點(diǎn)在一條直線上，故不符合題意.如圖，當(dāng)沿PE翻折時(shí)，AE=AP，∵AF=4，EF=2，∴AE==，∴AP=，∴t=10-,如圖，當(dāng)沿AE翻折時(shí)，設(shè)PA=AP′=EP′=x，∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在AD上，∴點(diǎn)P的對稱點(diǎn)P′在AB邊上，∴在Rt△EFP′中，x2=22+(4-x)2，解得：x=2.5，∴t=10-2.5=7.5.綜上所述：當(dāng)t為10-秒或7.5秒時(shí)存在符合條件的點(diǎn)P.本題考查菱形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握菱形的性質(zhì)并正確運(yùn)用分類討論的思想是解題關(guān)鍵.17、(1)甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工16和24件．(2)合作．【解析】解：（1）設(shè)甲工廠每天能加工件產(chǎn)品，則乙工廠每天能加工件產(chǎn)品，根據(jù)題意，得18、（1）77.5分；（2）1【解析】

（1）根據(jù)平均數(shù)公式求小紅的平均成績即可；（2）利用加權(quán)平均數(shù)公式分別把三人的平均成績表示出來，再根據(jù)三人的成績的高低列不等式，求出x的范圍，在此范圍內(nèi)取正整數(shù)即可【詳解】（1）解：（70+75+80+85）÷4＝77.5分，答：小紅的平均分為77.5分．（2）解：由題意得：＞＞解得：2＜x＜4，∵x為正整數(shù)的值．∴x＝1，答：正整數(shù)x的值為1．本題主要考查不等式的應(yīng)用，第二問的解題關(guān)鍵在于能夠理解題意列出不等式.一、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）19、南偏東30°【解析】

直接得出AP=12nmile，PB=16nmile，AB=20nmile，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案.【詳解】如圖，由題意可得：AP=12nmile，PB=16nmile，AB=20nmile，∵122+162=202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB=90°，∵“遠(yuǎn)洋”號沿著北偏東60°方向航行，∴∠BPQ=30°，∴“長峰”號沿南偏東30°方向航行；故答案為南偏東30°.此題主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的應(yīng)用，正確得出各線段長是解題關(guān)鍵．20、【解析】

直接利用一次函數(shù)圖象，結(jié)合式kx+b＞0時(shí)，則y的值＞0時(shí)對應(yīng)x的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【詳解】如圖所示：關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是：x＜1．故答案為：x＜1．此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，正確利用數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．21、【解析】

先通過去分母，將分式方程化為整式方程，再根據(jù)增根的定義得出x的值，然后將其代入整式方程即可．【詳解】兩邊同乘以得，由增根的定義得，將代入得，故答案為：．本題考查了解分式方程、增根的定義，掌握理解增根的定義是解題關(guān)鍵．22、．【解析】

先證明為正三角形，根據(jù)直角三角形的特點(diǎn)和三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可解答【詳解】菱形的邊長為2，，和都為正三角形，，，，而，，；，，，即，為正三角形；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，最小，，當(dāng)與重合時(shí)，最大，，．故答案為．此題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于證明為正三角形23、1【解析】

根據(jù)OB＝OD，當(dāng)OA＝OC時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出答案．【詳解】由題意得：當(dāng)OA＝1時(shí)，OC＝14﹣1＝1＝OA，∵OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故答案為：1．本題考查平行四邊形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，難度一般．二、解答題（本大題共3個(gè)小題，共30