概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件1.4條件概率及其三大公式

§1.4條件概率及其三大公式一、條件概率1.條件概率的概念一般地P(B|A)≠P(B)

在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的概率，將此概率記作P(B|A).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式P（A）=={(g,g),(b,b),(b,g),(g,b)}A={（b,b）,（b,g）,（g,b）};B={（b,g）,（g,b）}記g表示女孩，b表示男孩，則例1

考察有兩個(gè)孩子的家庭，事件A表示至少求P（A）及P（B）。有一個(gè)男孩，事件B表示恰好有一個(gè)女孩。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式

則在這種情況下事件B的概率為：稱這種概率為條件概率。記作一般地，={（b，b）,（b，g）,（g，b）};由于信息增加了，樣本空間發(fā)生了變化，此時(shí)樣本空間為:若已知某家庭至少有一個(gè)男孩，求恰好有一個(gè)女孩的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

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條件概率及其三大公式2.條件概率的定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率.定義1(1)原因在于獲得了信息，即事件A的發(fā)生，改變了原來的樣本空間，使得它由原來的樣本空間變成了。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式3.條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(A)>02）條件概率計(jì)算公式：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

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條件概率及其三大公式

擲骰子設(shè)B={擲出2點(diǎn)}，

A={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(B|A）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)例2

擲一顆均勻骰子，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

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條件概率及其三大公式4.條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證)設(shè)A是一事件，且P(A)>0,則1.對任一事件B，0≤P(B|A)≤1;3.設(shè)A1,…,An互不相容，則P[(A1∪…∪An

)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)并且前面對概率所證明的一些重要性質(zhì)

2.P(|A)=1；都適用于條件概率.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式例3、一個(gè)盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品，1只二等品，從中取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B是“第二次取到是一等品”。求條件概率P（B|A）。例4

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

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條件概率及其三大公式二、乘法公式由條件概率的定義：若已知P(A),P(B|A)時(shí),可以反求P(AB).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

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條件概率及其三大公式即若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(2)而P(AB)=P(BA)將A、B的位置對調(diào)，有故P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(3)若

P(B)>0,則P(BA)=P(B)P(A|B)

(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！乘法公式推廣到多個(gè)隨機(jī)事件若，有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式例5

一批產(chǎn)品共100件，對其進(jìn)行抽樣檢查，如果在抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件不合格品，就認(rèn)為整批產(chǎn)品不合格，如果在該批產(chǎn)品中有5%的不合格，求該批產(chǎn)品被認(rèn)為不合格的概率。記Ai為“抽取的第i件產(chǎn)品為合格品”B為“該批產(chǎn)品被認(rèn)為不合格”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)A={零件是乙廠生產(chǎn)}B={是標(biāo)準(zhǔn)件}例6

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300

件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189

個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？X個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式所求為P(AB).設(shè)A={零件是乙廠生產(chǎn)}B={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(B|A).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)

P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.X個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式例7

設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式例8

假設(shè)在空戰(zhàn)中，若甲機(jī)先向乙機(jī)開火，則甲、乙被擊落的概率。的概率為0.4，在這幾個(gè)回合中，分別計(jì)算機(jī)未被擊落，再次向乙機(jī)進(jìn)攻，擊落乙機(jī)就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3；若甲擊落乙機(jī)的概率為0.2；若乙機(jī)未被擊落，甲被擊落的概率為0.24.乙被擊落的概率為0.424.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式擊落0.2擊落0.3擊落0.4第1回合第2回合第3回合表示“第i

回合擊落”甲乙A

表示“甲被擊落”B表示“乙被擊落”全概率公式與貝葉斯公式綜合運(yùn)用加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互不相容乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0

計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上全概率公式和貝葉斯公式主要用于是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就定義2設(shè)為試驗(yàn)E的樣本空間，為

的一組事件，若則稱為樣本空間的一個(gè)劃分。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式三、全概率公式定理1（全概率公式）

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E的樣本空間,A1,A2,…,An為樣本空間的一個(gè)完備事件組，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對于任一事件B,有如果把B看成“結(jié)果”，把

Ai看成產(chǎn)生結(jié)果所有可能的“原因”，全概率問題就是：已知所有“原因”的概率求“結(jié)果”的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式全概率公式判斷方法：若一個(gè)試驗(yàn)可以看成兩個(gè)階段完成，不關(guān)心第一個(gè)階段具體哪一種結(jié)果會發(fā)生，但能明確第一個(gè)階段所有可能發(fā)生的結(jié)果求第二個(gè)階段某個(gè)結(jié)果B發(fā)生的概率，用全概率公式。第一個(gè)階段所有可能的結(jié)果就是全概公式中的完備事件組。例1、某工廠的兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號的家用電器。據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，第1車間的次品率為0.15,第2車間的次品率為0.12.兩個(gè)車間生產(chǎn)的成品混合堆放在一個(gè)倉庫且無明顯區(qū)分標(biāo)志，假設(shè)第1,2車間的成品比率為2:3.（1）在倉庫中隨機(jī)的一件成品，求它是次品的概率？（2）在倉庫中隨機(jī)的抽取一件成品，若已知它是此品，問次品分別有1,2車間生產(chǎn)的概率是多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式例2

設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由編號為1,2,3的三臺機(jī)器生產(chǎn)其中各臺生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量的比率為2:1:1，而各臺機(jī)器的次品率依次為2%,2%,4%,現(xiàn)從中任取一件，求取到次品的概率。

例3

假設(shè)在某時(shí)期內(nèi)影響股票價(jià)格變化的因素只有銀行存款利率的變化．經(jīng)分析，該時(shí)期內(nèi)利率下調(diào)的概率為60％，利率不變的概率為40％．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在利率下調(diào)時(shí)某支股票上漲的概率為80％，在利率不變時(shí)，這支股票上漲的概率為40％．求這支股票上漲的概率．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式全概率公式之所以有力，就在于它概括了一種普遍的解題思路：

化整為零，各個(gè)擊破概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式定理2（貝葉斯公式）

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E的樣本空間，A1,A2,…,An為樣本空間一個(gè)劃分，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對于任一事件B,有i=1,2,…,n,四、貝葉斯公式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

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條件概率及其三大公式貝葉斯公式的判斷方法：若一個(gè)試驗(yàn)可以看成兩個(gè)階段完成，不關(guān)心第一個(gè)階段具體哪一種結(jié)果會發(fā)生，但能明確第一個(gè)階段所有可能發(fā)生的結(jié)果問在第二個(gè)階段某個(gè)結(jié)果B發(fā)生的條件下,第一個(gè)階段中某結(jié)果發(fā)生的概率用貝葉斯公式。第一個(gè)階段所有可能的結(jié)果就是全概公式中的完備事件組。2311紅4白？例4

有三個(gè)箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的

概率

.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式例5

玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2個(gè)次品的概率分別為0.8,0.1,0.1,一顧客購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)售貨員隨機(jī)取出一箱，顧客開箱任意抽查5只，若無次品，則購買該箱玻璃杯，否則退回.求（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率.（2）若顧客買下一箱玻璃杯,有一件是次品的概率。表示“箱中恰有i件次品”表示“顧客買下該箱玻璃杯”概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

§1.4

條件概率及其三大公式貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可