2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（配湘教版）教學(xué)課件 4.2.1 指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減-4.2.2 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)課標(biāo)要求1.通過具體實(shí)例,了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義,理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.運(yùn)用指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減類的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,理解該模型所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律.3.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).4.能夠應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念1.在冪的表達(dá)式au中,讓底數(shù)為常數(shù)而使

為自變量x,則得到一類新的函數(shù)y=ax(x∈R),這叫作指數(shù)函數(shù),其中

.

2.指數(shù)函數(shù)的特征:(1)底數(shù)a>0,且a≠1;(2)ax的系數(shù)是1.名師點(diǎn)睛根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)才叫指數(shù)函數(shù),如

都不是指數(shù)函數(shù),它們的函數(shù)表達(dá)式含有指數(shù)式,應(yīng)將它們看作復(fù)合函數(shù).指數(shù)a>0且a≠1過關(guān)自診指數(shù)函數(shù)為什么要規(guī)定a>0,且a≠1?提示

如果a<0,那么ax對(duì)某些x值沒有意義,如

無(wú)意義;如果a=0,那么當(dāng)x>0時(shí),ax=0,當(dāng)x≤0時(shí),ax無(wú)意義;如果a=1,y=1x=1是個(gè)常數(shù)函數(shù),沒有研究的必要.所以規(guī)定a>0,且a≠1,此時(shí)x可以是任意實(shí)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減1.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長(zhǎng)而增大,底數(shù)a較大時(shí)指數(shù)函數(shù)值增長(zhǎng)速度驚人,被稱為指數(shù)爆炸.2.當(dāng)?shù)讛?shù)a滿足0<a<1時(shí),指數(shù)函數(shù)值隨自變量的增長(zhǎng)而縮小以至無(wú)限接近于0,這叫作指數(shù)衰減.3.指數(shù)增長(zhǎng)(縮小)百分比把自變量x看成時(shí)間,在長(zhǎng)為T的時(shí)間周期[u,u+T]中,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的值從au變化到au+T,變化率為(au+T-au)÷au=aT-1,增長(zhǎng)(縮小)百分比是一個(gè)常量,當(dāng)a>1時(shí),這個(gè)量就被描述為指數(shù)式增長(zhǎng),也稱指數(shù)增長(zhǎng).過關(guān)自診1.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是

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①④2.若函數(shù)y=2x,求其在區(qū)間[2,6]上的增長(zhǎng)百分比.解

增長(zhǎng)百分比為(au+T-au)÷au=aT-1=24-1=15.知識(shí)點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)表達(dá)式y(tǒng)=ax(0<a<1)y=ax(a>1)圖象

定義域(-∞,+∞)值域

性質(zhì)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1),即a0=1在R上遞減可用冪運(yùn)算基本不等式加以論證在R上遞增(0,+∞)過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)指數(shù)函數(shù)y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數(shù).(

)(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(

)(3)所有的指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1).(

)(4)函數(shù)y=a|x|與函數(shù)y=|ax|(a>0,且a≠1)的圖象是相同的.(

)2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于什么?具體變化特征是什么?提示

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于字母a.當(dāng)a>1時(shí),圖象具有上升趨勢(shì),且當(dāng)x>0時(shí)底數(shù)a的值越大,函數(shù)圖象“越陡”,函數(shù)值增長(zhǎng)得越快;當(dāng)0<a<1時(shí),圖象具有下降趨勢(shì),且當(dāng)x<0時(shí),底數(shù)a的值越小,函數(shù)減少得越快.×√√×重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)如果指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn),那么f(4)f(2)等于

.

64(2)已知函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),求a的值.規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義,其特征如下:變式訓(xùn)練1下列以x為自變量的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的為(

)A.y=(π-1)x B.y=(1-π)xC.y=3x+1 D.y=x2A解析

π-1為正實(shí)數(shù),A是指數(shù)函數(shù);B式中,1-π<0,B不是指數(shù)函數(shù);C式中,指數(shù)位置不是x,C不是指數(shù)函數(shù);D式中,自變量不在指數(shù)上,D不是指數(shù)函數(shù).探究點(diǎn)二指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減【例2】

(1)將一張足夠大的紙進(jìn)行對(duì)折,如果不考慮折疊過程中的阻力,那么對(duì)折100次之后,紙的厚度約為

km(假設(shè)一張紙的厚度大約是0.08mm).

解析

2100×0.08≈1.27×1030×0.08(mm)≈1.02×1023(km).(2)一種放射性物質(zhì)不斷變化成其他物質(zhì),每經(jīng)過一年的殘留量是原來(lái)的76%,則經(jīng)過12年后,殘留量約為原來(lái)的

.

解析

0.7612≈0.037,即殘留量約為原來(lái)的3.7%.1.02×10233.7%規(guī)律方法

1.通過例2(1)我們可以體會(huì)出指數(shù)爆炸的威力,它反映了當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)的值的增長(zhǎng)速度是非常大的,另外“人口增長(zhǎng)”“病毒繁殖”都是這一模型.2.例2(2)是一個(gè)指數(shù)衰減問題,它是0<a<1的指數(shù)函數(shù)模型,隨著自變量x的增大,函數(shù)值y無(wú)限接近于0,關(guān)于“能量衰退”的相關(guān)問題都是這一模型.變式訓(xùn)練2(1)某種細(xì)胞每小時(shí)分裂一次,即第一次由1個(gè)分裂成2個(gè),第2次由2個(gè)分裂成4個(gè),第3次由4個(gè)分裂成8個(gè),如此下去,則24小時(shí)后得到

個(gè)細(xì)胞.(不需算出具體數(shù)字)

224(2)清洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超過原有污垢的1%,則至少要清洗

次.

4探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題【例3】

已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

(-1,4)解析

∵當(dāng)x+1=0,即x=-1時(shí),f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(diǎn)(-1,4).變式探究若將本例中的函數(shù)改為f(x)=5a3x-2+3呢?規(guī)律方法

指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題的解法因?yàn)楹瘮?shù)y=ax的圖象恒過定點(diǎn)(0,1),所以對(duì)于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(diǎn)(m,k+b).即令指數(shù)等于0,解出相應(yīng)的x,f(x),則點(diǎn)(x,f(x))為所求點(diǎn).2.指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別【例4】

函數(shù)f(x)=ax-b的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a>1,b<0 B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0D解析

由于f(x)的圖象單調(diào)遞減,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0,故選D.規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)圖象問題的處理技巧(1)抓住圖象上的特殊點(diǎn),如指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)的值的符號(hào)等;(2)利用圖象變換,如函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移);(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,奇偶性確定函數(shù)的對(duì)稱情況,單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢(shì).變式訓(xùn)練3已知1>n>m>0,則指數(shù)函數(shù)①y=mx,②y=nx的圖象為(

)C解析

由于0<m<n<1,所以y=mx和y=nx都是減函數(shù),故排除A,B;作直線x=1與兩個(gè)圖象相交(圖略),交點(diǎn)在下面的是函數(shù)y=mx的圖象.C符合題意.3.畫指數(shù)函數(shù)的圖象【例5】

畫出函數(shù)y=的圖象,這個(gè)圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出它的值域和單調(diào)區(qū)間嗎?∴原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.由圖象可知值域是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).規(guī)律方法

指數(shù)函數(shù)y=ax與y=(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.處理函數(shù)圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點(diǎn);二是利用圖象的變換;三是利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.變式訓(xùn)練4畫出下列函數(shù)的圖象,并說(shuō)明它們是由函數(shù)f(x)=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.解

(1)如圖1,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.(2)如圖1,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.(3)如圖1,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.(4)函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖2所示.圖1圖2探究點(diǎn)四利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較冪值大小【例6】

比較下列各題中兩個(gè)值的大小:(1)2.53,2.55.7;解

(單調(diào)性法)由于2.53與2.55.7的底數(shù)是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5x,而函數(shù)y=2.5x在R上是增函數(shù).又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)2.3-0.28,0.67-3.1;解

(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.(4)(a-1)1.3,(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解

∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數(shù),∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數(shù),∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當(dāng)a>2時(shí),(a-1)1.3<(a-1)2.4;當(dāng)1<a<2時(shí),(a-1)1.3>(a-1)2.4.規(guī)律方法

比較冪的大小的常用方法

變式訓(xùn)練5利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),比較下列各題中兩個(gè)值的大小:(1)0.8-0.1與0.8-0.2;(2)2.5a與2.5a+1.解

因?yàn)?.8-0.1與0.8-0.2都是以0.8為底的冪值,所以考察函數(shù)y=0.8x,由于這個(gè)函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù),又因?yàn)?0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.解

因?yàn)?.5a與