江蘇省南京秦淮外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期月考卷

秦外八上月考卷一．選擇題（共6小題）1．圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．2．如圖，在中，邊上的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．3．如圖，，，，，，則的度數(shù)等于A． B． C． D．4．如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，，兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且是等腰三角形，那么點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，已知△和△都是等腰三角形，，，交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)到射線的距離為，點(diǎn)在射線上，，若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是A．或 B． C． D．或二．填空題（共12小題）7．如圖，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：，使（只添一個(gè)即可）．8．將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放．若，則．的點(diǎn)在角的平分線上.10．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)．作直線，若直線經(jīng)過點(diǎn)，則的度數(shù)為．11．如圖，已知，，，、、在同一直線上，則的度數(shù)為．12．如圖，在中，，，延長(zhǎng)到，使得，連接，過點(diǎn)作，且．連接，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．13．如圖，已知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)在邊上，，如果點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是．則經(jīng)過，與全等．14．如圖，是外一點(diǎn)，，分別平分的外角，，若，則．（用含的代數(shù)式表示）15．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10，面積是125，腰的垂直平分線分別交，邊于，點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為．16．如圖，在邊長(zhǎng)為10的正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，、分別是和邊上的點(diǎn)，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為．17．如圖，，，是內(nèi)的一條射線，且，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．18．一個(gè)三角形有一內(nèi)角為，如果經(jīng)過其一個(gè)頂點(diǎn)作直線能把其分成兩個(gè)等腰三角形，那么它的最大內(nèi)角可能是．三．解答題（共8小題）19．定理證明：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)．20．如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．21．代數(shù)推理：對(duì)于有理數(shù)請(qǐng)比較的大小.22．尺規(guī)作圖：（1）已知點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)用直尺和圓規(guī)作直線,直線交、于點(diǎn)，使得．（兩種方法）（2）已知點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)用直尺和圓規(guī)作直線,直線交、于點(diǎn)，使得為等邊三角形.23．閱讀理解和問題解決（1）如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，再連接．此時(shí)構(gòu)造出一對(duì)全等的三角形為：，全等的依據(jù)為，于是可推得，，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是；（2）如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)你參考問題（1）的解答思路求證：．24．如圖，已知等腰中，，平分交于點(diǎn)．點(diǎn)、在斜邊上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是等腰三角形；（2）試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．25．如圖，在中，，，是中點(diǎn)，連接．點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，重合），連接，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且，連接．（1）比較與的大小，并證明；（2）用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．26．已知中，，，為邊的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長(zhǎng)線）于，．（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)，如圖①所示，試證明．（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，如圖②圖③所示，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，試說明，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

八年級(jí)數(shù)學(xué)練習(xí)參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：，，選項(xiàng)中的圖案都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)中的圖案能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：．2．如圖，在中，邊上的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解決此題．【解答】解：是的垂直平分線，．．故選：．3．如圖，，，，，，則的度數(shù)等于A． B． C． D．【分析】在中，利用外角的知識(shí)求出的度數(shù)，再根據(jù)，得出，這樣即可得出答案．【解答】解：由題意得：，，又（三角形外角的性質(zhì)），，又，．故選：．4．如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，，兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)也是圖中小方格的頂點(diǎn)，并且是等腰三角形，那么點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)“兩圓一線”畫圖找點(diǎn)即可．【解答】解：如圖，點(diǎn)與、、重合時(shí)，均滿足是等腰三角形，故選：．5．如圖，已知△和△都是等腰三角形，，，交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】①證明△△，再利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷；②由△△可得，再由、證得即可判定；③分別過作、，根據(jù)全等三角形面積相等和，證得，即平分，即可判定；④由平分結(jié)合即可判定．【解答】解：，，即，在△和△中，，△△，．故①正確；△△，，、，，，故②正確；分別過作、垂足分別為、，△△，，，，，平分，無(wú)法證明平分．故③錯(cuò)誤；平分，，，故④正確．故選：．6．如圖，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)到射線的距離為，點(diǎn)在射線上，，若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是A．或 B． C． D．或【分析】分情況討論，結(jié)合圖形，即可得到答案．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，是直角三角形，的形狀，大小是唯一確定的；當(dāng)時(shí)，如圖，有兩種情況； 當(dāng)時(shí)，的形狀，大小是唯一確定的．或．故選：．二．填空題（共12小題）7．如圖，，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：答案不唯一，如，使（只添一個(gè)即可）．【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的條件是，理由是：，在和中，，，故答案為：答案不唯一，如．8．將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放．若，則105．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解答】解：，，，．故答案為：105．9．的點(diǎn)在角的平分線上．【解答】解：如果角內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上，故答案為：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等10．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)．作直線，若直線經(jīng)過點(diǎn)，則的度數(shù)為126．【分析】連接、，如圖，設(shè)，利用基本作圖得到，則，所以，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，接著利用得到，則根據(jù)求出，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算的度數(shù)．【解答】解：連接、，如圖，設(shè)，由作法得垂直平分，，，，，，，，，，解得，．故答案為126．11．如圖，已知，，，、、在同一直線上，則的度數(shù)為．【分析】由“”可證，可得，即可求解．【解答】解：，，在和中，，，，，，，故答案為：．12．如圖，在中，，，延長(zhǎng)到，使得，連接，過點(diǎn)作，且．連接，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【分析】作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可證明，得，，因?yàn)?，，所以，，求得，再證明，得，則，于是得到問題的答案．【解答】解：作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，，故答案為：．13．如圖，已知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，，點(diǎn)在邊上，，如果點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是．則經(jīng)過1或4，與全等．【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，由條件分兩種情況，當(dāng)時(shí)，則有，由條件可得到關(guān)于的方程，當(dāng)，則有，同樣可得出的方程，可求出的值．【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)，時(shí)，，，，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在線段上以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，；②當(dāng)，時(shí)，，由題意得：，解得：，故答案為：1或4．14．如圖，是外一點(diǎn)，，分別平分的外角，，若，則．（用含的代數(shù)式表示）【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義，即可得到，再根據(jù)角平分線的定義，即可得到，，最后依據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到的表達(dá)式．【解答】解：，，，又，分別平分的外角，，，，中，，故答案為：．15．如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10，面積是125，腰的垂直平分線分別交，邊于，點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為30．【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接，．是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，解得，是線段的垂直平分線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，的長(zhǎng)為的最小值，的周長(zhǎng)最短．故答案為：30．16．如圖，在邊長(zhǎng)為10的正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，、分別是和邊上的點(diǎn)，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為30．【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題．【解答】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，四邊形的周長(zhǎng)的最小值，正方形的邊長(zhǎng)為10，,,四邊形的周長(zhǎng)的最小值為=5+25=30．故答案為：24．17．如圖，，，是內(nèi)的一條射線，且，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是5．【分析】作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、．則，，是等邊三角形，在△中，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最大值，即為5．所以的最大值是5．【解答】解：如圖．作點(diǎn)關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、．則，，，．，，△是等邊三角形，，在△中，，當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取最大值，即為5．的最大值是5．故答案為：5．18．一個(gè)三角形有一內(nèi)角為，如果經(jīng)過其一個(gè)頂點(diǎn)作直線能把其分成兩個(gè)等腰三角形，那么它的最大內(nèi)角可能是，，，，．【分析】當(dāng)它為頂角時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可以求得最大角是90度，如圖①所示；當(dāng)它是側(cè)角時(shí)，用同樣的方法，可求得最大角有4種情況．【解答】解：如圖①所示，當(dāng)時(shí)，那么它的最大內(nèi)角是當(dāng)時(shí)，有以下4種情況，故答案為：，，，，三．解答題（共8小題）19．定理證明：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)．【分析】過作于，于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，，求出，再得出答案即可．【解答】解：設(shè)和交于，過作于，于，于，、分別是角平分線，，，，，，在的平分線上，即的角平分線、、交于一點(diǎn)．所以三角形的三條角平分相交于一點(diǎn)．20．如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．【分析】在直角三角形中，由及的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再由及的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到三角形為直角三角形，根據(jù)四邊形的面積直角三角形的面積直角三角形的面積，即可求出四邊形的面積．【解答】解：，為直角三角形，又，，根據(jù)勾股定理得：，又，，，，，為直角三角形，，則．故四邊形的面積是36．代數(shù)推理：對(duì)于有理數(shù)請(qǐng)比較的大小.【解答】作差法：①當(dāng)；②當(dāng)；③當(dāng)；22．尺規(guī)作圖：（1）已知點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)用直尺和圓規(guī)作直線,直線交、于點(diǎn)，使得．（兩種方法）（2）已知點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)用直尺和圓規(guī)作直線,直線交、于點(diǎn)，使得為等邊三角形.【解答】23．閱讀理解和問題解決（1）如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，再連接．此時(shí)構(gòu)造出一對(duì)全等的三角形為：，全等的依據(jù)為，于是可推得，，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是；（2）如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，請(qǐng)你參考問題（1）的解答思路求證：．【分析】（1）由輔助線作法得，由是的中線得，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明，得，，而，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得，所以，于是得到問題的答案；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、，先證明，得，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，則，由垂直平分得，所以．【解答】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，是的中線，，在和中，，，，，，且，，，故答案為：，，，，，．（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、、，是邊上的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，垂直平分，，．24．如圖，已知等腰中，，平分交于點(diǎn)．點(diǎn)、在斜邊上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是等腰三角形；（2）試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）通過計(jì)算，求得，從而命題得證；（2）根據(jù)角的計(jì)算，求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而證明及，進(jìn)一步可求得結(jié)果．【解答】（1）證明：如圖1，，，，平分，，，，，，，，，，是等腰三角形；（2）解：如圖3，，理由如下：由（1）知：，，，，，，，，，，，，，，，，；25．如圖，在中