專題07 直線與圓（3大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題07直線與圓命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對直線的考查，重點(diǎn)是直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法、兩條直線的位置關(guān)系、距離公式、對稱問題等。2.高考對圓的考查，重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的求法，除了待定系數(shù)法外，要特別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓的方程。同時(shí)，除了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷，還特別要重視直線與圓相交所得弦長及相切所得切線的問題。3.其他就是直線、圓與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯。直線與圓的位置關(guān)系2023·新高考Ⅰ卷，62022·新高考Ⅱ卷，152023·新高考Ⅱ卷，152024·新高考Ⅱ卷，10（多選題的一個(gè)選項(xiàng)中考查）圓與圓的位置關(guān)系2022·新高考Ⅰ卷，14直線的斜率2022·新高考Ⅱ卷，3命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直線與圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，Ⅱ卷在多選題的一個(gè)選項(xiàng)中考到了直線與圓相切的問題，其實(shí)在壓軸題中也有直線斜率的影子，后續(xù)專題再呈現(xiàn)。其實(shí)直線與圓直接考查的話，難度一般是較易的，一般計(jì)算不出錯(cuò)即可。在一些上難度的題型中，往往有直線斜率的一些影子。直線與圓考查應(yīng)關(guān)注：直線、圓的方程及位置關(guān)系，直線方程的求解、直線過定點(diǎn)問題的求解、含參直線方程中參數(shù)取值范圍求解、直線與圓的位置關(guān)系中涉及的弦長與切線方程的求解。以常規(guī)題型、常規(guī)解法為主要方向，常結(jié)合基本不等式、函數(shù)、三角形面積等知識(shí)考查最值問題。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查直線與圓的位置關(guān)系。試題精講一、多選題1．（2024新高考Ⅱ卷·10）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·6）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

2．（2022新高考Ⅱ卷·3）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·14）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋?，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.4．（2022新高考Ⅱ卷·15）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值．【答案】（中任意一個(gè)皆可以）【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．一、直線的傾斜角和斜率1、直線的傾斜角若直線與軸相交，則以軸正方向?yàn)槭歼叄@交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為（2）傾斜角的取值范圍2、直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為（1）當(dāng)時(shí)，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的（2）傾斜角與斜率的關(guān)系當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而增大；3、過兩點(diǎn)的直線斜率公式已知直線上任意兩點(diǎn)，，則（1）直線的斜率是確定的，與所取的點(diǎn)無關(guān)．（2）若，則直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°4、三點(diǎn)共線兩直線的斜率相等→三點(diǎn)共線；反過來，三點(diǎn)共線，則直線的斜率相等（斜率存在時(shí)）或斜率都不存在．二、直線的方程1、直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于軸的直線斜截式不含垂直于軸的直線兩點(diǎn)式不含直線和直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2、求曲線（或直線）方程的方法在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個(gè)點(diǎn)，或者一點(diǎn)一斜率（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個(gè)數(shù)與所求參數(shù)的個(gè)數(shù)一致）3、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．4、兩直線的夾角公式若直線與直線的夾角為，則.三、兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．四、三種距離1、兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)的距離公式為．特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離2、點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．（2）設(shè)，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對應(yīng)系數(shù)要相等．4、雙根式雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解．五、圓1、圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．六、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系判斷（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離．七、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)43210【直線與圓常用結(jié)論】一、直線1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為2、點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．3、直線關(guān)于點(diǎn)對稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．4、直線關(guān)于直線對稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程5、常見的一些特殊的對稱點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．6、過定點(diǎn)直線系過已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．7、斜率為定值直線系斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．8、平行直線系與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．9、垂直直線系與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．10、過兩直線交點(diǎn)的直線系過直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．二、圓1、圓的參數(shù)方程①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．2、關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論（1）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．（2）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（3）過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為（4）求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：①所求切線一定有兩條；②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個(gè)，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個(gè)，則說明斜率不存在的情形符合題意．一、單選題1．（2024·江西新余·二模）已知直線交圓C：于M，N兩點(diǎn)，則“為正三角形”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求出圓的圓心及半徑后，結(jié)合正三角形的性質(zhì)可計(jì)算出當(dāng)為正三角形時(shí)的值，結(jié)合充分條件與必要條件定義即可判斷.【詳解】由C：可得其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，若為正三角形，則有，即，即，解得或，故“為正三角形”是“”的必要不充分條件.故選：B.2．（2024·陜西西安·三模）若過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外即可求解.【詳解】圓，即圓，則，解得．過點(diǎn)有兩條切線，則點(diǎn)P在圓外，，即，解得．故．故選：C3．（2024·北京·三模）已知，若點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先確定的軌跡以及直線過的定點(diǎn)，再根據(jù)圓的性質(zhì)特點(diǎn)求最值.【詳解】由可得點(diǎn)的軌跡為以線段為直線的圓，圓心為，半徑為，又直線，其過定點(diǎn)，故距離的最大值為.故答案為：C4．（2024·四川成都·三模）已知直線與相交于兩點(diǎn)，若是直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)題意是等腰直角三角形，可得圓心到直線的距離為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心，半徑，易知是等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，則，解得，所以或.故選：A.5．（2024·湖南邵陽·三模）已知直線：與圓：，過直線上的任意一點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，可知當(dāng)OP最小時(shí)，最大，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑為1，則圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，因?yàn)?，且，?dāng)最小時(shí)，則最大，可得最大，即最大，又因?yàn)榈淖钚≈导礊閳A心到直線的距離為，此時(shí)，所以取得最大值．故選：C．6．（2024·重慶·二模）已知圓是圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，可得，進(jìn)而可得，求解即可.【詳解】由，可得圓心，半徑，設(shè)，則，，則有，解得，即.故選：C.7．（2024·北京·三模）已知圓和兩點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由知點(diǎn)的軌跡方程是以位直徑的圓，可得，即可求出的取值范圍.【詳解】說明在以為直徑的圓上，而又在圓上，因此兩圓有公共點(diǎn)，則圓心距位于半徑差的絕對值與半徑和的閉區(qū)間中，所以，即，又，解得.故選：B8．（2024·山東煙臺(tái)·三模）若圓與軸沒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出圓心坐標(biāo)利用幾何法得到不等式，解出即可.【詳解】即，，解得或，且其圓心坐標(biāo)為，若該圓與軸沒有交點(diǎn)，則，解得故選：C.9．（2024·北京·三模）已知直線，圓，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．對任意實(shí)數(shù)，直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線被圓所截弦長為；C．對任意實(shí)數(shù)，圓不關(guān)于直線對稱；D．存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切．【答案】D【分析】求出直線所過的定點(diǎn)，并判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】直線，由，解得，即直線恒過定點(diǎn)，圓的半徑，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，對任意實(shí)數(shù)，直線與圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，A正確，D錯(cuò)誤；直線不過圓的圓心，因此對任意實(shí)數(shù)，圓不關(guān)于直線對稱，C正確；直線的斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，因此直線此時(shí)直線被圓所截弦是過點(diǎn)的最短弦，最短弦長為，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線被圓所截弦長為，B正確.故選：D10．（2024·江西鷹潭·三模）已知，直線與的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線方程可知兩直線分別過定點(diǎn)且垂直，可求得點(diǎn)軌跡方程，再由圓與圓的位置關(guān)系找出圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】易知直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，且，易知直線與互相垂直，即可得，所以點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，圓心為的中點(diǎn)，半徑為；可得點(diǎn)軌跡方程為；又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以可得圓與圓有公共點(diǎn)，當(dāng)兩圓內(nèi)切（圓在外）時(shí)，取得最大值；此時(shí)滿足，解得.故選：D二、多選題11．（2024·湖南長沙·三模）已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C．直線與圓可能相切D．若圓與圓恰有三條公切線，則【答案】AD【分析】本題先根據(jù)直線l的方程判斷出直線l恒過的定點(diǎn)，再判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可解決選項(xiàng)A和選項(xiàng)C的問題；根據(jù)圓心到直線的距離判斷滿足條件點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可解決選項(xiàng)B的問題；由選項(xiàng)D的條件可得兩圓外切，由此可求得參數(shù)a的值.【詳解】由直線，得，因?yàn)?，則滿足，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，直線為:，則圓心到直線的距離為，則此時(shí)直線與圓相交所得劣弧的頂點(diǎn)到直線的距離，所以圓上只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，又，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓一定相交，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，則，解得，故選項(xiàng)正確.故選：AD.12．（2024·山西臨汾·三模）已知是以為圓心，為半徑的圓上任意兩點(diǎn)，且滿足，是的中點(diǎn)，若存在關(guān)于對稱的兩點(diǎn)，滿足，則線段長度的可能值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】BCD【分析】由已知得出點(diǎn)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，得出的范圍，再結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得出范圍，進(jìn)而判斷出答案．【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)為點(diǎn)，則，所以，又，兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以為直角三角形，且為斜邊中點(diǎn)，則，所以，故選：BCD．13．（2024·河南鄭州·三模）已知直線（不同時(shí)為0），圓，則（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與圓相切B．當(dāng)時(shí)，直線與圓不可能相交C．當(dāng)時(shí)，與圓外切且與直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是一條拋物線D．當(dāng)時(shí)，直線與坐標(biāo)軸相交于兩點(diǎn)，則圓上存在點(diǎn)滿足【答案】ACD【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離即可判斷A，利用特殊值判斷B，根據(jù)拋物線的定義判斷C，求出以為直徑的圓的方程，即可判斷兩圓相交，從而判斷D.【詳解】圓即，圓心為，半徑；對于A：若，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切，故A正確；對于B：當(dāng)，時(shí)滿足，此時(shí)直線方程為，則圓心到直線的距離為，顯然直線與圓相交，故B錯(cuò)誤；對于C：當(dāng)時(shí)直線，則直線與直線平行，且兩平行線間的距離，依題意動(dòng)圓圓心到直線的距離與到的距離相等，且點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義可知?jiǎng)訄A圓心的軌跡是一條拋物線，故C正確；對于D：不妨令，，的中點(diǎn)為，又，所以以為直徑的圓的方程為，又，所以圓與圓相交，所以圓上存在點(diǎn)滿足，故D正確.故選：ACD14．（2024·山東青島·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在圓和上，動(dòng)點(diǎn)在軸上，則（

）A．圓的半徑為3B．圓和圓相離C．的最小值為D．過點(diǎn)做圓的切線，則切線長最短為【答案】BD【分析】求出兩個(gè)圓的圓心、半徑判斷AB；求出圓關(guān)于對稱的圓方程，利用圓的性質(zhì)求出最小值判斷C；利用切線長定理求出最小值判斷D.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對于A，圓的半徑為，A錯(cuò)誤；對于B，，圓和圓相離，B正確；對于C，圓關(guān)于軸對稱的圓為，，連接交于點(diǎn)，連接，由圓的性質(zhì)得，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合，且是線段分別與圓和圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線長，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD

15．（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．10 B．2 C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由條件可得弦所在的直線方程，然后將轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離關(guān)系，列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得弦所在的直線方程為，因?yàn)閳A，圓心，圓，圓心，設(shè)圓心與圓心到直線的距離分別為，因?yàn)?，即，所以，又，即，化簡可得，即，解得?故選：BD16．（2024·浙江紹興·三模）已知，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．外接圓圓心的軌跡方程為D．重心的軌跡方程為【答案】ABC【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，可得判定A正確；當(dāng)線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)取得最值，結(jié)合圓的性質(zhì)，可判定B正確；設(shè)的外接圓的圓心為，根據(jù)，求得軌跡方程，可判定以C正確；設(shè)的重心為點(diǎn)，結(jié)合C項(xiàng)，求得其軌跡方程，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)閳A，可得圓心，半徑為，且點(diǎn)在圓內(nèi)，對于A中，由，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，即，即，所以的最大值為，所以A正確；對于B中，因?yàn)?，?dāng)線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)取得最值，如圖所示，可得時(shí)，可得，時(shí)，可得，所以B正確；對于C中，設(shè)的外接圓的圓心為，則，則有，可得，即，所以C正確；對于D中，設(shè)的重心為點(diǎn)，則，由C項(xiàng)知的外接圓的圓心點(diǎn)的軌跡方程為，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，所以，即，即，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題17．（2024·廣東汕頭·三模）已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，（i）則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（ii）若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】空1：設(shè)圓的一般方程，再代入三個(gè)點(diǎn)得到方程組，解出即可；空2：首先求出直線的方程，再求出其對稱方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到不等式，解出即可.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為，其中，則，解得，圓的方程為，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；由題意知，直線的斜率為，直線方程為，與的交點(diǎn)為，所以直線關(guān)于對稱的直線的斜率為，故對稱直線的方程為，即，由知，圓心為，半徑為2，因?yàn)閷ΨQ直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.18．（2024·天津和平·三模）已知圓以點(diǎn)為圓心，且與直線相切，則滿足以上條件的圓的半徑最大時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】先求得直線過定點(diǎn)，圓的半徑最大時(shí)，即為圓心和點(diǎn)的