專題11 概率（4大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題10概率命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對概率的考查，重點(diǎn)是（1）理解古典概型及其概率計算公式；（2）會計算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率；（3）理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率；（4）理解兩點(diǎn)分布、二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實(shí)際問題；（5）借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用。古典概型2022·新高考Ⅰ卷，52024·新高考Ⅰ卷，14正態(tài)分布2024·新高考Ⅰ卷，92022·新高考Ⅱ卷，13獨(dú)立事件的乘法公式2023·新高考Ⅰ卷，72023·新高考Ⅱ卷，122024·新高考Ⅱ卷，18條件概率、全概率公式2022·新高考Ⅰ卷，202022·新高考Ⅱ卷，19命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了與排列組合綜合的古典概型問題，這也是高考?？键c(diǎn)之一。同時在多選題中考查了正態(tài)分布及其應(yīng)用。Ⅱ卷考查了獨(dú)立事件的乘法公式，體現(xiàn)在大題中。從今年的考題來看，概率大題已經(jīng)不是必考了，而且可以用來作填空的壓軸題。這需要大家引起重視，對于概率難題要適當(dāng)?shù)木毩?xí)，說不定在19題中也會出現(xiàn)它的影子。預(yù)計2025年高考還是主要考查古典概型和求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望。建議大家要留意一下全概率公式，它將會是一個新的出題點(diǎn)，思維難度會略大。試題精講一、多選題1．（2024新高考Ⅰ卷·9）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的原則以及正態(tài)分布的對稱性即可解出.【詳解】依題可知，，所以，故，C正確，D錯誤；因為，所以，因為，所以，而，B正確，A錯誤，故選：BC．二、填空題2．（2024新高考Ⅰ卷·14）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.【答案】/0.5【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.三、解答題3．（2024新高考Ⅱ卷·18）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進(jìn)入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？【答案】(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【分析】（1）根據(jù)對立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.【詳解】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，，，，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因為，則，，則，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是計算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·5）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.二、多選題2．（2023新高考Ⅱ卷·12）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.三、填空題3．（2022新高考Ⅱ卷·13）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．【答案】/．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，所以，因此．故答案為：．四、解答題4．（2022新高考Ⅰ卷·20）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以5．（2023新高考Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設(shè)，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點(diǎn)分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當(dāng)時，，故．【點(diǎn)睛】本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．6．（2022新高考Ⅱ卷·19）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【詳解】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．一、古典概型（1）定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個；②等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點(diǎn)，事件包含其中的個樣本點(diǎn)，則定義事件的概率．二、概率的基本性質(zhì)（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機(jī)實(shí)驗中的兩個事件，則．三、條件概率（一）定義一般地，設(shè)，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進(jìn)行．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．四、相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系（一）相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（4）兩個事件的相互獨(dú)立性的推廣兩個事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個事件同時發(fā)生的概率．（二）事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．五、全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來計算一個復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實(shí)際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率．（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．六、離散型隨機(jī)變量的分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結(jié)果．這種試驗就是隨機(jī)試驗．（2）有些隨機(jī)試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．2、離散型隨機(jī)變量對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個值．（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．注意：①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機(jī)變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．七、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??；（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．八、兩點(diǎn)分布1、若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．注意：（1）兩點(diǎn)分布的試驗結(jié)果只有兩個可能性，且其概率之和為；（2）兩點(diǎn)分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．2、兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，．九、次獨(dú)立重復(fù)試驗1、定義一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗．注意：獨(dú)立重復(fù)試驗的條件：①每次試驗在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗是相互獨(dú)立的；③每次試驗都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2、特點(diǎn)（1）每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的；（2）每次試驗中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．十、二項分布1、定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項式展開式各對應(yīng)項的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項分布，即時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2、二項分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項分布的期望、方差若，則，．十一、超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．十二、正態(tài)曲線1、定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2、正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙十三、正態(tài)分布1、定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計．2、原則若，則對于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡稱之為原則．【概率常用結(jié)論】一、古典概型1、解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)與事件中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件是什么．2、解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；（3）分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；（4）利用公式求出事件的概率．3、解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和．②求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法．二、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望1、超幾何分布和二項分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的.2、在解決有關(guān)問題時，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值．如果服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的某些取值超出了這個范圍就說明出現(xiàn)了意外情況．3、求正態(tài)變量在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：（1）根據(jù)題目中給出的條件確定與的值．（2）將待求問題向，，這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）利用在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．4、假設(shè)檢驗的思想（1）統(tǒng)計中假設(shè)檢驗的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的原則和從總體中抽測的個體的數(shù)值，對事先所作的統(tǒng)計假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè)．（2）若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則ξ落在區(qū)間內(nèi)的概率為，亦即落在區(qū)間之外的概率為，此為小概率事件．如果此事件發(fā)生了，就說明不服從正態(tài)分布．（3）對于小概率事件要有一個正確的理解：小概率事件是指發(fā)生的概率小于的事件．對于這類事件來說，在大量重復(fù)試驗中，平均每試驗大約次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．不過應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對“一次試驗”來說的，如果試驗次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時，也有犯錯的可能性．一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古·三模）三人被邀請參加一個晚會，若晚會必須有人去，去幾人自行決定，則恰有一人參加晚會的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】列舉基本事件空間，可得概率.【詳解】設(shè)三人為，，，則參加晚會的情況有，，，，，，，共種情況，其中恰有一人參加晚會的情況有種，故所求的概率為，故選：B.2．（2024·河北保定·三模）某火鍋店在每周的周一、周三、周五、周日會安排員工跳舞蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，隨機(jī)選擇兩天到該店吃火鍋，則該人能欣賞到舞蹈“科目三”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對立事件思想解題即可.【詳解】該人不能欣賞到舞蹈“科目三”的概率，則該人能欣賞到舞蹈“科目三”的概率，故選：B.3．（2024·湖南長沙·三模）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性結(jié)合題意求解即可【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，由，得，因為，所以.故選：A4．（2024·安徽·三模）已知正方體的棱長為1，若從該正方體的8個頂點(diǎn)中任取4個，則這4個點(diǎn)可以構(gòu)成體積為的四面體的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查排列組合與古典概型概率計算.【詳解】設(shè)正方體為，則滿足體積為的四個頂點(diǎn)只有“”和“”兩種情況滿足，故所求概率.故選：A5．（2024·山東日照·三模）從標(biāo)有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號卡片的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出5張卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重復(fù)的基本事件，利用間接法以及古典概型即可求解.【詳解】5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，共有種取法，三次都不重復(fù)的取法有種，由加法原理和乘法原理，出現(xiàn)重復(fù)編號卡片的概率.故選：B.6．（2024·河南·三模）已知0.9973.某體育器材廠生產(chǎn)一批籃球，單個籃球的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，從這一批籃球中隨機(jī)抽檢300個，則被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個數(shù)約為（

）A．286 B．293 C．252 D．246【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出的概率，即可得解.【詳解】由題意得，，，所以被抽檢的籃球的質(zhì)量不小于596克的個數(shù)約為293.故選：B.7．（2024·江西鷹潭·三模）拋擲一枚骰子兩次，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為，則能構(gòu)成三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】按照分類討論的方法求出能夠構(gòu)成三角形的基本事件數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以，又因為最大為，所以當(dāng)時，有共六種情況，當(dāng)時，有共五種情況，當(dāng)時，有共四種情況，當(dāng)時，有共三種情況，當(dāng)時，有共兩種情況，當(dāng)時，有一種情況，所以共有種情況，而總的可能數(shù)有種，所以概率為，故選：A.8．（2024·四川內(nèi)江·三模）文明是一座城市最靚麗的底色，也是一座城市最暖的名片．自內(nèi)江市開展“讓文明出行成為甜城靚麗風(fēng)景”文明實(shí)踐日活動以來，全市廣大學(xué)子以實(shí)際行動提升城市文明形象，助力全國文明城市創(chuàng)建工作．在活動中，甲、乙兩名同學(xué)利用周末時間到交通路口開展文明勸導(dǎo)志愿服務(wù)工作，他們可以從四個路口中隨機(jī)選擇一個路口，設(shè)事件為“甲和乙至少有一人選擇了路口”，事件為“甲和乙選擇的路口不相同”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用縮小樣本空間的方法計算條件概率即可.【詳解】由題意可知甲乙隨機(jī)選擇路口有種方法，而甲乙都不選A路口的可能有種，即事件M的樣本點(diǎn)有7個，而在甲乙至少一人選擇A路口的前提下，兩人選擇的路口不同有種情況，所以.故選：B9．（2024·貴州畢節(jié)·三模）某學(xué)生的QQ密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字母，后六位是數(shù)字共九個符號組成．該生在登錄QQ時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數(shù)，則不超過兩次就輸對密碼的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出事件，由已知根據(jù)互斥事件的運(yùn)算性質(zhì)，以及條件概率的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)為“第次按對密碼”（），則事件“不超過2次就按對”可表示為，記“密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)”為事件，由條件概率的性質(zhì)可得..故選：C.10．（2024·四川眉山·三模）四名同學(xué)參加社會實(shí)踐，他們中的每個人都可以從三個項目中隨機(jī)選擇一個參加，且每人的選擇相互獨(dú)立.這三個項目中恰有一個項目沒有被任何人選擇的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助排列數(shù)、組合數(shù)求出符合要求的情況種數(shù)及所有可能情況種數(shù)即可得.【詳解】.故選：C.11．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機(jī)排成一列隊伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機(jī)分兩列隊伍依次排隊站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊就能接到自己家的小朋友的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用排列應(yīng)用問題、及組合計數(shù)求出基本事件數(shù)，再利用古典概率計算即得.【詳解】不妨假設(shè)六位爸爸已經(jīng)站好了位置，不同站位方法數(shù)為，小孩找到各自的爸爸，則其為定序問題，不同站位方法數(shù)為所以不需要插隊的概率.故選：B12．（2024·河南南陽·三模）甲袋中有3個紅球，3個白球和2個黑球；乙袋中有2個紅球，2個白球和4個黑球.先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以，，表示事件“取出的是紅球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再從乙袋中隨機(jī)取出一球，以表示事件“取出的是白球”，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．事件，，是兩兩互斥的事件 B．事件與事件為相互獨(dú)立事件C． D．【答案】B【分析】由互斥事件，互相獨(dú)立事件的概念以及條件概率的計算公式逐項判斷即可.【詳解】由題意可得，，，顯然事件，，是兩兩互斥的事件，故A正確；，故D正確；，，所以，故事件與事件不是相互獨(dú)立事件，故B錯誤；，故C正確；故選：B.13．（2024·四川涼山·三模）涼山地區(qū)學(xué)生中有50%的同學(xué)愛好羽毛球，60%的同學(xué)愛好乒乓球，70%的同學(xué)愛好羽毛球或乒乓球．在涼山地區(qū)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好羽毛球，則該同學(xué)也愛好乒乓球的概率為（

）A．0.4 B．0.5 C．0.8 D．0.9【答案】C【分析】由題設(shè)出事件，設(shè)在涼山地區(qū)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，該同學(xué)愛好羽毛球為事件A，愛好乒乓球為事件B，根據(jù)已知條件求出，再利用條件概率公式求出即可.【詳解】設(shè)在涼山地區(qū)的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，該同學(xué)愛好羽毛球為事件A，愛好乒乓球為事件B，則由題：，所以，隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好羽毛球，則該同學(xué)也愛好乒乓球為，故選：C.14．（2024·安徽馬鞍山·三模）甲、乙等5名學(xué)生參加學(xué)校運(yùn)動會志愿者服務(wù)，每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機(jī)選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分類討論人數(shù)的配比情況，分別求總共不同的安排方法和甲、乙兩人恰選擇同一崗位時不同的安排方法，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【詳解】若人數(shù)配比為時，則有種不同安排方法；若人數(shù)配比為時，則有種不同安排方法；所以共有種不同安排方法.若甲、乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為時，則有種不同安排方法；若甲、乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為時，則有種不同安排方法；所以共有種不同安排方法.所以甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為.故選：C.二、多選題15．（2024·浙江紹興·三模）已知隨機(jī)變量，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】借助正態(tài)分布的對稱性可得A、B，借助正態(tài)分布定義及期望與方差的性質(zhì)可得C、D.【詳解】由隨機(jī)變量，則，，則，，，，故A、B、D正確，C錯誤.故選：ABD.16．（2024·湖南長沙·三模）某校在運(yùn)動會期間進(jìn)行了一場“不服來戰(zhàn)”對抗賽，由籃球?qū)I(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進(jìn)行對抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學(xué)連續(xù)投球3次，乙組的同學(xué)每人各投球1次.若甲組同學(xué)和乙組3名同學(xué)的命中率依次分別為，則（

）A．乙組同學(xué)恰好命中2次的概率為B．甲組同學(xué)恰好命中2次的概率小于乙組同學(xué)恰好命中2次的概率C．甲組同學(xué)命中次數(shù)的方差為D．乙組同學(xué)命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，利用概率乘法和加法公式，可判定A錯誤；根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗的概率公式，可得判定B正確，結(jié)合二項分布的方差，可判定C中，由乙組同學(xué)命中次數(shù)為隨機(jī)變量的所有可能取值為，求得相應(yīng)的概率，結(jié)合期望的公式，可判定D正確.【詳解】對于A中，設(shè)“乙組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，所以A錯誤；對于B中，設(shè)“甲組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，因為，所以B正確；對于C中，因為甲組同學(xué)每次命中的概率都為，設(shè)甲組同學(xué)命中次數(shù)為，則，可得，所以C正確；對于D中，設(shè)乙組同學(xué)命中次數(shù)為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為，所以，，，故，所以D正確.故選：BCD.17．（2024·云南昆明·三模）在一個有限樣本空間中，事件發(fā)生的概率滿足，，A與互斥，則下列說法正確的是（

）A． B．A與相互獨(dú)立C． D．【答案】ABD【分析】A選項，根據(jù)互斥得到，；B選項，根據(jù)求出，故，B正確；C選項，A與互斥，故與互斥，故C正確；D選項，根據(jù)求出D正確.【詳解】A選項，A與互斥，故，，則包含事件，故，A正確；B選項，，即，故，故，A與相互獨(dú)立，B正確；C選項，A與互斥，故與互斥，故，C錯誤；D選項，，因為，故，D正確.故選：ABD18．（2024·山東青島·三模）某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)如下表所示年份201520162017201820192020202120222023產(chǎn)量（萬臺)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0銷量（萬臺)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6記“產(chǎn)銷率”年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為，則（

）A．B．2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)C．從2015-2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于的概率為D．從2015-2023年中隨機(jī)取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于的條件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于的概率為【答案】ACD【分析】由中位數(shù)定義可判斷A；求得每年的產(chǎn)銷率，可判斷B；由B可得產(chǎn)銷率大于的有2個年份，可得概率判斷C；利用條件概率公式求解可判斷D.【詳解】對于A：由中位數(shù)的定義可知，，故A正確；對于B：2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率依次為：所以2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率隨年份的增加，有時增加，有時減少，故B錯誤；對于C：由B可知，從2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率大于的有2個年份，所以從2015–2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于的概率為，對于D：設(shè)事件A表示“從2015-2023年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于m”，事件B表示“從2015-2023年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率大于”，所以所以故D正確.故選：ACD.19．（2024·福建三明·三模）假設(shè)甲袋中有3個紅球和2個白球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.下列選項正確的是（

）A．從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為B．從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為C．從乙袋中取出的2個球是紅球的概率為D．已知從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合古典概率公式、條件概率公式及全概率公式逐項計算判斷得解.【詳解】從甲袋中取出個球有個紅球的事件為，從乙袋中取出個球紅球的事件為，，，，，，，對于A，從甲袋中任取2個球是1個紅球1個白球的概率為，A正確；對于B，從甲、乙兩袋中取出的2個球均為紅球的概率為，B錯誤；對于C，從乙袋中取出的2個球是紅球的概率，C正確；對于D，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率，D正確.故選：ACD20．（2024·河南·二模）現(xiàn)有編號分別為的三個盒子，其中盒中共20個小球，其中紅球6個，盒中共20個小球，其中紅球5個，盒中共30個小球，其中紅球6個.現(xiàn)從所有球中隨機(jī)抽取一個，記事件：“該球為紅球”，事件：“該球出自編號為的盒中”，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．若從所有紅球中隨機(jī)抽取一個，則該球來自盒的概率最小【答案】ACD【分析】由古典概率先計算，再由條件概率計算得到A正確；由全概率計算得到B錯誤；由條件概率得到C正確；由古典概率得到D正確.【詳解】A：由題，，故A正確；B：由選項A可得，故B錯誤；C：因為，所以，所以，故C正確；D：由題該球來自的概率為，該球來自的概率為，該球來自的概率為，所以該球來自的概率最小，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題A，C關(guān)鍵在于應(yīng)用條件概率公式即.三、填空題21．（2024·上海·三模）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，4，5，6，x，則這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為．【答案】/【分析】這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為從小往大排列后的第3個和第4個數(shù)的平均數(shù)，，得到，求相應(yīng)的概率即可.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時，這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4，的概率為，所以這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為.故答案為：.22．（2024·上海閔行·三模）3名男生和2名女生排成一排，則女生互不相鄰的排法的概率為.【答案】/0.6【分析】利用插空法求出女生互不相鄰的排法，進(jìn)而得到概率.【詳解】先排男生共有種，男生排好后共有4個空隙，再把2個女生排進(jìn)去共有種排法，所以符合條件的共有種排法，故女生互不相鄰的排法的概率為.故答案為：23．（2024·山東濟(jì)寧·三模）甲和乙兩個箱子中各裝有6個球，其中甲箱子中有4個紅球、2個白球，乙箱子中有2個紅球、4個白球，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個箱子，然后從該箱子中隨機(jī)取出一個球，則取出的球是白球的概率為.【答案】/0.5【分析】把所求概率的事件分拆成兩個互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互獨(dú)立事件的概率公式求解即得.【詳解】依題意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件與取乙箱并取白球的事件的和，顯然事件與互斥，，，所以.故答案為：24．（2024·北京·三模）在統(tǒng)計調(diào)查中，對一些敏感性問題，要精心設(shè)計問卷，設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回答問題．否則，被調(diào)查者往往會拒絕回答，或不提供真實(shí)情況．某中學(xué)為了調(diào)查本校中學(xué)生某不良習(xí)慣A的發(fā)生情況，對隨機(jī)抽出的200名中學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中設(shè)置了兩個問題：問題1：你的陽歷生日日期是否偶數(shù)？

問題2：你是否有A習(xí)慣？調(diào)查者準(zhǔn)備了一個不透明袋子，里面裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的5個白球和5個紅球．每個被調(diào)查者隨機(jī)從袋中摸出1個球（摸出的球再放回袋中并攪拌均勻），摸到白球的學(xué)生如實(shí)回答第一個問題，摸到紅球的學(xué)生如實(shí)回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不做．已知調(diào)查結(jié)束后，盒子里共有55個小石子．據(jù)此估計此中學(xué)學(xué)生中有習(xí)慣A的人數(shù)的百分比為．【答案】5%【分析】計算隨機(jī)抽出的200名學(xué)生中回答第一個問題且為“是”的學(xué)生數(shù)，由此求出回答第二個問題且為是的人數(shù)，計算概率值即可．【詳解】根據(jù)題意，被調(diào)查者回答第一個問題的概率為；其陽歷生日日期是偶數(shù)的概率也是，所以隨機(jī)抽出的200名學(xué)生中，回答兩個問題的人數(shù)估計各有人，所以200人中抽取到白球并回答第一個問題為“是”的學(xué)生估計有人；所以抽到紅球并回答第二個問題為“是”的人數(shù)估計為人，由此估計此中學(xué)學(xué)生有A習(xí)慣人數(shù)的百分比為．故答案為：5%.25．（2024·天津濱海新·三模）隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展越來越好，外出旅游的人越來越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風(fēng)景區(qū)、古文化街、意式風(fēng)情街、海河觀光游船、盤山風(fēng)景區(qū)，這6個隨機(jī)選擇1個景點(diǎn)游玩，兩位游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為．這兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點(diǎn)不相同的概率．【答案】【分析】根據(jù)古典概型的計算方法可求兩位游客都選擇天津之眼摩天輪的概率；設(shè)事件表示“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件表示“他們選擇的景點(diǎn)不相同”，先求出，，在利用條件概率公式即可求第二空.【詳解】設(shè)事件表示“兩位游客都選擇天津之眼摩天輪”，則；設(shè)事件表示“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件表示“他們選擇的景點(diǎn)不相同”，則，，∴．故答案為：．26．（2024·廣東廣州·三模）在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的四個外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉，也就是主持人知道獎品在哪個箱子里，當(dāng)抽獎人選擇了某個箱子后，在箱子打開之前，主持人先隨機(jī)打開了另一個沒有獎品的箱子，并問抽獎人是否愿意更改選擇以便增加中獎概率．現(xiàn)在已知甲選擇了號箱，用表示號箱有獎品（），用表示主持人打開號箱子（），則，若抽獎人更改了選擇，則其中獎概率為．【答案】/0.375【分析】根據(jù)主持人可打開的箱子號碼可確定；分別考慮獎品在號箱、不在號箱的情況，根據(jù)此時更改選擇，結(jié)合全概率公式求解即可.【詳解】獎品在號箱，甲選擇了號箱，主持人可打開號箱，則；若獎品在號箱，其概率為，抽獎人更改了選擇，則其選中獎品所在箱子的概率為；若獎品不在號箱，其概率為，主持人隨機(jī)打開不含獎品的兩個箱子中的個，若此時抽獎人更改選擇，其選中獎品所在箱子的概率為；若抽獎人更改選擇，其中獎的概率為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查條件概率的求解、決策類問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)根據(jù)獎品所在箱子號碼，確定主持人可打開的箱子數(shù)，由此確定選中中獎箱子的概率.27．（2024·河北張家口·三模）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到時，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結(jié)束．已知甲贏得每一分的概率為，在兩人的第一局比賽中，兩人達(dá)到了，此局比賽結(jié)束時，兩人的得分總和為n，則此時的概率．【答案】【分析】由條件分析的特點(diǎn)，討論，結(jié)合比賽流程及概率乘法公式分別求甲贏得比賽的概率和乙贏得比賽的概率，相加可得結(jié)論.【詳解】因為比賽結(jié)束時，兩人的得分總和為n，其中且兩人的得分的差的絕對值為，所以，且為偶數(shù)，所以當(dāng)，時，，當(dāng)時，，當(dāng)，且為偶數(shù)時，若甲贏得比賽，則最后兩局比賽甲勝，余下比賽中，第21球開始，奇數(shù)球與其之后的偶數(shù)球均為甲乙一勝一負(fù)，所以事件甲贏得比賽的概率為，同理乙贏得比賽的概率為，所以，時，的值也符合關(guān)系，所以，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于認(rèn)真審題，分析事件的特征，選擇適當(dāng)?shù)母怕蔬\(yùn)算公式求解.四、解答題28．（2024·重慶九龍坡·三模）在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先四人抽簽兩兩對陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，勝者進(jìn)入最后決賽；“敗區(qū)”的兩個對陣，敗者直接淘汰出局并獲得第四名；緊接著“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的“敗者”對陣，勝者晉級到最后的決賽，敗者獲得第三名：最后，剩下的兩人進(jìn)行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲得第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對陣結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁.①求甲獲得第四名的概率；②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(2)除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：四人抽簽決定兩兩對陣，兩場比賽的勝者晉級到冠軍決賽，敗者參加三、四名比賽，哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.【答案】(1)①；②；(2)答案見解析.【分析】（1）結(jié)合對立事件概率和獨(dú)立事件概率公式求解即可；（2）結(jié)合對立事件概率和獨(dú)立事件概率公式，再列出分布列，最后求期望即可.【詳解】（1）①記“甲獲得第四名”為事件，即甲雙敗，則；②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為連敗兩局：，可以分為三種情形：甲第一、第二局連勝兩局，第三局不管勝負(fù)；甲第一局負(fù)，第二局勝，第三局負(fù)；甲第一局勝，第二局負(fù)，第三局負(fù)；，可以分為三種情形：甲第一局負(fù)，第二局勝，第三局勝；甲第一局勝，第二局負(fù)，第三局勝，且第四局都不管勝負(fù).；故的分布列如下：234故數(shù)學(xué)期望；（2）“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率，在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為，由，且所以時，，“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；時，，“單敗淘汰制”對甲奪冠有利；時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.29．（2024·新疆喀什·三模）某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：質(zhì)量差（單位：）5458606364件數(shù)（單位：件）52545205(1)求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設(shè)零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；(2)已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線和第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件件數(shù)比是3:1．若第1、2條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.004和0.008，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相獨(dú)立的．現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件．（?。┣蟪槿〉牧慵閺U品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，【答案】(1)(2)（?。唬áⅲ痉治觥浚?）先求出，再利用正態(tài)分布曲線的對稱性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）利用條件概率公式求解.【詳解】（1）由題意可知:，則，所以（2）（i）設(shè)事件表示“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，事件表示“隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，事件表示“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則，，，，所以；（ii）因為，所以，所以．30．（2024·安徽合肥·三模）在2024年高考前夕，合肥一六八中學(xué)東校區(qū)為了舒展年級學(xué)子身心，緩解學(xué)子壓力，在一周內(nèi)（周一到周五）舉行了別開生面“舞動青春，夢想飛揚(yáng)”的競技活動，每天活動共計有兩場，第一場獲勝得3分，第二場獲勝得2分，無論哪一場失敗均得1分，某同學(xué)周一到周五每天都參加了兩場的競技活動，已知該同學(xué)第一場和第二場競技獲勝的概率分別為、，且各場比賽互不影響．(1)若，記該同學(xué)一天中參加此競技活動的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)該同學(xué)在一周5天的競技活動中，恰有3天每天得分不低于4分的概率為，試求當(dāng)取何值時，取得最大值．【答案】(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到可能的取值，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和期望；（2）先求出一天得分不低于4分的概率，再用二項分布的概率公式求出，利用導(dǎo)數(shù)即可求得取最值時的值.【詳解】（1）由題可知，的可能取值為．因為，所以，，故的分布列為：2345的數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)一天得分不低于4分為事件，則，則，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值．31．（2024·北京西城·三模）根據(jù)2024城市魅力排行榜，一線城市4個，分別為：上海、北京、深圳、廣州；新一線城市15個，分別為：成都、杭州、重慶、蘇州、武漢、西安、南京、長沙、天津、鄭州、東莞、無錫、寧波、青島、合肥.其中城區(qū)常住人口超過一千萬的超大城市10個，分別為：上海、北京、深圳、重慶、廣州、成都、天津、東莞、武漢、杭州.(1)從10個超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，求該城市是一線城市的概率；(2)從10個超大城市按不可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個城市，隨機(jī)變量X表示新一線城市的數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；(3)從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個城市，隨機(jī)變量Y表示新一線城市的數(shù)量，比較E（X）與E（Y）的大小關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）根據(jù)古典概型直接求概率；（2）根據(jù)超幾何分布求得X取值對應(yīng)的概率，得到分布列和期望；（3），運(yùn)用二項分布期望公式求得，即可得到二者相等.【詳解】（1）10個超大城市中包含4個一線城市，所以從10個超大城市中隨機(jī)抽取一座城市，該城市是一線城市的概率為.（2）10個超大城市中包含6個新一線城市，X所有可能的取值為：.；；；.所以X的分布列為：X0123P.（3）理由如下：從10個超大城市中按可放回抽樣的方式隨機(jī)抽取3個城市，隨機(jī)變量，，所以.32．（2024·山東青島·三模）為了研究高三年級學(xué)生的性別和身高是否大于的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)部分高三年級的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表（單位:人):性別身高合計低于不低于女14519男81018合計221537(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)?(2)從身高不低于的15名學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，設(shè)抽取的三名學(xué)生中女生人數(shù)為，求的分布列及期望.(3)若低于的8名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，不低于的10名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.請估計該中學(xué)男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.附:.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)可以認(rèn)為性別與身高有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析，1(3)平均數(shù)為174，方差為59【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得，結(jié)合附表，即可求解；根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，可以認(rèn)為性別與身高有關(guān)聯(lián)（2）根據(jù)題意，得到變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得18名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合分層抽樣的方差的計算公式，即可求解.【詳解】（1）解：零假設(shè)：該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高無關(guān)聯(lián)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，由此可知根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，零假設(shè)不成立，可以認(rèn)為性別與身高有關(guān)聯(lián)（2）解：由題意，可得隨機(jī)變量的可能取值為，可得所以隨機(jī)變量的分布列為:0123所以，期望為