第23講 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（解析版）-【同步題型講義】2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步教學(xué)題型講義（人教A版2019必修第一冊）

第23講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

【知識點(diǎn)梳理】

1.直線和曲線聯(lián)立

22

(1)I陶圓二+二=1(〃>。>0)與直線/:丁=丘+加相交于A3兩點(diǎn)，設(shè)A(%],M),B(X2,y2)

ah

'22

.2_-i

2222222222

<ab~?(b+ku)x+Icrkim+am-ab=0(正設(shè))

y=kx+m

22

橢圓Fr+Z=l(a>0,b>0)與過定點(diǎn)O,0)的直線/相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)為％=(y+/n,如此消去x，保留y,

ab

但+匚1,

構(gòu)造的方程如下：,//,(a2+t2b2)y2+2b2tmy+b2nr-crb2=0(反設(shè))

x=ty+m

注意：

①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點(diǎn)的，一般都需要擺出△>(),

滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系.

②焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述.

(2)拋物線=2px(/?>0)與直線x=(y+m相交于A、B兩點(diǎn),設(shè)A(玉，y1),B(x2?乃)

聯(lián)立可得y2=2p((y+m),△>()時，，[+必=2/”

[乂月=-2p〃？

12

特殊的，當(dāng)直線反過焦點(diǎn)的時候，即,〃=￡,y,=-2pm=-p,X]x2=^-.^-=-p,因?yàn)槠鞛橥◤?/p>

22P2P4

的時候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標(biāo)來記憶.

拋物線爐=20，5>0)與直線>=自+機(jī)相交于C、。兩點(diǎn)，設(shè)C(x-％),D(X2)%)

聯(lián)立可得V=2p(依+M，△>()時，卜+%：2pk

[%/=-2Pm

注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量.開口向上選

擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)：注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析.

總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點(diǎn)共線問

題，角度問題等常考內(nèi)容的時候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的

形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞?

2.根的判別式和韋達(dá)定理

22

二■+'=1(〃>匕>0)與y=辰+相聯(lián)立，兩邊同時乘上a2b2即可得到(a?女2+b2)x2+2kmcrx+a2(ni2-Z?2)=0,

ab~

為了方便敘述，將上式簡記為42+&+。=().該式可以看成一個關(guān)于工的一元二次方程，判別式為

232A22)2).

D=4/b+b2_機(jī)可簡單記4a2/(4一加

22

22222222

同理0+2T=1（。＞人＞0）和聯(lián)立（/+tb）y+2btmy+Z?/??-ab=0,為了方便敘述，將上式簡記

a廿

為A/+By+C=0,D=4a2b2（a2+t2b2-nr），可簡記4〃出（人一小）.

/與C相離趺＜0;/與C相切踐=0；/與C相交蹊＞0.

注意：（1）由韋達(dá)定理寫出入+々=-￡,x1x2=-,注意隱含條件△＞（）.

AA

（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意.

（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把a(bǔ):從互換位置即可.

（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把尸換成即可；

焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把/換成-6?即可，〃換成a?即可.

（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用D判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往

會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲

線交點(diǎn)問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo).

【題型目錄】

題型一：直線與橢圓位置關(guān)系

題型二：直線與雙曲線位置關(guān)系

題型三：直線與拋物線位置關(guān)系

【典例例題】

題型一：直線與橢圓位置關(guān)系

[例1]（2023?全國?高三專題練習(xí)）直線y=2x-l與橢圓片+2=1的位置關(guān)系是（）

94

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【答案】A

【分析】根據(jù)直線恒過（0,-1）,且（0,-1）在橢圓內(nèi)可直接得到結(jié)論.

仆2I21

【詳解】在橢圓內(nèi)，

???"2》-1恒過點(diǎn)（0,—1）,，直線y=2x-l與橢圓總+[=1相交.

故選：A.

【例2】（2022?全國?高二課時練習(xí)）若直線如+利=4與圓/+/2=4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)「（〃?,〃）的直線與橢

圓￡+￡=1的交點(diǎn)的個數(shù)為（）

94

A.0或1B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】由直線與圓相離得到P點(diǎn)位置后判斷

1-41

【詳解】由題意,/,,>2,得病+川<4,故點(diǎn)尸(牡〃)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，即在橢圓

7m+n

內(nèi)部，過P點(diǎn)的直線與該橢圓必有2個交點(diǎn).

故選：B

【例3】(2022全國?高二專題練習(xí))已知橢圓上+$=1,直線g+y+m-1=0,那么直線與橢圓位置關(guān)系

54

()

A.相交B.相離C.相切D.不確定

【答案】A

【分析】求得直線恒過點(diǎn)(-1,1),由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則直線與橢圓相交.

［詳解］由mx+y+?7_l=0,則機(jī)(x+l)+y_］=0,

則直線g+y+相-1=0,恒過定點(diǎn)

由￡空+眩=2<1,則點(diǎn)(T,l),在橢圓目+片=1內(nèi)部，

542054

二直線與橢圓相交.

故選：A

【例4】(2022?江蘇?高二)已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為［+?=1,若過點(diǎn)P(2,l)的直線/與橢圓C在第一象

限相切于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

【答案】fl.|］##(l,1.5)

【分析】設(shè)切線的方程，與橢圓聯(lián)立由判別式等于?？傻脜?shù)的關(guān)系，再由切線過戶點(diǎn)的坐標(biāo)可得參數(shù)的關(guān)

系，進(jìn)而求出參數(shù)的值，即求出切線的方程，及切點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】解：當(dāng)切點(diǎn)在第一象限時，斜率存在且不為0,

設(shè)切線的方程為：y=kx+m,k<0,由于過P點(diǎn)可得：1=24+機(jī)，①

y=kx+m

聯(lián)立直線/與橢圓的方程,整理可得:（3+4公）X2+Skmx+4/H2-12=0,

則△=（&〃次）2-4（3+4公）（4療一12）=0,可得〃=3+4公②,

由①②可得：k―――,加=2,

所以切線方程為：y=-gx+2：

3

可得整理的方程為：x2-2x4-1=0,解得x=l,代入切線的方程可得y=],

即切點(diǎn)

所以直線/的方程為：y=-1x+2,切點(diǎn)M的坐標(biāo)（1g）.

故答案為：[

【例5】（2021?云南省昆明市第十中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)P（x。,%）是圓C：x2+y2=，（r>o）上一點(diǎn),

則圓C在P處的切線方程為與x+=/，由此類比可得到的正確結(jié)論是：設(shè)尸（廝,%）是橢圓C：

丫2v2

之+4=1（〃>。>0）上一點(diǎn)，則橢圓C在尸處的切線方程為.

a~b

【答案】坐+答=1

a'b'

【分析】根據(jù)題目要求，利用類比思想，觀察原題中的字母變化，從而總結(jié)規(guī)律得出結(jié)論.

【詳解】原題中要求利用類比得出結(jié)論，

22

注意觀察V+尸=r（r>0）在P（x0,y0）處的切線方程為x/+yoy=r,

可以看出圓的方程中一個x換為％,一個V換為為,即可得到切線方程,

o2

所以二+4=1（">b>0）方程中一個X換為X。，一個）'換為％，可以得到切線方程為：華+皆=1（。>6>0）,

ahrcrb

故答案為：華+譽(yù)=1.

ab

[例6]（2022?河北?張家口市宣化第一中學(xué)高二期末）已知點(diǎn)P是橢圓C:]+y2=i上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直

線/:x-y+2石=0距離的最小值為.

【答案】國

2

【分析】求橢圓上平行于/的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點(diǎn)到直線/的最小值.

【詳解】設(shè)與橢圓C相切，旦平行于/的立線為尸x+加,

聯(lián)立橢圓整理可得:3x2+4/nr+2"-2=0,則△=16m2—24（m2-1）=0,

，加=±G，又兩平行線的距離d」〃L網(wǎng),

V2

P到直線/:X-y+=0距離的最小值為d=\&乎'=顯.

叵2

故答案為：如

2

【例7】（2022.廣東.佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)A（2,0）、B（3,0）的距離之比

為逅，動直線/與A"垂直，垂足為點(diǎn)

3

（1）求動點(diǎn)例的軌跡方程；

（2）是否存在中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的橢圓C使得它與直線/只有一個公共點(diǎn)？若存在，求出橢圓C的

方程，若不存在，說明理由.

【答案】⑴x?+y2=6

（2）存在，且橢圓C的方程為《+片=1

62

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)M（x,y）,利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合已知條件化簡可得點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）討論當(dāng)M為圓/+丁=6與x軸的交點(diǎn)以及軸時，可寫出直線/的方程，可得出橢圓C的方程

為《+工=1，然后考慮當(dāng)直線AM的斜率存在且不為零時，設(shè)點(diǎn)”（今,幾），寫出直線/的方程，將/的方

程與橢圓C的方程聯(lián)立，由△=（）可得出結(jié)論.

,\\MA\J（x-2f+y2娓

（1）解：設(shè)點(diǎn)M（x,y）,由已知可得焉'=一,整理可得/+）產(chǎn)=6.

\MB\7（^-3）+/3

因此，點(diǎn)”的軌跡方程為/+丁=6.

2

（2）解：假設(shè)滿足條件的橢圓C存在，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為%+方v=1（〃＞匕＞。），

①若點(diǎn)M為圓/+尸=6與x軸的交點(diǎn)，則直線/的方程為x=土#，則“=

x=2

②若AM_Lx軸時,聯(lián)立可得即點(diǎn)M（2,士&）,

[x+y=6y=±y/2

此時直線/的方程為y=&或尸-應(yīng)，則6=0.

所以，若橢圓C存在，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+上=1.

62

③當(dāng)直線40的斜率存在且不為零時，設(shè)點(diǎn)"（知九），則x：+y；=6,

kAM=^4.則直線/的方程為-土吆（x-題），即丫=巴士^+"劣,

xo-2%%為

（2-%）*?6-2%

聯(lián)立，%%可得（%-3）、2+6（/-2）（修-3）》+9（%-2）2=0,

x2+3y2=6

22

所以，△=36(/-2)2小-3)-36(%-2)2(xo-3)=0,

此時，直線/與橢圓C：W+《=1相切，合乎題意.

62

綜上所述，存在橢圓C:t+f=l,使得直線/與橢圓C相切.

62

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的存在性，可先通過點(diǎn)M的特殊位置求出橢圓C的方程，然后考慮當(dāng)

點(diǎn)〃為一般點(diǎn)時，利用將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合判別式法加以判斷即可.

【例8】(2022?江蘇鹽城?高二期末)平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓。:提+/1(4＞匕＞0)的左焦點(diǎn)為

F,點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)，OP的最小值為1,FP的最大值為1+五.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/:x+Viy-3=0上是否存在點(diǎn)。，使得過點(diǎn)。能作橢圓C的兩條互相垂直的切線？若存在，請求出

這樣的點(diǎn)。；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)、+V=1

⑵存在；00，血)

【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知：a+c=l+&，b=\,即可求解a=&,6=l,c=1；

(2)聯(lián)立切線方程與橢圓方程，得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)切線垂直可得斜率相乘等于-1,進(jìn)而得點(diǎn)。在圓

X2+/=3h,又點(diǎn)。在/:x+0y-3=O,聯(lián)立即可求解.

(1)

設(shè)點(diǎn)尸(馬,%),則O產(chǎn)=*+y；=x：+/[1-今＞+b2,

當(dāng)飛=0時，OP取得最小值為力=1,.

2

尸產(chǎn)=(%+c)2+y：=(%+4+/(1-鳥)=(￡X+a)2,

aa

則當(dāng)x°=a時，F(xiàn)P取得最大值a+c=l+0.

解得。=夜力="=1,則橢圓方程為,+y2=l.

(2)

設(shè)點(diǎn)Q(%,%)當(dāng)天=0或=歷時，易得過點(diǎn)Q作橢圓的兩條切線并不垂直，

故可設(shè)過點(diǎn)。的橢圓的切線方程為＞=&+，〃,

\y=kx+mc、c

聯(lián)立方程組1,c,c，消元可得（2/+1?2+4也a+2廿-2=0

[x+2y=2

22

由△=1642m2-4（2丁+1）（2川_2）=o可得2k+l=m,

又直線丫=履+加過點(diǎn)。（%,％）,則，"=%-何，，于是2獷+1=〃/=（%-3））2

化簡可得（2-片）k2+2x°y（#+1-y：=0,

由兩條切線互相垂直可知，該方程的兩根之積人&=

2T

貝ljx：+y；=3,即點(diǎn)。在圓/+>2=3上,

>d0+->23=3=。解得|X=1

III1故存在點(diǎn)。（1，夜）滿足題意,

J=0,

【題型專練】

1.（2022全國?高二課時練習(xí)）直線/：x+y-3=0,橢圓土+丁=1,則直線和橢圓的位置關(guān)系是

4

【答案】相離

【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，計算得到/<0,即可由方程組解與交點(diǎn)個數(shù)的關(guān)系得出結(jié)論.

【詳解】解：直線/：x+y-3=0,橢圓工+丫2=1,聯(lián)立可得5P24X+32=0，

4

.-.A=242-4X5X32=-64<0,方程組無實(shí)數(shù)解，即直線與橢圓無交點(diǎn)，故直線和橢圓相離.

故答案為：相離

2.（2022.重慶.西南大學(xué)附中高二階段練習(xí)）直線/：kx-y-k=。與橢圓《+爐=1的位置關(guān)系是

43

【答案】相交

【分析】確定直線所過定點(diǎn)坐標(biāo)，由定點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系得直線與橢圓的位置關(guān)系，

【詳解】由已知直線依-y-左=0過定點(diǎn)4L0）,41,0）在橢圓內(nèi)部（為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓中,="^=1）.

所以直線與橢圓相交.

故答案為：相交.

3.（2022?江蘇?高二）若直線以+勿+4=0和圓Y+y2=4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)尸（9）的直線與橢圓上+*=1

94

的公共點(diǎn)個數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.需根據(jù)〃，〃的取值來確定

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，利用直線與圓的位置關(guān)系，得到/+/<4,進(jìn)而結(jié)合圓V+y2=4和橢圓的位置關(guān)系,

即可求得答案.

【詳解】因?yàn)橹本€辦+勿+4=0和圓*2+y2=4沒有公共點(diǎn),

4

所以原點(diǎn)到直線3+制+4=0的距離d=>2,即22

yJa2+h2a+b<4>

所以點(diǎn)p（0g）是在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn),

乂因?yàn)闄E圓《+±=1，可得"=3/'=2,

94

所以圓V+y2=4內(nèi)切于橢圓，所以點(diǎn)尸（。,“在橢圓的內(nèi)部,

所以過點(diǎn)尸（。，3的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)為2.

故選：C.

4.（2。22遼寧?高二階段練習(xí)）已知直線京+尹「。，曲線C則直線/與曲線C的位置關(guān)

系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】C

【分析】求出直線所過的定點(diǎn)，證明該定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由直線/：丘+y+l=O,得直線/過定點(diǎn)

因?yàn)?+2<1，所以該點(diǎn)在曲線C片+*=1內(nèi)部.

164164

所以直線/與曲線C相交.

故選：C

5.（2022.云南?羅平縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）加斯帕爾?蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國著名的兒何學(xué)家,

他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心,

22

這個圓被稱為“蒙日圓'’（圖乙），則橢圓C:三十二=1的蒙日圓的半徑為（）

169

A.3B.4C.5D.6

【答案】c

【分析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點(diǎn)即可求出圓的半徑.

【詳解】解：由蒙日圓的定義，可知橢圓C：（+M=1的兩條切線x=4、y=3的交點(diǎn)（4,3）在圓上，

所以蒙日圓的半徑R==

故選：C.

22

6.（2022?河北邯鄲?模擬預(yù)測）已知直線/：'與橢圓C：工+二=1,則下列結(jié)論正確的是（）

62

A.若C與/至少有一個公共點(diǎn)，貝打”42a

B.若C與/有且僅有兩個公共點(diǎn)，則同＜2夜

C.若根=3底，則C上到/的距離為5的點(diǎn)只有1個

D.若〃?=-0,則C上到/的距離為1的點(diǎn)只有3個

【答案】BCD

【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)公共點(diǎn)個數(shù)判斷△的符號求〃，的范圍，利用直線到橢圓切線的距離判

斷直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù).

y=x+m

【詳解】聯(lián)立y2消去》得“+6爾+3/-6=0,則判別式△=12（8-，叫，

-----1-----=1

162

A：令A(yù)=12（8-M"0,則有帆42夜，錯誤；

B：令A(yù)=12（8—/）＞0,則有同＜2應(yīng)，正確；

C：令直線/與橢圓C相切，則-=12（8-加2）=o,即一=±2&,

有線y=方+3應(yīng)與y=x—2&的距離d=卜④（2夜》=5,正確；

及

D：如圖，直線y=x-夜分別與y=x-2&和丫=》的距離均為1,因此，C上到/的距離為1的點(diǎn)只有3

個，正確.

故選：BCD

7.（2022遼寧?高二期中）在平面直角坐標(biāo)系x。），中，已知點(diǎn)尸仇,%）和曲線C:f+m），=1,則對于直線

/:々“+機(jī)片＞=1下列說法正確的是（）

A.若x°=g,%=g,加=1,則直線/與曲線C沒有交點(diǎn)

B.若不=；,y0=hm=-\,則直線/與曲線C有二個交點(diǎn)

C.若%=；，%=半，機(jī)=g，則直線/與曲線C有一個交點(diǎn)

D.直線/與曲線C的位置關(guān)系和尸在哪里無關(guān)

【答案】ABC

【分析】通過與、%、加的值，判斷曲線與直線的位置關(guān)系，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，即可得到結(jié)果.

【詳解】當(dāng)%=g,%=g,加=1時，曲線C:/+y2=i,則對于直線/:x+y=2,圓的圓心（0,0）到直線

|-2|

/:x+y=2的距離為十=應(yīng)r＞1,所以直線/與曲線C沒有交點(diǎn)，故A正確；

22

當(dāng)%=1，%=1，%=-1時，則曲線Cd-、』，直線/：x-2y=2,聯(lián)立方程組*二’:，消去“可得

2[x-2y=2

即3/+8y+3=0,可知A=64—4x3x3=28＞0,所以直線/與曲線C有二個交點(diǎn)，故B正確；

當(dāng)而=：,為=亞，加=:時，直線/:2x+#y=4與曲線C:x2+*=1,聯(lián)立方程組「十萬=,消去

2222唇+而丫=4

）可得：4X2-4X+1=0,解得x=g,所以直線/與曲線C有一個交點(diǎn)，所以C正確；

由B、C選項(xiàng)，可知直線/與曲線C的位置關(guān)系和P在哪里有關(guān)，所以D不正確.

故選：ABC.

8.（2022?廣西?浦北中學(xué)高二期中（文））在直角坐標(biāo)系中，橢圓C方程為二+丁=1,P為橢圓C上的

3

動點(diǎn)，直線的方程為：x+y=4,則點(diǎn)尸到直線的距離d的最小值為.

【答案】0

【分析】設(shè)橢圓切線x+y=Z,聯(lián)立橢圓方程求出切線方程，利用平行線的距離判斷橢圓上點(diǎn)到已知直線距

離的最值.

【詳解】令>與橢圓、+/=1相切，消去x整理得：4y2-2⑥+〃一3=0,

所以&=必2-16(〃-3)=4(12-342)=0,可得女=±2,顯然x+y=4與橢圓無交點(diǎn),

當(dāng)k=-2,切線為x+y=_2,與x+y=4版離為^=3夜；

2=及；

'4k=2,切線為x+y=2與x+y=4品巨離為正

所以點(diǎn)P到直線的距離d的最小值為四.

故答案為：血

22

9.(2022?江西?臨川一中高三期中(文))已知橢圓C:￡+￡=l(a>b>0),四點(diǎn)

中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.點(diǎn)尸為圓++b2上任意一點(diǎn),

O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C及圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線/經(jīng)過點(diǎn)P,且與橢圓C相切，與圓M相交于另一點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為3,試判斷直

線總與橢圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

?2

【答案】⑴橢圓C方程為二+丁=1,圓例方程為M+y2=5

4

(2)相切，證明見解析

【分析】(1)由對稱知：W都在橢圓c上，再分6,A，2在橢圓上和多三點(diǎn)在橢圓上分別求解即可.；

(2)由題意可得分直線網(wǎng)，x軸，當(dāng)直線A4〃尤軸和直線R4與x軸既不平行也不垂直，設(shè)出直線P4

方程，直線依方程，聯(lián)立方程可證明.

(1)

由對稱知：6,弓都在橢圓C上，

'26,

~~---7=]

若在橢圓上，貝IJ；4；,顯然方程組無解.

若三點(diǎn)在橢圓上，由2(0,1)在橢圓上則6=1,

13

代入點(diǎn)6得：方+[=1，則。=2

2

所以橢圓C方程為王+＞2=1,則圓M方程為X、y2=5.

4

⑵

直線PB與橢圓C相切.證明如下：

由題意可得，點(diǎn)8在圓M上，且線段A8為圓M的直徑，所以「4,尸3,

當(dāng)直線小_Lx軸時，此時直線過橢圓長軸的頂點(diǎn)，直線帖的方程為x=12,

則直線PB的方程為＞=±1,顯然直線PB與橢圓C相切.

同理，當(dāng)直線R4〃x軸時，直線尸8也與橢圓C相切.

當(dāng)直線必與x軸既不平行也不垂直時，

設(shè)點(diǎn)尸（與，兒），直線抬的斜率為鼠則AHO,直線總的斜率為-：，

所以直線以方程為：、—%=%（%-不），直線尸B方程為：y-%=-J（x-Xo），

K,

由F消去y得：（1+詼2尸+8%（%-5）了+4（%-5）2-4=0.

因?yàn)橹本€外與橢圓C相切，

所以4=[8（%-線）打2-4（422+1）[4（%-京。）2-4]=0,

即4=16[（4-%*2+2y/+1-*]=。①.

同理，由直線PB與橢圓C的方程聯(lián)立，＜）’一*=一70一看）

X2+4y2=4

消去y得：（1+\卜一8：10+，*0卜+4bo+：Xo）-4=0

即A?=16（4-x；）g-2x0%；+l-y；=。②

因?yàn)辄c(diǎn)P為圓M：/+丁=5上任意一點(diǎn)，

所以$+y=5,即y；=5-x；③.

將③代入①式，得（4一片袂2+2x（）y0k+片一4=0

將③代入②式，得&=16.卻4-父）-2%%%+（1-y；）燈=0

=-貪（4-片）+2xoyok+（石-4）1=0所以此時直線PB與橢圓C相切，

K

綜上所述，直線尸B與橢圓C相切.

10.(2022?四川?樂山市教育科學(xué)研究所二模(文))已知橢圓C1+與=l(a>6>0)的離心率為正，點(diǎn)

h2

,日)在橢圓C上.

⑴求橢圓c的方程；

(2)設(shè)夕(4,九)是橢圓C上第一象限的點(diǎn)，直線/過P且與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn).

①求直線/的方程(用與，y°表示)；

②設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)M,N,求△MON面積的最小值.

【答案】⑴++寸=1；(2)^r-+y0y=1；夜.

【分析】(I)根據(jù)橢圓離心率的概念和點(diǎn)在橢圓上列出關(guān)于小b、C的方程組，結(jié)合片=〃+C2解方程組即可；

(2)根據(jù)題意可得玉：+2婷-2=0,設(shè)直線/方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根的判別式等于0得出關(guān)于火的一元

二次方程，根據(jù)公式法解出3代入直線/方程即可；求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，根據(jù)2=x02+2y；和基本不等

式可得」夜,結(jié)合三角形面積公式化簡計算即可.

(1)由題意知，橢圓的離心率為乎，且過點(diǎn)(1,*),

C_\[1

則/=/+/,解得/=2,廿=1,

I2F

「蘇二1

2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+丁=1;

2.

(2)①因?yàn)镻(%,%)是橢圓在第一象限的點(diǎn)，

所以亨+姬=1，即X；+2%2-2=0(X°>0,%>0),

設(shè)直線/方程為

y-y0=k(x-x0)

則f,消去y,

—+y=1

整理得(2/+1)/+4封%-丘°)x+(2/一1)為2—45%=0,

貝ij△=[4左（為一云。）了一4（2/+1）[（2/一l）xj-4處，為]=0,

整理，得4%2&2+4/%%+%；=0,

即（2%4+X°）2=0,則2為A+X0=0,解得k=三，

所以直線/方程為y-%=-魯（x-x°）,即￥+%〉=1；

”o2

_12

②令x=0,得了=一,令y=0,得工=一,

%與

21

即M（一,0）,N（0,一）,由與2+2升一2=（）（工0>0,y0>0）,

xo%

得2=/2+2%2220/％,當(dāng)且僅當(dāng)天=&%即/=1、%=也時等號成立,

所以2邛,得太S

所以工…；；/=」一之夜，此時尸（1,

X。%

故當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,孝），AMON的面積最小，最小值為五.

題型二：直線與雙曲線的位置關(guān)系

【例1】（2022?全國?高二課時練習(xí)）己知直線/的方程為丫=履-1,雙曲線C的方程為》2-丁=1若直線/

與雙曲線C的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.（-V2,V2）B.[1,V2）C.[-夜，萬|D.（1,72]

【答案】D

【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及根的分布得出關(guān)于k的不等式組，求解即可.

【詳解】聯(lián)立｛；二:二；整理得（1—公卜2+2"-2=0,因?yàn)橹本€'=丘一1與雙曲線Y-y2=i的右支交于

不同的兩點(diǎn)，

’1-八0

A=4Z:2+8（l-jt2）>0

-2k，解得l<k<6,所以實(shí)數(shù)A,的取值范圍為。，&）.

所以，>0

1-k2

-2

>0

故選：D.

【例2】（2022?全國?高三專題練習(xí)）過P（O,2）且與雙曲線2無2—V=i有且只有一個公共點(diǎn)的直線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【分析】設(shè)出直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合方程解的情況進(jìn)行求解.

【詳解】當(dāng)斜率不存在時，過戶的直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)；

當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線為丫=履+2,聯(lián)立［I；；：：［，得（2-公）f—46-5=0①.

當(dāng)2—*=o,即人士友時，①式只有一個解；

當(dāng)2—公與。時，貝|］八=16〃+20（2—/）=0,解得&=±而：

綜上可知過P（0,2）且與雙曲線2f-y2=］有且只有一個公共點(diǎn)的直線有4條

故選：D.

【例3】（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校三模（理））已知雙曲線C|：￡-1=1及雙曲線C”

a-b~

/提=1（。＞0力＞0）,且C1的離心率為石，若直線y=妞僅＞0）與雙曲線G都無交點(diǎn)，則欠的值是

（）

A.2B.TC.75D.1

【答案】B

【分析】過原點(diǎn)的直線與雙曲線無交點(diǎn)，則考慮此直線與雙曲線漸近線的位置關(guān)系.

【詳解】：G的離心率為逐，?,?。=石"方=2",

...雙曲線G，的漸近線方程為y=±gx，雙曲線G的漸近線方程為了=±2x，

而直線y=H僅＞0）與雙曲線C-G都無交點(diǎn)，則os］.

故選：B.

【例4】（2022.遼寧.沈陽二中模擬預(yù)測多選題）已知點(diǎn)M（-&,0）,N（&,o）,若某直線上存在點(diǎn)P,使得

\PM\-\PN\=2,則稱該直線為“好直線”，下列直線是“好直線''的是（）

A.x+y=0B.x-y—3=0C.2x+y+3=0D.2x+y-3=0

【答案】BD

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得點(diǎn)P在以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，求出其軌跡方程，則問題轉(zhuǎn)化為

直線與雙曲線（右支）的交點(diǎn)情況；

【詳解】解：因?yàn)镸卜血,0),/V(72,O).|PM|-|/W|=2<|A^|,所以點(diǎn)尸在以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的

右支，

1L=2,c=V2，即a=1,c=>/2,

所以從=/—“2=1,

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2-/=i(x>l),雙曲線的漸近線為y=±^.

對于A,x+y=o即為雙曲線的一條漸近線，故與雙曲線沒有交點(diǎn)，故不是“好直線”；

對于B,聯(lián)立直線x-y—3=O與雙曲線V-y2=l得X=(X-3)2=1,

解得X=g則>=—,即所以直線x-y-3=0是“好直線”；

芯+毛=—4

{2x+y4-3=0

,,\消去y整理得3X2+12X+1O=O,A=122-4X3X10>0,但是《10

x2-y2=l

x}x2

故直線與雙曲線*2-/=1的左支有兩個交點(diǎn)，與右支沒有交點(diǎn)，故2x+y+3=0不是“好直線”；

%+勺=

時于D,消去)整理得3/_12》+10=0,A=(-12)2-4X3X10>0,且<10，

XjX2

故直線與雙曲線f-9=1的右支有兩個交點(diǎn)，故2x+y-3=0是“好直線”；

故選：BD.

【例5】(2022?全國?高二課時練習(xí))直線y=2x與雙曲線爐―無交點(diǎn)，則該雙曲線離心率的最

大值為.

【答案】石

2

【分析】寫出雙曲線的漸近線，根據(jù)直線'=點(diǎn)和雙曲線/-斗=1色>0)交點(diǎn)情況對應(yīng)的參數(shù)關(guān)系，求。

的范圍，進(jìn)而確定雙曲線離心率的范圍.

【詳解】由題設(shè)，雙曲線的漸近線為y=±法目/>0,

所以，對于直線、="，當(dāng)功時直線與雙曲線有交點(diǎn)，當(dāng)4或左2人時直線與雙曲線無交點(diǎn)，

2

故要使直線y=2x與雙曲線/-方=10>0)無交點(diǎn)，則萬v2,

而l<e=Jl+b2故雙曲線離心率的最大值為石.

故答案為：加

【例6】(2022?四川?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模(文))已知A(-2,0),8(2,0),若曲線

（；+刑:一=0（4>0]>0）上存在點(diǎn)產(chǎn)滿足附-閥=2,則:的取值范圍是.

【答案】（0,6）

【分析】曲線仁一￡]=0（">0力>。）上存在點(diǎn)尸滿足照一閥=2,等價于y=±'x與以4、B為

焦點(diǎn)的雙曲線右支相交，根據(jù)雙曲線漸近線性質(zhì)即可求解.

【詳解】若A（-2,0）,3（2,0）,且附-閥=2<|相=4,

則點(diǎn)P在以A、8為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，且2〃=2,c=2,

；.a=l,匕="^=5二雙曲線方程為/-匕=l（x>0）,

其漸近線方程為y=±Cr,

則曲線（>/；/=0（〃〉0,力〉0）上存在點(diǎn)尸滿足第一陷二2,

等價于y=±2%與雙曲線V-2_=1（X>o）相交，.?.。<2<6.

a4a

故答案為：（0,8）.

【題型專練】

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)多選題）已知雙曲線C:工-.=1的一條漸近線方程為4x-3y=o,過點(diǎn)（5,

t-1t

0）作直線/交該雙曲線于A和8兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.1=16或-9

B.該雙曲線的離心率為|

C.滿足|4叫=羊的直線/有且僅有一條

D.若A和8分別在雙曲線左、右兩支上，則直線/的斜率的取值范圍是（-14《4）

【答案】BD

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得一二=￡,從而可判斷A；求出雙曲線方程，從而可得離心率，即

r-79

可判斷B；分當(dāng)AB兩點(diǎn)都在雙曲線的右支上和4,8冉雙曲線的左右兩支上兩種情況討論，即可判斷C；求

出雙曲線的漸近線方程，從而可判斷D.

【詳解】解：因?yàn)殡p曲線C：￡-￡=l的一條漸近線方程為4x-3y=0,

t-1t

所以一匚=二解得f=16,故A錯誤；

Z-79

雙曲線方程為——=1?

916

故。=3,Z?=4,c=J9+16=5,

所以該雙曲線的離心率6=生，故B正確；

點(diǎn)（5,0）為雙曲線的右焦點(diǎn)，

當(dāng)x=5時，y=±與，

當(dāng)A3兩點(diǎn)都在雙曲線的卷支上時，|4卻之牙，

因?yàn)閨AB卜芳，所以這種情況的直線AB只有一條，且⑷?與工軸垂直,

當(dāng)A8再雙曲線的左右兩支上時，

可得陷2勿=6,

而132>6,可得這樣的直線有兩條，

綜上所述，滿足|他|=3的直線/有3條，故C錯誤；

雙曲線的漸近線方程為>=土;x,

要使A和B分別在雙曲線左、右兩支上，

則直線/的斜率的取值范圍是（-：］）,故D正確.

故選：BD.

2.（202Z全國?高二專題練習(xí)）若過點(diǎn)P（0,l）的直線/與雙曲線y2=l的右支相交于不同兩點(diǎn)，則直線

/斜率的取值范圍為（）

A.(bV2)B.[-V2,-1]C.[1.V2]D.(~y/2,-1)

【答案】D

【分析】由題意設(shè)直線/的方程，與雙曲線方程聯(lián)立消>得關(guān)于x的方程，根據(jù)條件得方程有兩個不同的正

根，結(jié)合韋達(dá)定理列不等式組，從而可求出&的取值范圍

【詳解】由題意可得直線/斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=H+i,

設(shè)交點(diǎn)yt),5(%2,%)，

聯(lián)立可得(1一公卜2—2米一2=0,

1-公會0

A=442+8(l-F)>。

由題意可得占+%=3>0

1-l-k2

解得：—y/2<k<—1>

故選：D.

3.(2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(理))直線/：y=-x-D與雙曲線?！?-丁=2沒有公共點(diǎn)，則斜

率%的取值范圍是()

A.(?,-四)U(0,+?))B.(-72,72)

C.(-00,-1)=(1,+00)D.(—1,1)

【答案】A

【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，分1-廿=0和1-二片。兩種情況討論，當(dāng)i_42xo時只需/<(),

解得即可；

【詳解】解：聯(lián)立直線y=Z(x-l)和雙曲線：f_y2=2,消去y得”嚴(yán)川+2&2X-&2_2=0,

當(dāng)1-公=0,即z=±1時，此時方程為2x-3=o,解得X=],此時直線與雙曲線有且只有一個交點(diǎn)；

當(dāng)1一公二0,此時A=4/+4(1-Jfc2)(尸+2)=4(2-公)<0,

解得及或k<-應(yīng)，所以左(血,+<?)時直線與雙曲線無交點(diǎn)；

故選：A

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))若雙曲線「■-￡=l(a>0,b>0)的一個頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)4的直線x-3y-3=0

與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為（）

A.2夜B.4&