數(shù)學同步練習：不等式的實際應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。4不等式的實際應用1．將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元,其銷售量就減少20個，為獲得最大利潤，售價應定為()A．95元B．100元C．105元D．110元2．設計用32m2的材料制造某種長方體車廂(無蓋），按交通規(guī)定廂寬為2m，則車廂的最大容積是()A．(38－3eq\r(73）)m3B．16m3C．4eq\r(2）m3D．14m33．某居民小區(qū)收取冬季供暖費,根據(jù)規(guī)定,住戶可以從以下兩種方案中任選其一：（1）按照使用面積繳納，每平方米4元；（2)按照建筑面積繳納，每平方米3元．李明家的使用面積是60平方米．如果他家選擇第(2)種方案繳納供暖費較少，那么他家的建筑面積最多不超過__________．4．一段長為lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,菜園的最大面積是__________m2.答案:1．A設每個漲價x元,則y＝(x＋10）（400－20x）＝－20x2＋200x＋4000，∴當x＝eq\f（200,40)＝5時，y取得最大值，即漲價5元，每個售價為95元時利潤最大．2．B設長為bm,高為am，由已知得2b＋2ab＋4a＝32.∴b＝eq\f(16－2a，a＋1)。∴V＝a·b·2＝2·eq\f(16a－2a2，a＋1）。設t＝a＋1，則V＝2(20－2t－eq\f(18,t））≤2(20－2eq\r（2t·\f（18，t）））＝16.3．80平方米根據(jù)使用面積應該繳納的費用為60×4＝240元,設建筑面積為x，則根據(jù)他所選擇的方案知3x－240≤0，所以x≤80,即建筑面積不超過80平方米．4。eq\f（l2,8）設墻的對邊為x，另一邊為eq\f（l－x,2）,∴面積S＝x·eq\f(l－x,2)≤eq\f(1，2)[eq\f（x＋（l－x),2)］2＝eq\f(l2,8），當且僅當x＝eq\f(l－x，2)，即x＝eq\f(l，3）時，面積最大．課堂鞏固1．若a、b、m∈R＋,a〈b,將ag食鹽加入到（b－a）g水中，所得溶液的鹽的質(zhì)量分數(shù)為P1,將（a＋m）g食鹽加入到（b－a）g水中,所得溶液的鹽的質(zhì)量分數(shù)為P2，則()A．P1〈P2B．P1＝P2C．P1>P2D．不確定2．某品牌彩電為了打開市場,促進銷售，準備對其特定型號彩電降價，有四種降價方案：方案（1）：先降價a％，再降價b％;方案（2）：先降價b%，再降價a%；方案(3）：先降價eq\f(a＋b，2)％，再降價eq\f（a＋b，2)％；方案(4）：一次性降價(a＋b)％。其中a〉0，b>0，a≠b，上述四種方案中，降價幅度最小的是()A．方案(1）B．方案(2）C．方案（3）D．方案(4）3．將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，則正方形的周長應為__________．4．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸,運費4萬元/次，一年總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝__________噸．5．某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛,出廠價為1。2萬元/輛，年銷售量為1000輛，本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次,適度增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x〈1),則出廠價相應的提高比例為0。75x,同時預計年銷售量增加的比例為0。6x，已知年利潤＝(出廠價－投入成本)×年銷售量．（1）寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；(2)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內(nèi)？6．如圖,某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y（單位：米）的矩形，上部是斜邊長為x的等腰直角三角形,要求框架圍成的總面積為8平方米．(1）求x,y的關系式，并求x的取值范圍；（2）問x，y分別為多少時用料最省?答案：1．AP1＝eq\f(a,a＋（b－a））＝eq\f（a,b)，P2＝eq\f(a＋m,（a＋m）＋(b－a)）＝eq\f(a＋m，b＋m），P1－P2＝eq\f(（a－b)m，b（b＋m)）。由0〈a<b,m〉0，∴a－b<0，P1－P2<0,即P1<P2。2．C設原來價格為1，四種方案降價后分別得新價：方案（1)：(1－a％)（1－b%），方案（2)：（1－b%)（1－a%），方案(3）：（1－eq\f（a＋b,2)%）2,方案（4）：1－（a＋b）%，很明顯(1－a％）(1－b%）＝（1－b%)（1－a%)<（eq\f(1－a％＋1－b％,2))2＝（1－eq\f(a＋b，2）%）2。又（1－eq\f（a＋b，2）%）2－[1－（a＋b)%]＝（eq\f（a＋b，2）%)2〉0，∴方案（3)的新價最高．故降價幅度最小的是方案(3）．3。eq\f(1，4(π＋4))設正方形的周長為x，則圓周長為1－x.設圓的半徑為r，則2πr＝1－x,r＝eq\f(1－x，2π）。所求面積之和為（eq\f(x,4）)2＋π（eq\f(1－x，2π）)2＝eq\f(1，16π)［（π＋4）x2－8x＋4］＝eq\f(π＋4,16π)（x－eq\f（4,π＋4))2＋eq\f(1,4(π＋4))，∴當x＝eq\f(4,π＋4)時，面積之和為eq\f（1,4(π＋4))最?。?．20因為每次都購買x噸，一年購貨400噸，所以購貨次數(shù)為eq\f（400，x）。總運費與存儲費用之和f(x)＝4x＋4×eq\f（400,x）＝4（x＋eq\f(400,x)）≥4·2eq\r(x·\f(400，x）)＝160(噸）．f（x)最小時,x＝eq\f(400,x)?x＝20.5．解：(1)由題意得y＝［1。2×（1＋0。75x)－1×(1＋x）］×1000×（1＋0。6x）（0<x<1），整理得y＝－60x2＋20x＋200（0<x<1）．(2)要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y－(1.2－1）×1000>0，，0<x<1，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－60x2＋20x〉0，,0<x〈1。))解不等式得0<x<eq\f（1，3).答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應滿足0<x<eq\f(1,3）.6．解：（1)由題意得x·y＋eq\f(1,2）x·eq\f（x，2）＝8(x〉0，y〉0)，∵y＝eq\f(8,x）－eq\f（x，4)〉0，∴0<x〈4eq\r（2）。(2）設框架用料長度為l,則l＝2x＋2y＋eq\r(2)x＝(eq\f（3,2）＋eq\r(2）)x＋eq\f(16，x)≥4eq\r(6＋4\r(2）)＝8＋4eq\r（2),當且僅當(eq\f(3，2）＋eq\r（2)）x＝eq\f(16，x），x＝8－4eq\r(2)，y＝2eq\r（2)，滿足0<x〈4eq\r(2)。答：當x＝8－4eq\r(2)米，y＝2eq\r（2)米時，用料最省．點評:在應用基本不等式解決實際問題時，要注意以下四點：（1）先理解題意，設變量時一般把要求最值的變量定為函數(shù)；（2）建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題;（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；(4)正確寫出答案．1．把長為12cm的鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值為（）A。eq\f(3\r（2)，2)cm2B．4cm2C．3eq\r（2)cm2D．2eq\r(3）cm21．答案：D設12cm長的鐵絲分成兩段為xcm和(12－x）cm，則面積之和S＝eq\f(1,2）×(eq\f(x，3））2×sin60°＋eq\f（1,2）（eq\f(12－x，3))2·sin60°＝eq\f(\r（3）,4)×eq\f（1，9)×［x2＋（12－x)2］≥eq\f(\r（3），36）×eq\f（［x＋（12－x)]2，2)＝2eq\r（3)，當且僅當x＝12－x，即x＝6時等號成立．2．張先生買了一部手機，欲使用中國移動“神州行”卡或加入中國聯(lián)通130網(wǎng),經(jīng)調(diào)查，收費標準如下表：網(wǎng)絡月租費本地話費長途話費甲聯(lián)通130網(wǎng)10元0。2元/分0.03元/6秒乙移動“神州行”無0.3元/分0.04元/6秒(注：本地話費以分鐘為單位計費，長途話費以6秒鐘為單位計費）若張先生每月?lián)艽虮镜仉娫挼臅r間是長途電話時間的5倍，且每月通話時間（分鐘）在區(qū)間（40，50)內(nèi)，則選擇較為省錢的網(wǎng)絡為（)A．甲B．乙C．甲或乙D．分情況而定2．答案:B設張先生每月?lián)艽蜷L途電話的時長為x分鐘，則有40〈5x＋x<50,即eq\f(20,3）<x〈eq\f（25，3)，使用甲和乙方式應付話費的差為10＋0。2×5x＋0.03×10x－(0.3×5x＋10x×0。04)＝10－0。4x〉0。∴應選擇乙方式．3。某公司一年急需購買某種貨物100噸，每次都購買x噸,運費為a萬元/次，一年的總存儲費為ax萬元，要使一年的總運費與總存儲費最小，則x＝__________.3．答案：10y＝eq\f(100，x)·a＋ax≥2eq\r(\f（100a，x）·ax）＝20a(萬元)，當且僅當eq\f（100a,x)＝ax，即x＝10時,y取最小值．4．若Rt△ABC的斜邊長為1，則它的內(nèi)切圓半徑r的最大值為__________．4。答案：eq\f（\r(2）－1，2)如圖，由題知a2＋b2＝1，由基本不等式2ab≤a2＋b2，∴(a＋b)2≤2(a2＋b2)．∴a＋b≤eq\r（2（a2＋b2）).根據(jù)切線的性質(zhì),如圖，∴r＝eq\f（a＋b－1,2）≤eq\f(\r(2（a2＋b2））－1,2）＝eq\f（\r（2）－1,2）.5．某家庭用14。4萬元購買了一輛汽車，使用中維修費用逐年上升,第n年維修費用約為0.2n萬元，每年其他費用為0。9萬元．報廢損失最小指的是購車費、維修費及其他費用之和的年平均值最小，則這輛車應在______年后報廢損失最?。?．答案：12年平均值eq\x\to(y）＝eq\f（14.4＋0。9n＋0。2（1＋2＋…＋n),n）＝eq\f(14。4,n)＋0.1n＋1≥3.4，當且僅當eq\f（14.4,n)＝0。1n，即n＝12時，年平均值最小，所以12年后報廢損失最?。?．商店經(jīng)銷某商品，年銷售量為D件,每件商品庫存費用為I元，每批進貨為Q件，每次進貨所需的費用為S元．現(xiàn)假定商店在賣完該貨物時立即進貨，使庫存量為平均eq\f(Q，2）件，問每批進貨量Q為多大時，整個費用最?。?．答案:解：設整個費用為y元,則y含有兩部分，一部分是庫存費用eq\f（Q,2）·I，另一部分是進貨費用eq\f(D,Q)·S，因此y＝eq\f（Q,2）·I＋eq\f（D，Q）·S，其中D、I、S均為定值,Q為變量．∵D、I、S、Q〉0，∴y＝eq\f(Q,2）·I＋eq\f(D,Q）·S≥2eq\r（\f（IQ,2)·\f(DS,Q））＝eq\r(2DIS).當且僅當eq\f（IQ，2）＝eq\f（DS,Q)，即Q＝eq\r(\f（2DS,I))時，整個費用y最?。?．建造一個容積為8m3、深2m的無蓋長方體水池，如果池底的造價為每平方米120元，池壁的造價為每平方米80元,求這個水池的最低造價．7．答案：解:設水池的造價為y元,池底的長為xm，則寬為eq\f（4，x)m，根據(jù)題意，有y＝4×120＋2(2x＋eq\f（8,x））·80＝480＋320(x＋eq\f(4,x））≥480＋320·2eq\r(x·\f（4，x））＝1760，∴當x＝eq\f(4，x），即x＝2時，ymin＝1760（元),即當且僅當池底的長為2m時,這個水池的造價最低，最低造價為1760元．8．有一批影碟機(VCD)原銷售價為800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售．甲商場用如下的方法促銷:買一臺單價為780元，買兩臺每臺單價為760元,依次類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元,但每臺最低不低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售．某單位購買一批此類影碟機，問去哪家商場購買花費較少？8．答案：解：設該單位需購買x（x∈N＋）臺影碟機，甲、乙兩商場的購貨差價為y，則因為去甲商場購買共花費(800－20x）·x元，據(jù)題意800－20x≥440，∴1≤x≤18.去乙商場購買共花費600x，∴y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（(800－20x）x－600x，，－160x，））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤18，,x〉18))＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(200x－20x2，，－160