七章定積分應(yīng)用物理

第三節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定積分在物理學上的應(yīng)用

第六章一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點r

時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束位正電荷沿直線從距離點電荷

a

處移動到b處(a<b),在一個帶+q電荷所產(chǎn)生的電場作用下,例2.體,求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a

處移動到點b

處(如圖),作的功.建立坐標系如圖.由波義耳—馬略特定律知壓強

p

與體積V

成反比,即功元素為故作用在活塞上的所求功為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束力為在底面積為S

的圓柱形容器中盛有一定量的氣例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為

深為h

處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束平板一側(cè)所受的壓力為??小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.解:

建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為說明:當桶內(nèi)充滿液體時,小窄條上的壓強為側(cè)壓力元素故端面所受側(cè)壓力為奇函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體對質(zhì)點的引力,則需用積分解決.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.設(shè)有一長度為l,線密度為

的均勻細直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點

M,該棒對質(zhì)點的引力.解:

建立坐標系如圖.細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為故垂直分力元素為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在試計算利用對稱性棒對質(zhì)點引力的水平分力機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為說明:2)

若考慮質(zhì)點克服引力沿y

軸從a

處1)

當細棒很長時,可視

l

為無窮大,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒.移到b

(a<b)處時克服引力作的功,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則有引力大小為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意正負號3)當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量

Q,并計算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功,側(cè)壓力,引力等.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束條、段、環(huán)、帶、(99考研)思考與練習提示:

作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束抓起污x

提升dx

所作的功為

米重50N,提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重20