2025屆河南省部分重點中學高三上學期開學摸底測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省部分重點中學2025屆高三上學期開學摸底測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，則，所以.故選：D.3.已知向量.若，則（）A.-1 B.1 C.2 D.0〖答案〗A〖解析〗由，則，因為，所以，即，解得.故選：A.4.已知，且，則（）A.0 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，即，因為，則，所以.故選：B.5.將4個不同的小球放入3個不同的盒子中，且每個盒子最多只能裝3個球，則不同的放法有（）A.60種 B.64種 C.78種 D.81種〖答案〗C〖解析〗不考慮每個盒子最多只能裝3個球，有種放法.若將4個球放入同一個盒子中，有3種放法.故不同的放法有種.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，，故故選：A.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖可知，則，解得.因為，所以.因為的圖象經(jīng)過點，所以，所以，解得因為，所以.因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得.故.因為，所以..故選：D.8.已知是雙曲線的左焦點，過點的直線與交于兩點（點在的同一支上），且，則（）A.6 B.8 C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得.根據(jù)對稱性，不妨設過點的直線為，聯(lián)立可得.設，則.①由，則，又所以.②由①②可得，所以，解得或（舍），，所以.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量的樣本均值，樣本方差.已知原品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，假設新品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，則（）（若隨機變量服從正態(tài)分布，則）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗依題可知，，故C正確，D錯誤.因為，所以，A正確.因為，所以0.8，B正確.故選：ABC.10.已知函數(shù)的定義域為，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.〖答案〗ABD〖解析〗令，得，A正確.令，得，所以.令，得，所以，B正確.令，得，所以是奇函數(shù)，C錯誤.令，得，所以D正確.故選：ABD.11.如圖，球被一個距離球心的平面截成了兩個部分，這兩個部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高，記兩個球缺的球冠面積分別為，兩個球缺的體積分別為，則下列結論正確的是（）A.若，則兩個球缺的底面面積均為B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，設這兩個球缺的底面圓半徑為，則，因為，，解得，該圓的面積為A錯誤.對于B，設兩個球缺的高分別為，則.由，得，則，所以，解得.，同理得，所以B正確.對于C，.設，由，得，則，C正確.對于D，.由，得.設函數(shù)，則在上恒成立，即在上單調遞增，所以，即D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.已知等比數(shù)列的前項乘積為，若，則__________.〖答案〗1〖解析〗因為，即，顯然，所以，則，故.13.已知為橢圓的右焦點，為坐標原點，為上一點，若為等邊三角形，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗取橢圓的左焦點，連結，由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是．14.已知函數(shù)有4個不同的零點，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可得方程有4個不同的根，方程的2個根為，則方程有2個不同的根，且，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.當直線與函數(shù)的圖象相切時，設切點為，因為，所以解得.要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，只需直線的斜率大于，故的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.的內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊上一點，且，求的面積.解：（1）因為，所以.因為，所以，解得.（2）.由正弦定理，解得.由余弦定理，得，解得（舍去）.在中，，所以.16.如圖，在三棱錐中，為的中點，平面平面是等腰直角三角形，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因為是等腰直角三角形，為中點，所以，平面，又因為平面平面，平面平面，所以平面因為平面，所以，又為的中點，所以是等腰三角形，故.（2）解：在平面上，作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，則為等邊三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以與全等，故，即，以為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則..設平面的法向量為，則即取，可得.設平面的法向量為，則即取，可得.設二面角的大小為，則.故二面角的正弦值為.17.在拋物線上有一系列點，以點為圓心的圓與軸都相切，且圓與圓彼此外切.已知，點到的焦點的距離為.（1）求；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設，求數(shù)列的前項和.解：（1），設拋物線焦點為，根據(jù)題意可知，解得.（2）因為圓與圓彼此外切，所以則.因為，所以，即.因為，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即.故.（3），兩式相減得.令，則.兩式相減得，所以.所以.，即.18.設函數(shù)的定義域為，若存在正實數(shù)，使得對于任意，有，且，則稱是上的“距增函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，證明：對于任意正實數(shù)是上的“距增函數(shù)”；（2）若是上的“距增函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知是定義在上的“2距增函數(shù)”，求的取值范圍.（1）證明：因為，所以，所以在上單調遞增.對于任意正實數(shù)，所以，所以是上的“距增函數(shù)”.（2）解：因為是上的“距增函數(shù)”，所以，即，化簡得，所以無解，即，解得（舍去）.所以的取值范圍為.（3）解：因為是定義在上的“2距增函數(shù)”，所以.①若，則.因為在上單調遞增，所以恒成立.②若，則.因為，所以.令，則，即.令函數(shù)，則.當時，；當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以.③若，則.由（2）可得，要使得是定義在上的“2距增函數(shù)”，則必須滿足.當時，.綜上，的取值范圍為.19.甲?乙兩人各有六張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字，乙的卡片上分別標有數(shù)字，兩人進行六輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.（1）求甲的總得分為0的概率；（2）求甲的總得分為1的概率；（3）若為隨機變量，則.記甲的總得分為，求.解：（1）由于對稱性，不妨固定乙六輪選卡的數(shù)字依次為，甲六輪選卡的數(shù)字有種排序方法.若甲的總得分為0，則甲六輪選卡的數(shù)字依次為，所以甲的總得分為0的概率為.（2）若甲的總得分為1，分以下情況討論.①若甲在第一輪得1分，則第一輪選卡的數(shù)字為3或5.若第一輪選卡的數(shù)字為3，則第二輪選卡的數(shù)字只能為1，第五?六輪選卡的數(shù)字只能為5，第三?四輪選卡的數(shù)字為3或1，有2種情況.若第一輪選卡的數(shù)字為5，則第二輪選卡的數(shù)字只能為1，第五?六輪選卡的數(shù)字有一個是5，剩下數(shù)字隨機為其他輪的選卡，有種情況.②若甲在第二輪得1分，類比在第一輪得1分的情況，則有8種情況.③若甲在第三輪得1分，則第一?二輪選卡的數(shù)字只能為1，第四輪選卡的數(shù)字只能為3，第五?六輪選卡的數(shù)字為3或5，有2種情況.④若甲在第四輪得1分，類比在第三輪得1分的情況，則有2種情況.第五?六輪甲不可能得分，所以甲的總得分為1的情況共種.甲的總得分為1的概率為.（3）設甲在六輪游戲中的得分分別為.對于任意一輪，甲?乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等.甲?乙兩人各有六張卡片，每人各出一張卡片，有種組合，其中使得甲獲勝的出牌組合有種，所以甲在每輪獲勝的概率...河南省部分重點中學2025屆高三上學期開學摸底測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，則，所以.故選：D.3.已知向量.若，則（）A.-1 B.1 C.2 D.0〖答案〗A〖解析〗由，則，因為，所以，即，解得.故選：A.4.已知，且，則（）A.0 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，即，因為，則，所以.故選：B.5.將4個不同的小球放入3個不同的盒子中，且每個盒子最多只能裝3個球，則不同的放法有（）A.60種 B.64種 C.78種 D.81種〖答案〗C〖解析〗不考慮每個盒子最多只能裝3個球，有種放法.若將4個球放入同一個盒子中，有3種放法.故不同的放法有種.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，，故故選：A.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由圖可知，則，解得.因為，所以.因為的圖象經(jīng)過點，所以，所以，解得因為，所以.因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得.故.因為，所以..故選：D.8.已知是雙曲線的左焦點，過點的直線與交于兩點（點在的同一支上），且，則（）A.6 B.8 C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得.根據(jù)對稱性，不妨設過點的直線為，聯(lián)立可得.設，則.①由，則，又所以.②由①②可得，所以，解得或（舍），，所以.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量的樣本均值，樣本方差.已知原品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，假設新品種玉米的畝產(chǎn)量服從正態(tài)分布，則（）（若隨機變量服從正態(tài)分布，則）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗依題可知，，故C正確，D錯誤.因為，所以，A正確.因為，所以0.8，B正確.故選：ABC.10.已知函數(shù)的定義域為，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.〖答案〗ABD〖解析〗令，得，A正確.令，得，所以.令，得，所以，B正確.令，得，所以是奇函數(shù)，C錯誤.令，得，所以D正確.故選：ABD.11.如圖，球被一個距離球心的平面截成了兩個部分，這兩個部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高，記兩個球缺的球冠面積分別為，兩個球缺的體積分別為，則下列結論正確的是（）A.若，則兩個球缺的底面面積均為B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，設這兩個球缺的底面圓半徑為，則，因為，，解得，該圓的面積為A錯誤.對于B，設兩個球缺的高分別為，則.由，得，則，所以，解得.，同理得，所以B正確.對于C，.設，由，得，則，C正確.對于D，.由，得.設函數(shù)，則在上恒成立，即在上單調遞增，所以，即D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.已知等比數(shù)列的前項乘積為，若，則__________.〖答案〗1〖解析〗因為，即，顯然，所以，則，故.13.已知為橢圓的右焦點，為坐標原點，為上一點，若為等邊三角形，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗取橢圓的左焦點，連結，由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是．14.已知函數(shù)有4個不同的零點，則的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可得方程有4個不同的根，方程的2個根為，則方程有2個不同的根，且，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.當直線與函數(shù)的圖象相切時，設切點為，因為，所以解得.要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，只需直線的斜率大于，故的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.的內角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊上一點，且，求的面積.解：（1）因為，所以.因為，所以，解得.（2）.由正弦定理，解得.由余弦定理，得，解得（舍去）.在中，，所以.16.如圖，在三棱錐中，為的中點，平面平面是等腰直角三角形，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因為是等腰直角三角形，為中點，所以，平面，又因為平面平面，平面平面，所以平面因為平面，所以，又為的中點，所以是等腰三角形，故.（2）解：在平面上，作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，則為等邊三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以與全等，故，即，以為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則..設平面的法向量為，則即取，可得.設平面的法向量為，則即取，可得.設二面角的大小為，則.故二面角的正弦值為.17.在拋物線上有一系列點，以點為圓心的圓與軸都相切，且圓與圓彼此外切.已知，點到的焦點的距離為.（1）求；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設，求數(shù)列的前項和.解：（1），設拋物線焦點為，根據(jù)題意可知，解得.（2）因為圓與圓彼此外切，所以則.因為，所以，即.因為，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即.故.（3），兩式相減得.令，則.兩式相減得，所以.所以.，即.18.設函數(shù)的定義域為，若存在正實數(shù)，使得對于任意，有，且，則稱是上的“距增函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，證明：對于任意正實數(shù)是上的“距增函數(shù)”；（2）若是上的“距增函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知是定義在上的“2距增函數(shù)”，求的取值范圍.（1）證明：因為，所以，所以在上單調遞增.對于任意正實數(shù)，所以，所以是上的“距增函數(shù)”.（2）解：因為是上的“距增函數(shù)”，所以，即，化簡得，所以無解，即，解得（舍去）.所以的取值范圍為.（3）解：因為是定義在上的“2距增函數(shù)”，所以.①若，則.因為在上單調遞增，所以恒成立.②若，則.因為，所以.令，則，即.令函數(shù)，則.當時，；當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以.③若，則.由（2）可得，要使得是定義在上的“2距增函數(shù)”，則必須滿足.當時，.綜上，的取值范圍為.1