專題02幾何思想之平行四邊形綜合-2021-2022學年八年級數(shù)學下冊專題訓練

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學第二學期研發(fā)，供中等及以上學生使用。思路設(shè)計：重在培優(yōu)訓練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題02幾何思想之平行四邊形綜合（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．下列命題中，假命題是（）A．順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形B．順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形C．順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形D．順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形【標準答案】D【思路指引】根據(jù)平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定、中位線定理、中點四邊形的定義進行判定即可．【詳解詳析】觀察圖形：分別為的中點，根據(jù)中位線定理：A：順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形,正確；B：順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形，正確；C：順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形，正確；D：順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是平行四邊形，錯誤．故答案選：D．【名師指路】本題考查中位線定理應(yīng)用、平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定，掌握四邊形的判定是解題關(guān)鍵．2．（2021·上海寶山·三模）下列命題中正確的是（）A．對角線相等的梯形是等腰梯形B．有兩個角相等的梯形是等腰梯形C．一組對邊平行的四邊形一定是梯形D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是等腰梯形【標準答案】A【思路指引】根據(jù)等腰梯形的判定定理與梯形定義對各個選項逐一分析即可．【詳解詳析】解：A、對角線相等的梯形是等腰梯形，∵四邊形ABCD為梯形，∴DC∥AB，過C作CE∥DB交AB延長線于E，∴四邊形BECD為平行四邊形∴∠DBA=∠E，BD=CE，∵AC=BD，∴AC=BD=CE，∴∠CAB=∠E=∠DBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴AD=BC，四邊形ABCD為等腰梯形，故本選項正確；B、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和判定可判斷：直角梯形中有兩個角相等為90度，但不是等腰梯形，故本選項錯誤；C、一組對邊平行的四邊形一定是梯形，錯誤，因為這組對邊相等，那么就有可能是平行四邊形，當這組對邊不相等時是梯形，故本選項錯誤；D、一組對邊平行，另一組對邊相等則有兩種情況，即平行四邊形或等腰梯形，所以不能說一定是等腰梯形．故本選項錯誤；故選：A．【名師指路】本題考查等腰梯形判定與梯形的識別，掌握等腰梯形判定定理與梯形的識別方法是解題關(guān)鍵．3．（2021·上海奉賢·八年級期中）□ABCD中，E、F是對角線BD上不同的兩點，下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF【標準答案】B【詳解詳析】【思路指引】根據(jù)平行線的判定方法結(jié)合已知條件逐項進行分析即可得.【詳解詳析】A、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意；B、如圖所示，AE=CF，不能得到四邊形AECF是平行四邊形，故符合題意；C、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AFCE，∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意；D、如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE//CF，∴AECF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故不符合題意，故選B.【名師指路】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.4．下列四個命題中，真命題是()A．一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形B．一組對角相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形C．一組鄰邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形D．一組對邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形【標準答案】A【思路指引】根據(jù)平行四邊形的判定進行判斷即可．【詳解詳析】A．一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形，是真命題；B．一組對角相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形，原命題是假命題；C．一組鄰邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形，原命題是假命題；D．一組對邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形，原命題是假命題．故選：A．【名師指路】本題考查了命題與定理和平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的幾個判定定理，難度不大．5．如圖，平行四邊形ABCD的周長為20cm，AC與BD相交于點O，OE⊥AC交AD于E，則△CDE的周長為（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【標準答案】C【詳解詳析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，∵?ABCD的周長為20cm，∴AD+DC=10cm，又∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周長=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm，故選C.【名師指路】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形周長的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，運用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE是解決問題的關(guān)鍵.6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯(lián)結(jié)EF、CF，那么下列結(jié)論中一定成立的個數(shù)是()①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=3∠AEF;A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】C【詳解詳析】解：①∵F是AD的中點，∴AF=FD．∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此選項正確；②延長EF，交CD延長線于M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．∵F為AD中點，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．∵FM=EF，∴FC=EF，故②正確；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF錯誤；④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故此選項正確．故選C．點睛：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△AEF≌△DME是解題的關(guān)鍵．7．（2021·上海市民辦華育中學八年級期中）如圖,平行四邊形ABCD中,P是形內(nèi)任意一點,△ABP,△BCP,△CDP,△ADP的面積分別為S1，S2，S3，S4，則一定成立的是（）A．S1+S2＞S3+S4 B．S1+S2=S3+S4 C．S1+S2＜S3+S4 D．S1+S3=S2+S4【標準答案】D【思路指引】由平行四邊形的性質(zhì)得出S1+S3=平行四邊形ABCD的面積，S2+S4=平行四邊形ABCD的面積，即可得出結(jié)論．【詳解詳析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，∴S1+S3=平行四邊形ABCD的面積，S2+S4=平行四邊形ABCD的面積，∴S1+S3=S2+S4，故選D．【名師指路】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的面積問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．如果平行四邊形兩條對角線的長度分別為，那么邊的長度可能是（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分確定對角線的一半的長，然后利用三角形的三邊關(guān)系確定邊長的取值范圍，從該范圍內(nèi)找到一個合適的長度即可．【詳解詳析】設(shè)平行四邊形ABCD的對角線交于O點，∴OA=OC=4，OB=OD=6，∴64＜BC＜6+4，∴2＜BC＜10，∴6cm符合，故選B．【名師指路】考查了三角形的三邊關(guān)系及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定對角線的一半并根據(jù)三邊關(guān)系確定邊長的取值范圍，難度不大．9．如圖，點D是△ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為（）A． B． C． D．【標準答案】D【詳解詳析】過點P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，PE．∵APBE，∴四邊形APEB是平行四邊形．∴PEAB．，∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴EFBD．∴EF∥AB．∴P，E，F(xiàn)共線．設(shè)BD=a，∵，∴PE=AB=4a．∴PF=PE﹣EF=3a．∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC．∵PF∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形．∴BH=PF=3a．∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4．故選D．10．（2019·上海市張江集團中學八年級月考）如圖，在中，，依次是上的五個點，并且，在三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）之中，正確的個數(shù)是（）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)可得是的角平分線，是的角平分線，結(jié)論（2）正確．再利用結(jié)論（2）可得，即可判斷結(jié)論（1）（3）錯誤，【詳解詳析】解：設(shè)，則，，，，，在中，，，∴，，同理可得：，，∴，，故（2）正確；∵，，∴，即，∴所以與不垂直，故（1）不正確；∵，，∴，即，∴故（3）不正確；故選：．【名師指路】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，證明是的角平分線，是的角平分線是解題關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，B(5，－5)，C(7，0)，以O(shè)C，CB為邊作平行四邊形OABC，則經(jīng)過點A的反比例函數(shù)的解析式為__________．

【標準答案】【思路指引】設(shè)A坐標為（x，y），根據(jù)四邊形OABC為平行四邊形，利用平移性質(zhì)確定出A的坐標，利用待定系數(shù)法確定出解析式即可．【詳解詳析】解：設(shè)A坐標為（x，y），

∵B（5，5），C（7，0），以O(shè)C，CB為邊作平行四邊形OABC，

∴x+7=0+5，y+0=05，

解得：x=2，y=5，即A（2，5），

設(shè)過點A的反比例解析式為y=，

把A（2，5）代入得：k=10，

則過點A的反比例函數(shù)解析式為y=，

故答案為：y=．【名師指路】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．12．（2021·上海寶山·八年級期末）如圖，將平行四邊形紙片沿一條直線折疊，使點A與點C重合，點D落在點G處，折痕為．已知，那么的面積為_________．【標準答案】【思路指引】過點E作EH⊥BC，垂足為H，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明△EBC≌△FGC，得到的面積等于的面積，求出EH，即可計算結(jié)果．【詳解詳析】解：過點E作EH⊥BC，垂足為H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠BCD，∠D=∠B，AD=BC，由折疊可得，∠A=∠ECG，∠B=∠G，AD=CG，∴∠BCD=∠ECG，BC=CG，∴∠BCD∠ECF=∠ECG∠ECF，∴∠ECB=∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA），∴的面積等于的面積，∵∠B=60°，∴∠BEH=30°，∴BH=BE=1，∴EH==，又BC=4，∴S△FCG=S△BCE==，故答案為：．【名師指路】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)性質(zhì)證明三角形全等．13．（2021·上海楊浦·八年級期中）在?ABCD中，AB＝5，BC＝7，對角線AC和BD相交于點O，如果將點A繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A恰好落在平行四邊形ABCD的邊AD上，那么AC的長是__________________．【標準答案】或【思路指引】如圖，連接CA′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AOA′是等腰直角三角形，△AA′C是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可求AA′，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解詳析】解：如圖，連接CA′，∵將點A繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A恰好落在平行四邊形ABCD的邊AD上，∴△AOA′是等腰直角三角形，∴△AA′C是等腰直角三角形，∠AA′C=90°，設(shè),在中，,解得：或∴在中AC＝或．故答案為：或．【名師指路】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（2021·上海市蒙山中學八年級期中）如圖，在中，，，點在邊上，以、為邊作平行四邊形，則的度數(shù)為____________．【標準答案】70°【思路指引】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求∠C，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求∠E．【詳解詳析】解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，

∴∠C=（180°40°）÷2=70°，

∵四邊形BCDE是平行四邊形，

∴∠E=70°．

故答案為：70°．【名師指路】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出∠C的度數(shù)．15．（2021·上海市進才中學北校八年級期中）如圖，中，，于，交于，若，則的大小是________．

【標準答案】【思路指引】由，可做輔助線，取的中點，連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得是，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得是等腰三角形，進而可得，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可求得【詳解詳析】取的中點，連接，四邊形是平行四邊形，即故答案為：【名師指路】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．16．如圖，平行四邊形的對角線、交于點，過點的線段與、分別交于點、，如果，，，那么四邊形的周長為__．【標準答案】12【思路指引】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE和∠COF是對頂角相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OF=OE=，CF=AE，于是可得到結(jié)論．【詳解詳析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE=∠COF，

∴△OAE≌△OCF（AAS），

∴OF=OE=，CF=AE，

∴四邊形EFCD的周長=ED+CD+CF+OF+OE

=ED+AE+CD+OE+OF

=AD+CD+OE+OF

=4+5++

=12．

故答案為12．【名師指路】本題利用了平行四邊形的性質(zhì)，由已知條件先證出△OAE≌△OCF，再由全等三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化邊的關(guān)系后求解．17．如圖，平行四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標分別是A（0，0）、B（3，0）、D（1，），則頂點C的坐標是_____．【標準答案】C（5，）【思路指引】直接利用平行四邊形的性質(zhì)得出AB的長，進而得出頂點C的坐標．【詳解詳析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，A（0，0）、B（3，0）、∴DC＝AB=4，∵D（1，），∴C（5，）.【名師指路】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，正確得出AB的長是解題關(guān)鍵．18．（2021·上海靜安·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，點P在BC邊上，點B關(guān)于直線AP的對稱點為Q，CQ的延長線交邊AD于點R，如果AR＝CP，那么線段AP的長為____．【標準答案】【思路指引】如圖，連接交于．首先證明四邊形是平行四邊形，再證明，可得結(jié)論．【詳解詳析】解：如圖，連接交于．，，四邊形是平行四邊形，，，關(guān)于對稱，，BP=PQ，AP⊥BQ，∴∠PBQ=∠PQB，BQ⊥CR，∴∠PQB+∠PQC=∠PBQ+∠PQC=90°，∠PBQ+∠BCQ=90°，∴∠PQC=∠PCQ，，在中，，，，．故答案為：．【名師指路】本題考查直角梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明，由，推出．19．（2021·上海·上外附中八年級期末）四邊形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，AC與BD相交于點O，∠COB＝120°，AD＝7，BD＝10，則四邊形ABCD的面積為___．【標準答案】【思路指引】作對角線的輔助線，通過平行四邊形ACED證明△ABD≌△CDE，從而將梯形的面積轉(zhuǎn)化為直角三角形的面積．【詳解詳析】解：過點作交的延長線于點，于，，，四邊形為平行四邊形，，是等腰三角形，，，，，，．在和中，，，四邊形的面積等于的面積，即．故答案為：．【名師指路】此題主要是平移對角線，構(gòu)造一個平行四邊形和等腰三角形，把梯形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積是解題關(guān)鍵．20．（2021·上海閔行·八年級期末）如圖，等腰梯形中，，，對角線，如果高，那么等腰梯形的中位線的長為_______．【標準答案】8【思路指引】過點D作DF∥AC，交BC延長線于F，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)證得AC=BD，AD∥BC，由此得到四邊形ACFD是平行四邊形，再推出△BDF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出，由此得到答案．【詳解詳析】解：過點D作DF∥AC，交BC延長線于F，∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，AD∥BC，∵DF∥AC，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∴AC=DF，AD=CF，∴BD=DF，∵，∴DF⊥BD，∴△BDF是等腰直角三角形，∵DE⊥BF，∴∴，即梯形的中位線是8cm，故答案為：8．【名師指路】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，正確引出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（2021·上海崇明·八年級期末）如圖，在中，，點D是斜邊AC上的一點，，點F是AB的中點，過點C作交FD的延長線于點E．（1）求證：四邊形CBDE是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)BE、AE，如果，求證：．【標準答案】（1）見解析；（2）見解析【思路指引】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，進而得出，由平行四邊形的判定則可得出結(jié)論；（2）由三角形中位線定理得出，得出，由角平分線的定義證得，則可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：證明：（1），是等腰三角形，點是的中點，，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2），點是的中點，垂直平分，，四邊形是平行四邊形，，，平分，，，，，．【名師指路】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2021·上海奉賢·八年級期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝4，AB＝7．（1）如圖1，聯(lián)結(jié)BD，當∠A＝60°時，求BD的長；（2）如圖2，當∠D＝2∠B時，求CD的長．【標準答案】（1）；（2）3【思路指引】（1）過A作DE⊥AB，垂足為E，利用直角三角形的性質(zhì)得到AE，利用勾股定理求出DE2，再次利用勾股定理求出BD即可；（2）過點D作DF∥BC，交AB于F，證明四邊形BCDF是平行四邊形，得到BF=CD，根據(jù)角的關(guān)系證明AD=AF=4，從而可得結(jié)果．【詳解詳析】解：（1）過D作DE⊥AB，垂足為E，∵DE⊥AB，∠A=60°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD=2，∴DE2=AD2AE2=12，BE=ABAE=5，∴BD2=DE2+BE2=37，∴BD=；（2）過點D作DF∥BC，交AB于F，∵AB∥CD，∴BF∥CD，∠2=∠3，又DF∥BC，∴四邊形BCDF是平行四邊形，∴∠2=∠B，CD=BF，∵∠ADC=2∠B=2∠2=∠1+∠2，∴∠1=∠2=∠3=∠B，∵∠1=∠3，∴AF=AD=4，∴BF=ABAF=3，∴CD=BF=3．【名師指路】本題考查了梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握圖形的性質(zhì)定理，熟練掌握線段和角的關(guān)系轉(zhuǎn)化．23．（2021·上?！ど贤飧街邪四昙壠谀┤鐖D，梯形ABCD中，AD//BC，E是CD的中點，EF//BA，交BC于點F，求證：BF＝（AD+BC）（括號里只需寫本學期所學的定理）．【標準答案】見解析【思路指引】在BF上取FG=FC，連接DG，根據(jù)中位線定理得到EFDG，且EF=DG，再證明四邊形ABGD是平行四邊形，得到AD=BG，根據(jù)線段的關(guān)系可得結(jié)論．【詳解詳析】解：證明：在BF上取FG=FC，連接DG，∵E為CD中點，F(xiàn)G=FC，（已知）∴EF為△CDG的中位線，（中位線的定義）∴EFDG，且EF=DG，（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）又∵EFAB，（已知）∴ABDG，（平行于同一條直線的兩直線平行）又∵ADBD，（已知）∴四邊形ABGD是平行四邊形，（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）∴AD=BG，（平行四邊形對邊相等）∴AD+BC=BG+BG+FG+FC=2BF，（等量代換）∴BF=（AD+BC）．（等式的性質(zhì)）【名師指路】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，梯形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（2021·上海浦東新·八年級期末）如圖，已知四邊形是平行四邊形，將邊延長至點，使，聯(lián)結(jié)、，與交于點．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求證：四邊形是矩形．【標準答案】（1）見解析；（2）見解析．【思路指引】（1）先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形可得AB=CD，即BE//CD,再證即可證明；（2）先證明，再結(jié)合四邊形BECD是平行四邊形即可證明．【詳解詳析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，，即BE//CD．∴四邊形BECD是平行四邊形．（2）．，，，，∵四邊形BECD是平行四邊形∴四邊形是矩形．【名師指路】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定，靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)定理和判定定理是解答本題的關(guān)鍵．25．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P是線段BC上任意一點，以點P為圓心PB為半徑的圓與線段AB相交于點Q（點Q與點A、B不重合），∠CPQ的角平分線與AC相交于點D．（1）如果DQ=PB，求證：四邊形BQDP是平行四邊形；（2）設(shè)PB=x，△DPQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）如果△ADQ是以DQ為腰的等腰三角形，求PB的長．【標準答案】（1）見解析；（2）；（3）4或或【思路指引】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠CPD=∠QPD，由DQ=PB=PQ得到∠QDP=∠QPD推出DQ∥BP，再根據(jù)DQ=BP推出四邊形BQDP是平行四邊形；（2）先根據(jù)勾股定理求出AB=10，過點P作PH⊥AB于H，證明△BHP∽△BCA，求出BH=，HP=，根據(jù)同位角相等證明PD∥AB得到CD=，過點Q作QE⊥AC于E，利用三角函數(shù)求出QE=，再根據(jù)即可求出函數(shù)解析式，根據(jù)圖形中各邊都大于0得到不等式組求出x的取值范圍；（3）設(shè)PB=a，過點P作PH⊥AB，由（2）可知BQ=，則AQ=10，分三種情況：①當AD=DQ時，②當AQ=DQ時，③當AD=AQ=10時，分別求出a即可.【詳解詳析】（1）∵∠CPQ的角平分線與AC相交于點D，∴∠CPD=∠QPD，∵DQ=PB=PQ，∴∠QDP=∠QPD，∴∠QDP=∠CPD，∴DQ∥BP，∵DQ=BP，∴四邊形BQDP是平行四邊形；（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，過點P作PH⊥AB于H，∴∠BHP=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BHP∽△BCA，∴，∴，∴BH=，HP=，∴BQ=2BH=，∵PB=PQ，∴∠B=∠BQP，∵∠CPQ=2∠CPD=∠B+∠BQP，∴∠CPQ=∠B，∴PD∥AB，∴，∴，∴CD=，∴，過點Q作QE⊥AC于E，∵AQ=10，∴QE=，∴==∵，解得，∴；（3）設(shè)PB=a，過點P作PH⊥AB，由（2）可知BQ=，∴AQ=10，①當AD=DQ時，如圖，過點D作DF⊥AB于F，則AF=，∴，∴CD=，∵PD∥AB，∴,∴，解得a=4，②當AQ=DQ時，過點Q作QM⊥AC于M，∴AM===，∴AD=2AM=，∴CD=6AD=,∵PD∥AB，∴,∴,解得a=；③當AD=AQ=10時，則CD=6AD=4，∵PD∥AB，∴,∴，解得a=.【名師指路】此題考查角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，是一道較難的綜合題，解題中注意分類討論的解題方法的運用.26．如圖，以△ABC的各邊為邊長，在邊BC的同側(cè)分別作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，連接AD，DE，EG．（1）求證：△BDE≌△BAC；（2）求證：四邊形ADEG是平行四邊形；（3）若四邊形ADEG是正方形，請直接寫出AC與AB的數(shù)量關(guān)系（不用寫證明過程）【標準答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AC＝AB【思路指引】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC；（2）由△BDE≌△BAC，可得DE=AG．然后利用正方形性質(zhì)和周角=360推知∠EDA+∠DAG=180，易證ED∥GA；最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結(jié)論；（3）由“正方形的內(nèi)角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG=90，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性質(zhì)證得，AC=AB．【詳解詳析】（1）證明：∵四邊形ABDI、四邊形BCFE是正方形．∴BD＝BA，BE=BC，∠DBA＝∠EBC＝＝90．∴∠DBE+∠EBA=90，∠ABC+∠EBA=90．∴∠DBE＝∠ABC．∴△BDE≌BAC．（2）證明：∵△BDE≌BAC．∴DE＝AC＝AG．∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的對角線．∴∠BDA＝∠BAD＝45．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45．∠DAG＝360﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD．＝360﹣90﹣∠BAC﹣45．＝225﹣∠BAC．∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45+225﹣∠BAC＝180．∴DE∥AG．∵DE=AG．∴四邊形ADEG是平行四邊形．（3）∵當四邊形ADEG是正方形時，∠DAG=90°，∠DAG=90，且AG=AD．

則∠BAC=360°∠BAD∠DAG∠GAC=360°45°90°90°=135°，

即當∠BAC=135°∴當∠DAG=90時，∠BAC=135．

∵四邊形ABDI是正方形．

∴AD=AB．

又∵四邊形ACHG是正方形．

∴AC=AG．

∴AC=AB．

∴當∠BAC=135，且AC=AB時，四邊形ADEG是正方形．所以AC與AB的數(shù)量關(guān)系：AC=AB．【名師指路】本題綜合考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識點．解題時，注意利用隱含在題干中的已知條件：周角是360．27．已知：如圖，在△ABC中，M是邊AB的中點，D是邊BC延長線上一點，，DN∥CM，交邊AC于點N．（1）求證：MN∥BC；（2）當∠ACB為何值時，四邊形BDNM是等腰梯形？并證明你的猜想．【標準答案】（1）見解析；（2）當∠ACB=90°時，四邊形BDNM是等腰梯形．證明見解析．【詳解詳析】（1）證法一：取邊BC的中點E，聯(lián)結(jié)ME．∵BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．∴∠MEC=∠NCD．∵，∴．∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．∴△MEC≌△NCD．∴．又∵CM∥DN，∴四邊形MCDN是平行四邊形．∴MN∥BC．證法二：延長CD到F，使得，聯(lián)結(jié)AF．∵，，∴．∵，∴MC∥AF．∵MC∥DN，∴ND∥AF．又∵，∴．∴MN∥BC．（2）解：當∠ACB=90°時，四邊形BDNM是等腰梯形．證明如下：∵MN∥BD，BM與DN不平行，∴四邊形BDNM是梯形．∵∠ACB=90°，，∴．∵，∴BMDN．∴四邊形BDNM是等腰梯形．28．如圖，某環(huán)形路是平行四邊形，米，米，現(xiàn)有1號、2號兩車分別從A地同時出發(fā)，1號車順時針、2號車逆時針沿此環(huán)形路連續(xù)循環(huán)行駛，環(huán)形路上的人員可以隨時乘車(上、下車的時間忽略不計).由于地段上人員的稠密程度，車的行駛速度不同，在這段路上行駛時，速度是200米/分；在這三段路上行駛時，速度是400米/分．小明和小華在路段上的學校地要去地鐵口地，此時恰好1號車經(jīng)過地．探究從地到地，1號車用時________分，2號車用時_______分；各自行駛一周用時________分．發(fā)現(xiàn)在地小明乘坐了1號車，小華步行，步行速度為50米/分，結(jié)果兩人同時到達地，求的長．拓展若兩人在地等候并乘2號車去往地，最快到達地需要多長時間（包括等候和乘車時間）．【標準答案】探究：10，17.5，27.5；發(fā)現(xiàn)：1100米；拓展：29.5分鐘【思路指引】根據(jù)路程速度時間，即可解決探究問題；發(fā)現(xiàn)：設(shè)的長為米，構(gòu)建方程即可解決問題；拓展：分別求出兩車從到達的時間，即可判斷；【詳解詳析】解：探究：從地到地，1號車用時分，2號車用時分；各自行駛一周用時27.5分，故答案為：10，17.5，27.5；發(fā)現(xiàn)：設(shè)的長為米，由題意得到：，解得，即米；拓展：1號車從到的時間分，這時2號車行駛到段，到達地需要：分，所以2號車再到達地的時間分，乘坐2號車從到的時間分，所以，兩人在地等候并乘2號車去往地，最快到達地需要29.5分鐘．【名師指路】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、行程問題等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．29．（2021·上海普陀·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線AQ與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點Q，∠QAO＝45°，直線AQ在y軸上的截距為2，直線BE：y＝﹣2x+8與直線AQ交于點P．（1）求直線AQ的表達式；（2）在y軸上取一點F，當四邊形BPFO為是梯形時，求點F的坐標；（3）點D為直角坐標平面內(nèi)一點，如果以Q、P、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點D的坐標．【標準答案】（1）y＝x+2；（2）F（0，4）；（3）（6，2）或（2，﹣2）或（﹣2，6），見解析．【思路指引】（1）求得點A的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得；（2）四邊形BPFO為是梯形，則，聯(lián)立兩直線解析式求得點P坐標，即可求解；（3）分別以當PD//QB和BD//QP、當PB//QD和PQ//BD、當PD//BQ和PB//DQ三種情況進行分類討論即可求得點D的坐標．【詳解詳析】解：（1）∵直線AQ在y軸上的截距為2，∴OQ＝2．∵∠Q