第二十七章相似（壓軸題專練）（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記巧練（人教版）

第二十七章相似（壓軸題專練）一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC與等腰Rt△CDE關(guān)于原點(diǎn)O成位似關(guān)系，相似比為1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x軸正半軸上的點(diǎn)，B、D是第一象限的點(diǎn)，BC＝2，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（9，6） B．（8，6） C．（6，9） D．（6，8）2．如圖，在中，于點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．有下列四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④3．如圖，的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，D均在函數(shù)的圖象上，若，則k的值為（）A．6 B．8 C．10 D．124．如圖，中，，D為中點(diǎn)，在的延長線上取一點(diǎn)E，使得，與交于點(diǎn)F，則的值為（

）

A． B． C． D．5．如圖，正方形的對(duì)角線相交于，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，，重合），，分別交于，兩點(diǎn)，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④是等腰三角形．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，在矩形中，，將矩形對(duì)折，得到折痕，沿著折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為；再沿著折疊，使得與重合，折痕為，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.下列結(jié)論：①是直角三角形；②；③；④；其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．如圖，在正方形的對(duì)角線上取一點(diǎn)E．使得，連接并延長到F，使，與相交于點(diǎn)H，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．8．如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，矩形與矩形是位似圖形，點(diǎn)為位似中心，點(diǎn)，分別是點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，．已知關(guān)于，的二元一次方程，是實(shí)數(shù)）無解，在以，為坐標(biāo)（記為的所有的點(diǎn)中，若有且只有一個(gè)點(diǎn)落在矩形的邊上，則的值等于（

）A． B．1 C． D．9．如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，垂直交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①若是邊上的中線，則；②若平分，則；③若，則；④的最小值為．

A． B． C． D．10．如圖，正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，將沿翻折，得到，連接，交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列說法：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．在歐幾里得的《幾何原本》中給出一個(gè)找線段的黃金分割點(diǎn)的方法．如圖所示，以線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)E，連接，延長至F，使得，以為邊作正方形，則點(diǎn)H即是線段的黃金分割點(diǎn)．若，記正方形的面積為，矩形的面積為，則與的和為．

12．如圖，點(diǎn)E在矩形邊上，將沿翻折，點(diǎn)D恰好落在上的點(diǎn)F處，若，，連接，與交于H點(diǎn)，連接，則點(diǎn)F到的距離為．

13．在中，，，是中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則．

14．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)拿出如圖所示的矩形紙片，其中，他們將紙片對(duì)折使、重合，展開后得折痕，又沿折疊使點(diǎn)C落在處，展開后又得到折痕，再沿折疊使點(diǎn)A落在上的處，大家發(fā)現(xiàn)了很多有趣的結(jié)論．就這個(gè)圖形，請(qǐng)你探究的值為．

15．如圖，半圓的直徑，點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)在弦上，連結(jié)，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)和相似時(shí)，的長為．

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為平面上一動(dòng)點(diǎn)，的長度為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有這樣的點(diǎn)組成的圖形與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值應(yīng)滿足的條件是．17．如圖，正方形中，以為邊向正方形內(nèi)部作等邊，連接并延長交于，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）

18．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點(diǎn)、、，若，則的值是．19．下圖是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案.

（1）與位似的三角形是；（2）已知的面積是3，則的面積為．20．如上圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形與正方形是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)，，在軸上，延長交射線于點(diǎn)，以為邊作正方形；延長交射線于點(diǎn)，以為邊作正方形…，若，則正方形的面積是．三、解答題21．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，點(diǎn)F為CE中點(diǎn)，連接、．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，請(qǐng)寫出此時(shí)線段、的關(guān)系（不用證明）；(2)如圖2，在（1）的條件下將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，請(qǐng)證明此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立；(3)如圖3，在（1）的條件下將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，求此時(shí)線段的長．22．某社區(qū)廣場(chǎng)有一塊正方形花園，其中，E是的中點(diǎn)．

(1)如圖1，經(jīng)過規(guī)劃，需要修建兩條小道、，M是上一點(diǎn)，社區(qū)為節(jié)省修建時(shí)間和費(fèi)用，要使得所修建的小道的值最小，試求此時(shí)的長和的最小值(2)如圖2，社區(qū)廣泛收集居民建議，重新設(shè)計(jì)了方案，修建四條小道、、、，其中M、N均在上，且N在M的右邊，，要使得修建的小道的值最小，試求此時(shí)的長和的最小值．23．已知，內(nèi)弦、交于點(diǎn)E，，連接．

(1)如圖1，求證：平分；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)G，延長交于點(diǎn)F，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長交于點(diǎn)H，若，，求的長．24．已知點(diǎn)P是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)，線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到．(1)如圖1，連接，，若是等邊三角形，求；

(2)如圖2，連接，，，，若點(diǎn)B，E關(guān)于對(duì)稱，且，求的值；

(3)如圖3，連接，，若，求證：．

25．如圖，矩形，，，，分別是線段、上的點(diǎn)，且四邊形為矩形．

(1)求出的長；(2)若是等腰三角形時(shí)，直接寫出的長；(3)若，求出的長．26．已知中，，，E是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），線段的垂直平分線與邊交于點(diǎn)D.(1)點(diǎn)E在邊上，①如圖1，連接，如果平分，求的長；②如圖2，射線交射線于點(diǎn)F，設(shè)，，求y關(guān)于x的的數(shù)解析式，并寫出定義域.(2)如果是直角三角形，求的長.27．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，D為上一點(diǎn)，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為延長線上一點(diǎn)，，若，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，求菱形的邊長．

28．已知是等邊三角形，折疊折痕交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．

(1)如圖1，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在邊上，①求證：；②若，求的值；(2)如圖2，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在下方，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，，且，求的長．29．問題探究：如圖1，若內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P是的智慧點(diǎn)，是智慧角．

(1)如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形的智慧點(diǎn)，則智慧角的度數(shù)是________；線段、、的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖3，點(diǎn)P為等腰直角三角形（其中）的智慧點(diǎn)，且．①請(qǐng)判斷與是否相似，如果相似給出證明并說明與的數(shù)量關(guān)系；②若，的面積為，求m的值和的面積．30．如圖，在矩形中，，，E是AB上一點(diǎn)，，是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)且（為常數(shù)，），分別過點(diǎn)，作，的垂線，交點(diǎn)為．設(shè)的長為，的長為．

(1)若，，則的值是________．(2)若時(shí)，求的最大值．(3)在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若線段上存在唯一的一點(diǎn)，求此時(shí)的值．31．綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接平分交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．求證：．

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）王老師提出了新問題，求證．王老師的問題引發(fā)了同學(xué)們的思考，并積極地進(jìn)行了小組討論．在展示交流的過程中，小明同學(xué)分享了他的思路，他先發(fā)現(xiàn)并證明了和相等，然后又構(gòu)造全等得到了結(jié)論．相信你也得到了啟發(fā)，請(qǐng)你完成證明．問題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，如圖2，當(dāng)時(shí)，可以求的值，請(qǐng)你嘗試完成解答．32．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)為、、，點(diǎn)D是線段的一動(dòng)點(diǎn)，它以每秒2個(gè)單位速度從A點(diǎn)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接過點(diǎn)D作的垂線交于E點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)當(dāng)D點(diǎn)到達(dá)的中點(diǎn)時(shí)，________；(2)請(qǐng)用t的代數(shù)式表示的長度，并求出t為何值時(shí)，有最小值，是多少？(3)若已知F點(diǎn)在直線上，，P為x軸上一點(diǎn)且于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出滿足此條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．33．某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

［觀察與猜想］(1)如圖①，在正方形中，點(diǎn)、分別是、上的兩點(diǎn)，連接、、，則的值為__________．(2)如圖②，在矩形中，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接、，且，則的值為__________________．[類比探案](3)如圖③，在四邊形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，求證：．34．在平行四邊形中，，，點(diǎn)、分別為、的兩點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，連接、，判斷和的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，，，求證：；(3)如圖3，若，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為平行四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的長．35．在四邊形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于，垂足為，且．

(1)求證：；(2)如圖2，連接，點(diǎn)、、分別為線段、、的中點(diǎn)，連接、、．①求證：；②若，求的面積．36．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，、分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)從出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、、．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的長度；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖分別以、為鄰邊作，是否存在時(shí)間，使得坐標(biāo)軸剛好將的面積分為的兩個(gè)部分，若存在，直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．37．已知：點(diǎn)E、點(diǎn)F分別為直線、直線上的點(diǎn)，連接，平分交直線于點(diǎn)C，，

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)H為射線上一點(diǎn)，連接，平分交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作于點(diǎn)K，求證：；(3)如圖3，點(diǎn)D為射線上一點(diǎn)，連接，，，，，，求的值．38．如圖（1），中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接，以為一邊作，使，連接(1)求證：與的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系．(2)如圖（2），中，，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接，以為一邊作，使，，連接，求的度數(shù)．(3)如圖（3），中，，點(diǎn)M是中點(diǎn)．點(diǎn)D是上一點(diǎn)且，連接，以為一邊作，使，，連接，求的長．39．【性質(zhì)探究】如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，平分，交于點(diǎn)E．作于點(diǎn)H，分別交，于點(diǎn)F，G．（1）直接寫________（填圖中一條線段）（2）求證：．【遷移應(yīng)用】（3）記的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求的值．【拓展延伸】（4）若交射線于點(diǎn)F，【性質(zhì)探究】中的其余條件不變，連接，當(dāng)?shù)拿娣e為矩形面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

40．如圖，在正方形中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其中邊分別與射線，直線交于兩點(diǎn)，邊與射線交于點(diǎn)，連接，且與直線交于點(diǎn)．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)．①求證：．②求證：．(2)當(dāng)時(shí)，求的長．41．如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)在的延長線上，延長交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．

(1)求證：是的切線；(2)求證：是等腰三角形；(3)若，，求的長．42．綜合應(yīng)用：如圖，已知四邊形是矩形，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中，，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)在射線上運(yùn)動(dòng)，連接，作交x軸于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，___________°，_____________；(2)當(dāng)時(shí)，求t的值；(3)在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以P、O、E為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．43．探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方法，某數(shù)學(xué)興趣小組擬做以下探究．如圖，在中，分別是上的高，點(diǎn)G在直線上，，點(diǎn)F在直線上，，于點(diǎn)N，于點(diǎn)M．探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖①，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，線段之間的數(shù)量關(guān)系是．“善思小組”通過探究后發(fā)現(xiàn)解決此問題的方法：過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)而得證．請(qǐng)你寫出證明過程．下面是小強(qiáng)的部分證明過程，仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．證明：過點(diǎn)A作于點(diǎn)P．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．在和中，，∴．∴．

請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．(2)通過類比、轉(zhuǎn)化、猜想，探究出：當(dāng)是鈍角三角形，且時(shí)，如圖②線段之間的數(shù)量關(guān)系是；當(dāng)是鈍角三角形，且時(shí)，如圖③，線段之間的數(shù)量關(guān)系是．(3)“智慧小組”繼續(xù)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究后，提出下面問題請(qǐng)你解答：在（1）和（2）的條件下，若，則．44．問題提出：（1）如圖1，在等腰直角中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，連接、，有．求證：；問題探究（2）如圖2，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，若，，求的長；問題解決（3）如圖3，菱形是一座避暑山莊的平面示意圖，其中，米，現(xiàn)計(jì)劃在山莊內(nèi)修建一個(gè)三角形花園，點(diǎn)、分別在線段、上，根據(jù)設(shè)計(jì)要求要使，且，問能否建造出符合要求的三角形花園，若能，請(qǐng)找出點(diǎn)、的位置（即求出與的長），若不能，請(qǐng)說明理由．45．如圖（1）矩形中，，，，將繞點(diǎn)從處開始按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交（或）于點(diǎn)，交邊（或）于點(diǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至處時(shí)，的旋轉(zhuǎn)隨即停止.(1)特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，也恰好過點(diǎn)，此時(shí)，__________（填“”或“∽”）；(2)類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；(3)拓展延伸：設(shè)，當(dāng)面積為4.2時(shí)，直接寫出所對(duì)應(yīng)的的值.46．如圖，是矩形的邊上的中點(diǎn)，，，于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求的值；(3)若將以為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到（其中與對(duì)應(yīng)），當(dāng)?shù)膶?duì)應(yīng)邊在直線上時(shí)，直線與