第02講平行線性質(zhì)和判定的綜合探究

第2講平行線性質(zhì)和判定的綜合探究【知識點睛】要注意平行線的判定與性質(zhì)之間的區(qū)別，明確兩者的條件和結(jié)論，在應用時要正確選用.當已知條件中出現(xiàn)角相等或互補時，往往能得到兩直線平行;當要說明兩角相等或互補時，往往需要利用平行線的性質(zhì).在解決與平行線有關的問題時，當無法直接得到角之間的數(shù)量關系或兩條線之間的位置關系時，往往需要借助輔助線來幫助解答.平行線的綜合問題，通常先根據(jù)條件證出兩直線的位置關系是平行，再依據(jù)平行線的性質(zhì)來求解其余的角度信息，即平行線的判定與性質(zhì)，在綜合問題里經(jīng)常是同步考察的。【類題訓練】1．如圖所示，下列推理正確的個數(shù)有（）①若∠1＝∠2，則AB∥CD②若AD∥BC，則∠3+∠A＝180°③若∠C+∠CDA＝180°，則AD∥BC④若AB∥CD，則∠3＝∠4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)平行線的判定（內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）和平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）判斷即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥DC，∴①正確；∵AD∥BC，∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②錯誤；∵∠C+∠CDA＝180°，∴AD∥BC，∴③正確；由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④錯誤；正確的個數(shù)有2個，故選：C．2．一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺ADE固定不動，將含30°的三角尺ABC繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動至圖2位置的過程中，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行．如圖3：當∠CAE＝15°時，BC∥DE．則∠CAE其余符合條件的度數(shù)為60°或105°或135°．【分析】分四種情況進行討論，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)進行計算即可得到∠CAE的度數(shù)，再找到關于A點中心對稱的情況即可求解．【解答】解：如圖3，當BC∥DE時，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如圖，當AE∥BC時，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如圖，當DE∥AB（或AD∥BC）時，∠CAE＝45°+60°＝105°；當DE∥AC時，如圖①，∠CAE＝45°+90°＝135°．綜上所述，旋轉(zhuǎn)后兩塊三角板至少有一組邊平行，則∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合條件的度數(shù)為60°或105°或135°，故答案為：60°或105°或135°．3．如圖，AF分別與BD、CE交于點G、H，AC分別與BD、CE交于點B、C，DF分別與BD、CE交于點D、E，∠1＝55°．若∠A＝∠F，∠C＝∠D，求∠2的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【解答】解：∵∠A＝∠F，∴AC∥DF，∴∠C＝∠CEF，∵∠C＝∠D，∴∠CEF＝∠D，∴BD∥CE，∴∠1＝∠AHC＝55°，∴∠2＝180°﹣∠AHC＝125°．4．如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．（1）試猜想AB與CE之間有怎樣的位置關系？并說明理由．（2）若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）由∠1+∠2＝180°可證得DE∥BC，得∠ADF＝∠B，已知∠B＝∠E，等量代換后可得∠ADF＝∠E，由此可證得AB與CE平行；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得∠BCE＝130°，由CA平分∠BCE，得∠ACE＝65°，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出∠A．【解答】解：（1）AB∥CE，∵∠1+∠2＝180°（已知），∴DE∥BC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），∴∠ADF＝∠B（兩直線平行，同位角相等），∵∠B＝∠E（已知），∴∠ADF＝∠E（等量代換），∴AB∥CE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．（2）∵AB∥CE，∴∠B+∠BCE＝180°，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝130°，∵CA平分∠BCE，∴∠ACE＝＝65°，∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝65°．5．如圖，AB⊥AC，點D、E分別在線段AC、BF上，DF、CE分別與AB交于點M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求證：AB⊥BF．請完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應的依據(jù)．證明：∵∠1＝∠2，（已知）∵∠2＝∠3，（對頂角相等）∴∠1＝∠3．（等量代換）∴DF∥CE．（同位角相等，兩直線平行）∴∠C＝∠ADM．（兩直線平行，同位角相等）∵∠C＝∠F，（已知）∴∠F＝∠ADM．（等量代換）∴AC∥BF．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠A＝∠B．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB⊥AC，（已知）∴∠A＝90°．∴∠B＝90°．∴AB⊥BF．（垂直的定義）【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵∠1＝∠2，（已知）∵∠2＝∠3，（對頂角相等）∴∠1＝∠3．（等量代換）∴DF∥CE．（同位角相等，兩直線平行）∴∠C＝∠ADM．（兩直線平行，同位角相等）∵∠C＝∠F，（已知）∴∠F＝∠ADM．（等量代換）∴AC∥BF．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠A＝∠B．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB⊥AC，（已知）∴∠A＝90°．∴∠B＝90°．∴AB⊥BF．（垂直的定義），故答案為：對頂角相等，3，等量代換，同位角相等，兩直線平行，ADM，ADM，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，垂直的定義．6．如圖，AB∥CD，連結(jié)CA并延長至點H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．（1）求證AG∥CE；（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝∠DCF，根據(jù)角平分線的定義可得∠ACF＝∠DCF，進而得出∠AFC＝∠ACF，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ECH＝∠GAH，從而得出AG∥CE；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ECD＝∠GAF，根據(jù)角的和差關系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝40°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∵CF平分∠ACD，∴∠AFC＝∠ACF，∴∠AFC＝∠ACF，又∵CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°，∴∠ECH＝∠GAH，∴AG∥CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠GAF＝120°，又∵CE⊥CF，∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝120°﹣90°＝30°，∴∠AFC＝∠DCF＝30°．7．【提出問題】若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角有怎樣的數(shù)量關系？【解決問題】分兩種情況進行探究，請結(jié)合如圖探究這兩個角的數(shù)量關系．（1）如圖1，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1＝∠2；（2）如圖2，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關系為相等或互補；【拓展應用】（3）若兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少60°，求這兩個角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關系為相等或互補．【分析】【提出問題】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解；【得出結(jié)論】結(jié)合（1）（2）得出結(jié)論；【拓展應用】（3）根據(jù)“若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關系是相等或互補”求解即可；（4）根據(jù)題意畫出圖形，可直接得出結(jié)論．【解答】【提出問題】（1）證明：如圖1，∵AB∥EF，∴∠1＝∠3，又∵BC∥DE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）證明：如圖2，∵AB∥EF，∴∠1＝∠4，又∵BC∥DE，∴∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】解：由（1）（2）我們可以得到的結(jié)論是：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關系是相等或互補，故答案為：相等或互補；【拓展應用】（3）解：設其中一個角為x，則另一角為2x﹣60°，當x＝2x﹣60°時，解得x＝60°，此時兩個角為60°，60°；當x+2x﹣60°＝180°，解得x＝80°，則2x﹣60＝100°，此時兩個角為80°，100°；∴這兩個角分別是60°，60°或80°，100°．（4）解：如圖，這兩個角之間的數(shù)量關系是：相等或互補．故答案為：相等或互補．8．已知：如圖，點B，C在線段AD的異側(cè)，點E，F(xiàn)分別是線段AB，CD上的點，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）試說明：AB∥CD；（2）如果∠AGE+∠AHF＝180°，那么∠B＝∠C嗎？請說明理由；（3）在（2）的條件下，若∠BFC﹣20°＝3∠C，求∠AHB的度數(shù)．【分析】（1）由對頂角相等可得∠AGE＝∠DGC，從而可得∠AEG＝∠C，則可判定AB∥CD；（2）由平角的定義可得∠AGE+∠EGH＝180°，從而可求得∠EGH＝∠AHF，則可判定EC∥BF，則有∠B＝∠AEG，從而可求證；（3）由（2）得BF∥EC，則有∠BFC+∠C＝180°，從而可求∠C的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可求∠AHB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠AEG＝∠C，∴AB∥CD；（2）證明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，∴∠EGH＝∠AHF，∴EC∥BF，∴∠B＝∠AEG，∵AB∥CD，∴∠C＝∠AEG，∴∠B＝∠C；（3）解：∵∠BFC﹣20°＝3∠C，∴∠BFC＝3∠C+20°，∵EC∥BF，∴∠BFC+∠C＝180°，∴3∠C+20°+∠C＝180°，∴∠C＝40°，∴∠AEG＝∠C＝40°，∴∠AGE＝∠AEG＝40°，∵EC∥BF，∴∠AHB＝∠AGE＝40°．【課后綜合練習】1．如圖，已知∠A＝∠ADE，若∠EDC＝∠C，則∠C＝（）A．80° B．90° C．100° D．110°【分析】由題意可判定AC∥DE，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出∠C的度數(shù)．【解答】解：∵∠A＝∠ADE，∴AC∥DE，∴∠EDC+∠C＝180°，又∵∠EDC＝∠C，∴∠C＝180°，∴∠C＝80°，故選：A．2．如圖是兩條直線平行的證明過程，證明步驟被打亂，則下列排序正確的是（）如圖，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，求證：AB與DE平行．證明：①：AB∥DE；②：∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°；③：∠3＝∠4；④：∠1＝∠4；⑤：∠1＝∠3．A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①【分析】根據(jù)平行線的判定解答即可．【解答】證明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠2+∠4＝180°（鄰補角的定義），∴∠3＝∠4（同角的補角相等）．∵∠1＝∠3（已知），∴∠1＝∠4（等量代換），∴AB∥DE（同位角相等，兩直線平行）．所以排序正確的是②③⑤④①，故選：B．3．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．當∠MAC為（）度時，AM與CB平行．A．16 B．60 C．66 D．114【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．【解答】解：∵AB，CD都與地面l平行，∴AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，∴∠ACB＝66°，∴當∠MAC＝∠ACB＝66°時，AM∥CB，故選：C．4．將一張長方形的紙對折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線）．繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折兩次后，可以得到3條折痕，連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折6次可以得到63條折痕，對折n次可以得到2n﹣1條折痕．【分析】對前三次對折分析不難發(fā)現(xiàn)每對折1次把紙分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分數(shù)少1，求出第4次的折痕即可；再根據(jù)對折規(guī)律求出對折n次得到的部分數(shù)，然后減1即可得到折痕條數(shù)．【解答】解：由圖可知，第1次對折，把紙分成2部分，1條折痕，第2次對折，把紙分成4部分，3條折痕，第3次對折，把紙分成8部分，7條折痕，所以，第6次對折，把紙分成64部分，63條折痕，…，依此類推，第n次對折，把紙分成2n部分，2n﹣1條折痕．故答案為：63；2n﹣1．5．如圖，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正確的結(jié)論有①②③④．（填序號）【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥EF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠2＝180°，∴2∠1+∠2＝180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4＝90°（2），∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正確；∵AB∥EF，∴∠BAE+∠3＝180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠BAE，∴∠1+∠3＝180°，∴2∠1+2∠3＝360°（3），∵2∠1+∠2＝180°（1），（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正確；∵CD∥EF，∴∠CEF+∠4＝180°，∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，∵AC⊥CE，∴∠1+∠AEC＝90°，∴∠AEC＝90°﹣∠1，∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，∵2∠1﹣∠4＝90°，∴∠1＝45°+∠4，∴∠3+∠4＝135°，故④正確．故正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．6．如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝65°，∠C＝52°．則∠FEC＝63度．【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵∠3＝∠B＝65°，∴∠ADE＝∠B＝65°，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝52°，∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝63°，∵AB∥EF，∴∠FEC＝∠A＝63°，故答案為：63．7．如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說明：BE∥CF．完善下面的解答過程，并填寫理由或數(shù)學式：解：∵∠3＝∠4（已知）∴AE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴∠EDC＝∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠5＝∠A（已知）∴∠EDC＝∠A（等量代換）∴DC∥AB（同位角相等，兩直線平行）∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）即∠5+∠2+∠3＝180°∵∠1＝∠2（已知）∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換）即∠BCF+∠3＝180°∴BE∥CF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．【分析】按照所給的證明思路，利用平行線的判定與性質(zhì)定理，完善證明過程即可．【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），∴AE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠EDC＝∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠5＝∠A（已知），∴∠EDC＝∠A（等量代換），∴DC∥AB（同位角相等，兩直線平行），∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換），即∠BCF+∠3＝180°，∴BE∥CF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．故答案為：BC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠A；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；等量代換；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．8．如圖，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，則∠BCE的度數(shù)為．【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，從而可求∠BCE的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，∴∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝50°．故答案為：50°．9．如圖，將△ABC沿BC所在直線向右平移2cm得到△DEF，連結(jié)AD．若△ABC的周長為10cm，則四邊形ABFD的周長為（）A．10cm B．12cm C．14cm D．20cm【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD＝CF＝2cm，AC＝DF，然后根據(jù)四邊形的周長的定義列式計算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴AD＝CF＝2cm，AC＝DF，∴四邊形ABFD的周長＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF，∵△ABC的周長＝10cm，∴AB+BC+AC＝10cm，∴四邊形ABFD的周長＝10+2+2＝14（cm）．故選：C．10．如圖所示，射線CB∥OA，∠C＝∠OAB，E、F在BC上，且滿足∠EOB＝∠AOB，OF平分∠COE，∠COA＝80°．（1）求∠FOB的度數(shù)；（2）直接寫出∠OBC和∠OEC的角度的數(shù)量關系；（3）在平行移動AB的過程當中，是否存在某種情況，使∠OFC＝∠OBA？若存在，直接寫出其度數(shù)；若不存在，說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠FOB＝∠AOC；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OBC＝∠AOB，從而得到∠AOE＝2∠OBC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OEC＝∠AOE，從而得解；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠COF＝∠AOB，從而得到OB、OF、OE是∠AOC的四等分線，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解答】解：（1）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，∴∠COA＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∵CB∥OA，∴∠EBO＝∠AOB，又∵∠EOB＝∠AOB，∴∠EBO＝∠EOB，∴OB平分∠AOE，又∵OF平分∠COE，∴∠FOB＝∠EOF+∠EOB＝∠COA＝×80°＝40°；（2）結(jié)論：∠OEC＝2∠OBC．∵CB∥OA，則∠OBC＝∠BOA，∠OEC＝∠EOA，則∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA，又∵∠EOA＝∠EOB+∠AOB＝2∠AOB，∴∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA＝∠AOB：2∠AOB＝1：2，∴∠OEC＝2∠OBC．（3）存在在△COF和△AOB中，∵∠OFC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COF＝∠AOB，∴OB、OF、OE是∠AOC的四等分線，∴∠COF＝∠AOC＝×80°＝20°，∴∠OFC＝180°﹣∠C﹣∠COF＝180°﹣100°﹣20°＝60°，故存在某種情況，使∠OFC＝∠OBA，此時∠OFC＝∠OBA＝60°．11．已知AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連