專(zhuān)題03幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類(lèi)匯編專(zhuān)題03——幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（安徽專(zhuān)用）1.（2022·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？级＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4．點(diǎn)F為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中點(diǎn)，則【答案】1【分析】取AC的中點(diǎn)T，連接DT、MT，利用三角形的中位線定理求出DT的值，再由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出MT，并確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后由DM≥TM-DT即可獲得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)T，連接DT、MT，∵D是AB的中點(diǎn)，T是AC的中點(diǎn)，∴AD=BD,AT=CT，∴DT=1∵CM⊥AF，∴∠AMC=90°，∴TM=1∵點(diǎn)F為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，CM⊥AF，即∠AMC=90°，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以T為圓心，TM為半徑的圓，∴DM≥TM-DT=3-2=1，∴DM的最小值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造三角形中位線，直角三角形斜邊上的中線解決問(wèn)題．2．（2022·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC中，點(diǎn)A0,3，C4,0，點(diǎn)E、E分別是線段AC、OC上動(dòng)點(diǎn)，且四邊形（1）DBDE（2）若△BCD是等腰三角形，CF=________．【答案】

43

32或或【分析】（1）分別連接BE、DF，兩線交于點(diǎn)M，連接CM，由矩形性質(zhì)及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得CD⊥CF；則易證明△ABD∽△CBF，從而可求得結(jié)果的值；（2）分三種情況考慮：BC=CD=3；BD=BC=3；BD=CD，利用（1）中相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可求得CF的長(zhǎng)．【詳解】（1）分別連接BE、DF，兩線交于點(diǎn)M，連接CM，如圖．由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)知，OA=3，OC=4，∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC=4，BC=OA=3，∠BCO=∠ABC=90°．∵四邊形DEFB是矩形，∴∠DBF=∠DEF=90°，DE=BF，DM=FM=EM=BM．∴∠DBC+∠CBF=∠ABD+∠DBC．∴∠ABD=∠CBF．∵CM是Rt△BCE斜邊∴CM=EM=BM．∴DM=CM=FM．∴∠MDC=∠MCD，∠MCF=∠MFC．∵∠MDC+∠MCD+∠MCF+∠MFC=180°，∴∠MCD+∠MCF=90°，∴CD⊥CF．∴∠DCF+∠DBF=180°，∴∠BDC+∠CFB=360°?(∠DCF+∠DBF)=180°．∵∠BDC+∠BDA=180°，∴∠BDA=∠CFB．∵∠ABD=∠CBF，∴△ABD∽△CBF．∴DBBF∴DBDE故答案為：43（2）①當(dāng)BC=CD=3時(shí)；由勾股定理得AC=A∴AD=AC?CD=2，由（1）知：△ABD∽△CBF，∴ADCF∴CF=3②當(dāng)BD=BC=3時(shí)；過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，如圖；則CD=2DN．∵12∴BN=AB由勾股定理得：DN=B∵ADCF∴CF=3③當(dāng)BD=CD時(shí)，則點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，如圖；∴DG∥AB，∴CDAD即點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．∴AD=1∴CF=3綜上所述，CF的長(zhǎng)為32或2120或故答案為：32或2120或【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．本題具有一定的綜合性，注意分類(lèi)討論．3．（2022·安徽·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)E在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)，且AE⊥BE，點(diǎn)F是邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)G．（1）當(dāng)，且DG=GC時(shí)，四邊形AEGF的面積為_(kāi)________；（2）EG+FG的最小值為_(kāi)________．【答案】

1

10-1##【分析】（1）取AB的中點(diǎn)H，連接EH，得E為正方形ABCD的中心，由DG=GC，證得G，E，H三點(diǎn)共線，進(jìn)而推出四邊形AFGE為平行四邊形，最后求得面積；（2）由AE⊥BE，可知點(diǎn)E在以AB為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接F'O，線段【詳解】解：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接EH，∵AE⊥EB，AE=EB，∴EH垂直平分AB，E為正方形ABCD的中心，又DG=GC，∴G，E，H三點(diǎn)共線，∴GH⊥AB，∵AD⊥AB，∴AD∥EG，∵F，E分別是AD，GH的中點(diǎn)，∴GE=AF，∴四邊形AFGE為平行四邊形，∴四邊形AEGF的面積為1×1=1．故答案為：1；（2）由AE⊥BE，可知點(diǎn)E在以AB為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)F關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)F'，連接F'∵F'∴FG+GE=F'G+GE≥F'當(dāng)F'，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)G+GE在RtAOFOF∴F'E=即FG+GE最小值為10-1故答案為：10-1【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，以及動(dòng)點(diǎn)軌跡的探究，能夠準(zhǔn)確地判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡和找出最短路徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P，Q分別是AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PE，將四邊形PBCE沿PE折疊，得到四邊形PEFH．（1）若P，，Q三點(diǎn)在同一條直線上，則∠BPE的大小為_(kāi)_____°；（2）若AB=2，則F，Q兩點(diǎn)的連線段的最小值為_(kāi)_____．【答案】

67.5

5【分析】（1）易得∠APQ=45°，利用翻折的性質(zhì)得到∠BPE=∠HPE=67.5°；（2）連接，PE，PC，易證△PBC≌△PHF，得到PF=PC=5，PQ=2，當(dāng)P，Q，F(xiàn)在同一條直線上時(shí)，F(xiàn)Q【詳解】（1）如圖1，易得∠APQ=45°，∴∠BPE=∠HPE=67.5°，故答案為：67.5；（2）如圖2，連接，PE，PC，易證△PBC≌△PHF，∴PF=PC=5，PQ=當(dāng)P，Q，F(xiàn)在同一條直線上時(shí)，F(xiàn)Q最小，最小值為5-故答案為：5-【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，正確掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，∠ADB=30°，連結(jié)EF，作點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P，直線PE交BD于點(diǎn)Q，當(dāng)是直角三角形時(shí)，DF的長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】1或3或3-【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，然后分兩種情況討論，①當(dāng)∠DQE=90°時(shí)，分點(diǎn)P在矩形內(nèi)部和矩形外部?jī)煞N情形求解，②當(dāng)∠DEQ=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，設(shè)EM=a，則FM=a，根據(jù)DM=3a，求得DF【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，，∵AB=2，∠ADB=30°．∴AD=23∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴DE=3①如圖2，當(dāng)∠DQE=90°時(shí)，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∵PE⊥BD，∠ADB=30°．，由對(duì)稱可得，EF平分∠PED，，是等腰三角形，，∵PE⊥BD，∠ADB=30°，DE=3，，∴EF=1，；如圖3，∵PE⊥BD，∠ADB=30°．，由對(duì)稱可得，PF=DF，EP=ED，EF平分∠PED，，，是等腰三角形，∵PE⊥BD，，∵PE⊥BD，∠ADB=30°．DE=3，，；∴DF的長(zhǎng)為1或3；②當(dāng)∠DEQ=90°時(shí)，如圖4，∵EF平分∠PED，∴∠DEF=45°，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，設(shè)EM=a，則FM=a，DM=3∴，，，綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，DF的長(zhǎng)為1或3或3-3，故答案為：1或3或3-3【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=10，AD=8，tan∠BCD=52，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)沿OP將△BOP翻折得到△B′OP，連接B′C，則B′C【答案】8【分析】由沿OP將△OBP翻折得到△B′OP，可知OB=OB′=12AB=5，即B′的軌跡是以O(shè)為圓心，以5為半徑的半圓，故當(dāng)O、B′、C共線時(shí)，OC最小，此時(shí)B′C取得最小值；作出如圖的輔助線，由tan∠BCD=tan∠EDC=52，先后求得DE、AE、【詳解】解：∵沿OP將△OBP翻折得到△B′OP，∴OB=OB′=12AB=5，即B′的軌跡是以O(shè)∴當(dāng)O、B′、C共線時(shí)，OC最小，此時(shí)B′C取得最小值；過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖：∵∠A=∠B=90°，∴四邊形ABCE為矩形，∴AB=CE=10，AE=BC，AE∥BC，∴∠BCD=∠EDC，∴tan∠BCD=tan∠EDC=52，即CE∴DE=4，∴AE=BC=12，∴OC=52B′C長(zhǎng)度的最小值為135=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、圓的相關(guān)知識(shí)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造矩形．7．（2022·安徽合肥·合肥市西苑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)且不與B、C重合，連接AE如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AE交CD于點(diǎn)N．①若BE＝1，那么CN的長(zhǎng)___；②將△ECN沿EN翻折，點(diǎn)C恰好落在邊AD上，那么BE的長(zhǎng)___．【答案】

32##1.5

2或##23【分析】①求出CE=BC-BE=3，證明△ABE～△ECN，得出ABEC②如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，則四邊形ABEF是矩形，得出AB=EF=2，AF=BE，根據(jù)折疊的性質(zhì)證明△EC'F～△NC'D，得出C'DEF=DN【詳解】①∵BE=1，，∴CE=BC-BE=3，∵EN⊥AE，∴∠AEB+∠CEN=180°-90°=90°，∵∠BAE+∠AEB=180°-∠B=180°-90°=90°，∴∠BAE=∠CEN，∵∠B=∠C=90°，∴△ABE～△ECN，∴ABEC=∴CN=3故答案為：32（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，則四邊形ABEF是矩形，∴AB=EF=2，AF=BE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CE=C'E，CN=∴∠NC∵∠C∴∠EC∵∠EFC∴△EC∴C∴C∵AB∵CN∴C∴C設(shè)BE=x，則C'F=4-2x，∴DN4-2x=CN4-x=x∴CN+DN=x(2-x)+x(4-x)解得：或x=23故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的綜合問(wèn)題，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考三模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，分別以AE、AF為對(duì)稱軸，折疊△ABE、△ADF，使得AB和AD與AG重合，連接BG交AE于點(diǎn)H，連接CG．（1）HE：AH＝______；（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．【答案】

1：4

5：12【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)得到∠GHE＝∠BHE＝90°，再根據(jù)∠HEB＝∠BEA，從而證明△HEB∽△BEA，得出HEBE=BEAE，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2x，則BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，從而求出（2）由S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x，F(xiàn)G＝DF＝m，則EF＝x+m，CF＝2x﹣m，，由勾股定理求出m【詳解】解：（1）∵AE為對(duì)稱軸，∴△AEG≌△AEB，BG⊥AE，∴∠GHE＝∠BHE＝90°，又∵∠HEB＝∠BEA，∴△HEB∽△BEA，∴HEBE在正方形ABCD中，設(shè)邊長(zhǎng)為2x，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則BE＝x，AB＝2x，∴AE＝AB∴HE＝BE∴AH＝AE﹣HE＝5x-∴HE：AH＝55故答案為：1：4；（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x，則S正方形ABCD＝4x2，∵S△AFE＝12（S正方形ABCD﹣S△FCE），CE＝BE＝GE＝x設(shè)FG＝DF＝m，則EF＝x+m，CF＝2x﹣m，在△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2，∴（m+x）2＝（2x﹣m）2+x2，解得：m＝23∴CE＝2x﹣m＝43∴S△CFE＝12×CE×CF＝12×∴S△AFE＝12×（4x2﹣）＝53∴S△AFE：S正方形ABCD＝53故答案為：5：12．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱性質(zhì)，三角形全等，三角形相似判定與性質(zhì)，正方形性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．9．（2021·安徽·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接，CE，以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG．（1）若BE=5，則正方形CEFG（2）連接DF，DG，則△DFG面積的最小值為_(kāi)_____．【答案】

5

3【分析】（1）利用勾股定理求出EC2即可解決問(wèn)題．（2）連接DF，DG．設(shè)DE＝x，則CE=42+x2，根據(jù)S△DEC+S△DFG【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝2，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE=5∴AE=B∴DE＝AD﹣AE＝2﹣1＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+22＝5，∴正方形CEFG的面積＝EC2＝5．故答案為5．（2）如圖，設(shè)DE=x，則CE=∵S△DEC∴S△DFG∵12∴當(dāng)x=1時(shí)，的面積最小，且最小值為32．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．10．（2021·安徽合肥·合肥市廬陽(yáng)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，等腰Rt△ABC的一個(gè)銳角頂點(diǎn)A是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠ACB=90°，腰AC與斜邊AB分別交⊙O于點(diǎn)E、D，分別過(guò)點(diǎn)D、E作⊙O的切線交于點(diǎn)F，且點(diǎn)F恰好是腰BC上的點(diǎn)，連接OC、OD、OE，若⊙O的半徑為4，則【答案】2【分析】設(shè)點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，分別連接、OG、OD；根據(jù)圓的對(duì)稱性，得OD=OE=OA=4；根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得∠EAD=45°，再根據(jù)圓周角和圓心角的性質(zhì)，得∠DOE=2∠EAD=90°；再根據(jù)切線和正方的性質(zhì)，通過(guò)證明四邊形ODFE為正方形，得EF，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)，得；通過(guò)勾股定理計(jì)算的OG，再通過(guò)三角形邊角關(guān)系的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，分別連接、OG、OD∴OD=OE=OA=4∵等腰RtΔABC，∠ACB=90°∴∠CAB=45°，即∠EAD=45°∴∠DOE=2∠EAD=90°∵分別過(guò)點(diǎn)D、E作⊙O的切線交于點(diǎn)F∴∠OEF=∠ODF=90°∴四邊形ODFE為正方形∴EF=OE=4∵點(diǎn)F恰好是腰BC上的點(diǎn)∴∠ECF=∠ACB=90°∴CG=EG=FG=1當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)G、點(diǎn)O不在一條直線上時(shí)，得△OCG∴OC<OG+CG∵OG=O∴OC<2當(dāng)點(diǎn)C、點(diǎn)G、點(diǎn)O在一條直線上時(shí)，得OC=OG+CG=2∴OC的最大值為：2故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查了三角形、圓、勾股定理、切線、正方形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形、直角三角形斜邊中線、圓周角、圓心角、切線、正方形、直角三角形斜邊中線、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．11．（2021·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，點(diǎn)D是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉?wèn)題：（1）若，則CD=_____；（2）若CD=3，設(shè)點(diǎn)F是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接FD、FE，以FD、FE為鄰邊作平行四邊形，且使得頂點(diǎn)G恰好落在AC邊上，則CF=_______．【答案】

43

【分析】(1)根據(jù)∠A的正弦值求出AD，根據(jù)勾股定理求出AC，相減即可；(2)根據(jù)EF∥DG可知EF⊥BC，利用三角函數(shù)即可求BF，進(jìn)而求出CF．【詳解】解：(1)∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A∴sinA∵DE⊥AB，∴sinA=DE∴AD=20∴CD=AC-AD=4故答案為：43(2)如圖所示，四邊形是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠BEF=∠A，∠EFB=∠C=90°，∵CD=3，∴AD=5，∵cosA∴AE=4，BE=ABAE=6，∵sin∠∴BFBE∴BF=，CF=BCBF=125；故答案為：125【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用解直角三角形知識(shí)，恰當(dāng)?shù)恼业街苯侨切危?2．（2021·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PA，交直線BC于點(diǎn)E，若△PBE為等腰三角形，則PB的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】2,2【分析】分別討論P(yáng)點(diǎn)在線段DB兩個(gè)端點(diǎn)、線段中點(diǎn)O點(diǎn)處、以及DO和BO之間的情況，根據(jù)角的關(guān)系判斷其為三角形的可能情況以及邊的關(guān)系，利用勾股定理以及線段的和差進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：DB=1①如圖，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且滿足△PBE為等腰三角形，∴PB=DB=2②如圖，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到DB中點(diǎn)（不含端點(diǎn)）的過(guò)程中時(shí)，45∴0∵∠DBC∴∠PEB為鈍角，∴△PBE不是等腰三角形，∴該情況不成立；③當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到對(duì)角線的交點(diǎn)處時(shí)，此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不符合題意；當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與B點(diǎn)重合時(shí)，三角形不存在，即不符合題意；④如圖，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中時(shí)，∵∠DBC=45∴∠PBE=13若△PBE為等腰三角形，則有∠BPE=∠BEP=∵∠APE=9∴∠APD+∠BPE又∵∠OAP+∠APD=9∴∠OAP=∠BPE∴∠DAP=4∵∠ADP=4∴∠DPA=18∴DP=DA=1∴PB=2綜上可得：PB的長(zhǎng)為2或2-1故答案為：2或2-1【點(diǎn)睛】本題為幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，綜合考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段的和差計(jì)算、角的計(jì)算等內(nèi)容，要求學(xué)生熟練掌握計(jì)算公式并做到熟練運(yùn)用，能分析圖形里的邊角關(guān)系，本題蘊(yùn)含了分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想．13．（2021·安徽亳州·校聯(lián)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，連接MA，NA．當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí)，則BP的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4【分析】在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，列出方程即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵△ABP?△ADN時(shí)，將△ABP沿直線AP翻折；∴△ABP?△ADN?△AEP?△AEN∴∠PAB=∠DAN=1在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°，∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=2∴z+2∴z=42∴PB=42故答案為：42【點(diǎn)睛】本題考查翻折問(wèn)題、全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題．14．（2022·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BE，CE，以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG．（1）若BE=5，則正方形CEFG的面積為_(kāi)_______；（2）連結(jié)DF，DG，則△DFG面積的最小值為_(kāi)_____．【答案】

（1）17

（2）6【分析】（1）先在Rt△ABE中，求得AE的長(zhǎng)，再在Rt△EDC中求得EC2，進(jìn)而求出面積；（2）如下圖，延長(zhǎng)AD交GF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥DM于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于點(diǎn)N，先證△DCE≌△QEF，△ECD≌△CGN，便可求出△DFG的面積，然后用配方法，可求出最小值情況．【詳解】∵正方形ABCD，∴AB=AD=CD=4，∵∠A=∠D=90°，∴在Rt△ABE中，AE=B∴ED=ADAE=43=1；∴在Rt△EDC中，E∴正方形CEFG的面積為EC2=17.故答案為：17.（2）延長(zhǎng)AD交GF于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥DM于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于點(diǎn)N，∴∠FQE=∠EDC=90°∵正方形CEFG∴CE=EF，∠FEQ+∠DEC=90°，∠DEC+∠DCE=90°

∴∠FEQ=∠DCE在△DCE和△QEF中，{∴△DCE≌△QEF（AAS）∴FQ=DE同理可證△ECD≌△CGN，∴NG=DC∴在Rt△DEC中，CE2=DE2+CD2=DE2+16∴△DFG的面積為：S正方形CEFG∴△DFG的面積為1當(dāng)DE=2時(shí)，此代數(shù)式有最小值為6，即△DFG的面積的最小值為6.故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理的計(jì)算，解題關(guān)鍵是將△DFG的面積表示為S正方形15．（2020·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，連接AE，若△AEF是等腰三角形，則DF的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】43或1或1-63【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），進(jìn)而得到OF=OE，DF=BE．設(shè)BE=DF=a，則AF=3a．當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論．根據(jù)勾股定理列方程即可得到DF的長(zhǎng)．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∴△BEO≌△DFO（AAS），∴OF＝OE，DF＝BE．設(shè)BE＝DF＝a，則AF＝3﹣a．當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論．①如圖（1），當(dāng)AE＝AF時(shí)，在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，解得a=43②如圖（2），當(dāng)AE＝EF時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，則AH＝FH＝BE，∴AF＝2BE，∴3﹣a＝2a，解得a＝1．③如圖（3），當(dāng)AF＝EF時(shí)，∠FAE＝∠FEA．又∠FAE＝∠AEB，∴∠FEA＝∠AEB．過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，則AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，∴FG＝3﹣2a．在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，解得a1＝163,a2＝1+6綜上所述，DF的長(zhǎng)為43或1或163或1+故答案為：43或1或163或1+【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀琼旤c(diǎn)不確定時(shí)，需要列出所有情況進(jìn)行分類(lèi)討論．解題時(shí)注意同類(lèi)型的分類(lèi)討論問(wèn)題還包括旋轉(zhuǎn)方向、直角三角形的直角頂點(diǎn)、全等或相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不明確．16．（2022·安徽·校聯(lián)考三模）四邊形ABCD是矩形，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCD，得到矩形DEFG，BD=10，AD=8，試探究：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，CE的長(zhǎng)度為_(kāi)_________；（2）如圖2，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接EO，F(xiàn)O，設(shè)△EOF的面積為s，在矩形DEFG的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，s的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】

27

【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，由勾股定理知CE=ED（2）如圖，由旋轉(zhuǎn)知，EF=AD=8，△EOF的面積=12×EF×EF邊上的高，故找面積最值就轉(zhuǎn)化成找EF邊上高的最值．當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)，EF邊上高的最小值為EO，此時(shí)s最小，當(dāng)點(diǎn)D落在BD的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，EF邊上高的最大值為OE'，此時(shí)s【詳解】（1）AB=B當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，CE=ED故答案為：27（2）當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)，s最小，此時(shí)，OE=1∴s=1當(dāng)點(diǎn)D落在BD的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，s最大，E'∴s=1∴9≤s≤39．故答案為：9≤s≤39．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是要有空間想象能力，正確作出輔助線求解．17．（2022·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，且滿足∠PAB=∠PBC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC交BC于點(diǎn)D（1）______；（2）當(dāng)線段CP最短時(shí)，△BCP的面積為_(kāi)____．【答案】

90°

12【分析】（1）由∠ABP+∠PBC=90°得到∠BAP+∠ABP=90°，即可得到∠APB=90°；（2）首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC即可得到PCOC=25，即可得到S【詳解】解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°；故答案為：90°；（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OP，∵∠ABC=90°，則OP=OA=OB，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC=BO∴PC=OCOP=53=2．∴PCOC∵S∴S△BCP=2故答案為：125【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓位置關(guān)系、圓周角定理、最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P位置，學(xué)會(huì)求圓外一點(diǎn)到圓的最小、最大距離．18．（2022·安徽亳州·統(tǒng)考二模）在等邊三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的動(dòng)點(diǎn)，且BF=BD=EC=k，連接FE（1）當(dāng)k=2時(shí)，S△DEF：S△ABC=_______；

（2）取EF的中點(diǎn)G，連接GA、GC，則GA+GC的最小值為_(kāi)_______【答案】

1：9

3【分析】（1）根據(jù)∠B=∠B，BF=BD,BA=BC可得△BFD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（2）作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接GA'，AA'，AG+GC=A'G+GC≥A'C【詳解】（1）∵∠B=∠B，BF=BD,BA=BC∴△BFD∽△BAC∴S△BFD：S△ABC=∵BD=EC=2,DE=BC-BD-EC=2∴BD=DE∴∴S△DEF：S△ABC=1：9（2）如圖，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接GA則A∴AG+GC=當(dāng)A',G',C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值A(chǔ)為EF中點(diǎn)，∴GE=GF∵AE=EA,BE=EC∴△AFG≌△CEG∴AG=GC∴GA=G∴∠G∴∠GA∵∠CAB=60°∴∠BA∵FA=F∠AFA∴AA∴即AG+GC的最小值為3故答案為：1:9，3【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考一模）已知：如圖，△ABC中，BA=BC，∠ABC=70°，AC=4，點(diǎn)D是平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且AD=1，將BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°得到BE，連接AE．（1）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，AE的最小長(zhǎng)度為_(kāi)________；（2）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)AE的長(zhǎng)度最長(zhǎng)時(shí)，則∠DAB=____________【答案】

3

125°##125度【分析】（1）證明△ABD≌△CBE，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，AE最小，據(jù)此求解即可；（1）當(dāng)AE的長(zhǎng)度最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，此時(shí)AE最大，證明△ABD≌△CBE，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）連接CE，∵BD=BE，BA=BC，∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴CE=AD=1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，AE最小，AE最小值=41=3；（2）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)AE的長(zhǎng)度最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，此時(shí)AE最大值=4+1=5；同理可證△ABD≌△CBE，∴∠DAB=∠ECB，∵BA=BC，∠ABC=70°，∴∠BCA=55°，∴∠DAB=∠ECB=180°55°=125°；故答案為：（1）3；

（2）125°【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．20．（2022·安徽淮南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么：（1）AE=_________；（2）CD+55BD【答案】

25

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，通過(guò)勾股定理及tanA=2即可求出AE、BE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出CM=BE，然后通過(guò)銳角三角函數(shù)得出DH=55BD，進(jìn)而可得出CD+55BD=CD+DH，最后利用CD+DH?【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=BEAE設(shè)AE=a，BE=2a，∵AB2=AE2+BE2，∴100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=25或a=?2∴AE=25故答案為：25（2）∵a=25∴B