專題07圖形旋轉(zhuǎn)之費(fèi)馬點(diǎn)最值模型全

專題07圖形旋轉(zhuǎn)之費(fèi)馬點(diǎn)最值模型全攻略如何找一點(diǎn)P使它到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC最?。慨?dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值費(fèi)馬點(diǎn)的定義：數(shù)學(xué)上稱，到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)。它是這樣確定的：1.如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；2.如果3個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對(duì)3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：費(fèi)馬點(diǎn)有如下主要性質(zhì)：1．費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。2．費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120°。費(fèi)馬點(diǎn)最小值快速求解：費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換．秘訣：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值類型一、基本費(fèi)馬點(diǎn)模型例題1.如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊內(nèi)的任意一點(diǎn)，求的取值范圍.解：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，易知為等邊三角形.從而，（兩點(diǎn)之間線段最短），從而.過作的平行線分別交于點(diǎn)，易知.因?yàn)樵诤椭校?，②。又，所以?①+②+③可得，即.綜上，的取值范圍為.【變式訓(xùn)練1】已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求正方形的邊長(zhǎng)．【解析】如圖2，連接AC，把△AEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GFC，連接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等邊三角形，則EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG．∵點(diǎn)B、點(diǎn)G為定點(diǎn)（G為點(diǎn)A繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得）．∴線段BG即為點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時(shí)E、F兩點(diǎn)都在BG上．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，那么BO=CO=，GC=,GO=．∴BG=BO+GO=+．∵點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為．∴+=，解得=2．【變式訓(xùn)練2】如圖，ABCD為矩形，AB＝，AD＝4，EF為ABCD內(nèi)兩點(diǎn)，求（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值．【詳解】解：如圖所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°于，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°于，連接，，作交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∴，，∴，，，，又∵旋轉(zhuǎn)角等于60°，∴，，∴和都是等邊三角形，∴，，∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE，∴AF＋DF＋FE＋CE＋BE的最小值為的長(zhǎng)度．∵，，∴，，又∵，，∴，，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，，∴．∴．∴（AF＋DF＋FE＋CE＋BE）的最小值為．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為______．【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF，∴ME+MA+MD=ME+EG+GF過F作FH⊥BC交BC于H點(diǎn)，線段FH的長(zhǎng)即為所求的最小值．【變式訓(xùn)練4】如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，則AP+BP+CP的最小值為（）A．+ B．+ C．4 D．3【解答】解：如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF，當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，PA+PB+PC最?。碛桑骸逜P＝AF，∠PAF＝60°，∴△PAF是等邊三角形，∴PA＝PF＝AF，EF＝PB，∴PA+PB+PC＝EF+PF+PC，∴當(dāng)E、F、P、C共線時(shí)，PA+PB+PC最小，作EM⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于M，ME的延長(zhǎng)線交CB的延長(zhǎng)線于N，則四邊形ABNM是矩形，在RT△AME中，∵∠M＝90°，∠MAE＝30°，AE＝2，∴ME＝1，AM＝BN＝，MN＝AB＝2，EN＝1，∴EC＝＝＝＝＝＝+．∴PA+PB+PC的最小值為+．故選：B．類型二、加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型例：如圖，在中，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、、．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值【詳解】解：（1）如圖32，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為同理可證為等邊三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值為；（2）如圖34，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值為；（3）如圖36，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，