湖南省婁底市2020年中考數(shù)學試題（解析版）

婁底市2020年初中畢業(yè)學業(yè)考試試題卷

數(shù)學

溫馨提示：

1、本學科試卷分試題卷和答題卡兩部分，考試時量120分鐘，滿分120分.

2、請你將姓名、準考證號等相關信息按要求填涂在答題卡上.

3、請你在答題卡規(guī)定區(qū)域內作答，答在本試題卷上無效.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是符合題目要求的，請把你認為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應題號下的方框

里）

1.—2020的倒數(shù)是（）

A.-2020B.2020-------D.---------

20202020

【答案】D

【解析】

【分析】

由乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，可得答案.

【詳解】解：1-(-2020)=-――,

''2020

.?.-2020的倒數(shù)是：-——

2020

故選D.

【點睛】本題考查的是求一個數(shù)的倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解題的關鍵.

2.下列運算正確的是（）

23622233224

A.a.?=fl?B.(a+b)=a+h^C.(-2a)=-8aD.a+a-a

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)同底數(shù)基的乘法、完全平方公式、積的乘方、整式的加法：合并同類項逐項判斷即可.

【詳解】A、/./="+3=。5,此項錯誤

B、（a+Z?）2=/+2ab+b）此項錯誤

C、（—2a）''=—8/,此項正確

D、"+"=2",此項錯誤

故選:C.

【點睛】本題考查了同底數(shù)基的乘法、完全平方公式、積的乘方、整式的加法，熟記各運算法則是解題關鍵.

3.如圖，將直尺與三角尺疊放在一起，如果Nl=28。,那么N2的度數(shù)為（）

A.62°B.56°C.28°?D,72°

【答案】A

【解析】

【分析】

利用兩銳角互余求解NAB。，再利用平行線性質可得答案.

【詳解】解:如圖，標注字母，

由題意得:NEBD=90°,Z1=28°,AB//CD,

ZAB。=90°—28°=62°,

N2=NABD=62°,

故選A.

【點睛】本題考查平行線的性質，兩銳角互余的性質，掌握以上知識是解題的關鍵.

4.一組數(shù)據(jù)7,8,10,12,13的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.7、10oB.9、9C.10,10?D.12、11

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)平均數(shù)的算法進行計算，求得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列的順序排列，找出最中

間的數(shù)即可得出答案.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是:;（7+8+10+12+13）=10,

把這些數(shù)從小到大排列為：7,8,10,12,13,最中間的數(shù)是10,則中位數(shù)是10;

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平均數(shù)與中位數(shù)，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù);將一組

數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

5.我國汽車工業(yè)迅速發(fā)展,國產汽車技術成熟，下列汽車圖標是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形.故錯誤；

B、是中心對稱圖形.故正確；

C、不是中心對稱圖形.故錯誤；

D、不是中心對稱圖形.故錯誤.

故選：B.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

6.2020年中央財政下達義務教育補助經費1695.9億元，比上年增長8.3%.其中1695.9億元用科學記數(shù)法

表示為（）

A.16.959xlO">元B.1695.9x108元c1.6959X1OIOT￡D.1.6959x10”元

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)科學記數(shù)法的定義即可得.

【詳解】科學記數(shù)法:將一個數(shù)表示成ax10"的形式，其中l(wèi)W|4<l（）,n為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學

記數(shù)法

則1695.9億=1.6959xl03xlO8=1.6959xlO"

故選:D.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法的定義,熟記定義是解題關鍵.

7.正多邊形的一個外角為60。,則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.5?B.6?C.7?D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)正多邊形的外角和以及一個外角的度數(shù)，求得邊數(shù).

【詳解】解:正多邊形的一個外角等于60。,且外角和為360。，

則這個正多邊形的邊數(shù)是:360。+60。=6,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理，解決問題的關鍵是掌握多邊形的外角和等于360度.

8.如圖，撬釘子的工具是一個杠桿,動力臂4=L-cos。,阻力臂右=/人無，,如果動力廠的用力方向始

終保持豎直向下，當阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化情況是（）

A.越來越小B.不變。C.越來越大。D.無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)杠桿原理及cosa的值隨著。的減小而增大結合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案.

【詳解】解:；動力X動力臂=阻力X阻力臂，

???當阻力及阻力臂不變時，動力X動力臂為定值，且定值＞0,

動力隨著動力臂的增大而減小，

'杠桿向下運動時a的度數(shù)越來越小，此時cosa的值越來越大，

又'??動力臂^^Lcosa,

，此時動力臂也越來越大，

，此時的動力越來越小，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關知識是解決本

題的關鍵.

9.如圖，平行于y軸的直線分別交y與y=，?的圖象（部分）于點A、B,點。是y軸上的動點,

XX

則，.A6C的面積為（）

X

A.4—22B./化一%,）C.k?-k1D./■（%）—%］）

【答案】B

【解析】

【分析】

設A的坐標為（X,—）田的坐標為（x,—）,然后根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

XX

【詳解】解：設A的坐標為（x,2）,B的坐標為（X,b）,

XX

?1仙31L、

??SA----------=—（^i

L1XXJ2

故選:B.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和幾何綜合，設出A,B的坐標是解題關鍵.

10.下列各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，X的值為()

142638

29320435Q1

A.135B.153?C.170?D.189

【答案】C

【解析】

【分析】

由觀察發(fā)現(xiàn)每個正方形內有：2x2=4,2x3=6,2x4=8,可求解b，從而得到?,再利用a,b,x之間的關系

求解x即可.

【詳解】解:由觀察分析:每個正方形內有：

2x2=4,2x3=6,2x4=8,

2。=18,

."=9,

由觀察發(fā)現(xiàn)：。=8,

又每個正方形內有：

2x4+1=9,3x6+2=20,4x8+3=35,

:ASb+a=x,

,-.x=18x9+8=170.

故選c.

【點睛】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律題，掌握由觀察，發(fā)現(xiàn)，總結，再利用規(guī)律是解題的關鍵.

11.函數(shù)的零點是指使函數(shù)值等于零的自變量的值，則下列函數(shù)中存在零點的是()

A.y=x~+x+2B.y=yfx+1?C.y=xd■一D.y=|x|-1

x

【答案】D

【解析】

【分析】

把y=0代入四個函數(shù)解析式，解方程即可得到答案.

【詳解】解：當丁=犬+》+2=0,

a=l,b=l,c=2,

；j=t>2-4ac=1-4xlx2=—7<0,

■■原方程沒有實數(shù)解，

y=f+x+2沒有零點，故A不符合題意，

當y=&+1=0,

yfx-—1,

顯然,方程沒有解，

所以y=?+1沒有零點，故B不符合題意，

當y=x+'=0,

x

x2+1=0,

顯然方程無解，

所以y=X+,沒有零點，故。不符合題意，

X

當』1—1=0,

，W=L

x=±l,

所以y=|x|T有兩個零點，故。符合題意，

故選D

【點睛】本題考查的是函數(shù)的零點，即函數(shù)與x軸的交點的情況，掌握令y=0,再解方程是解題的關鍵.

12.二次函數(shù)y=(x-a)(x-b)-2,(a<b)的圖象與x軸交點的橫坐標為m,n,且m<n,則a,b,m,n的

大小關系是()

A.a<m<n<bB.a<m<b<nC.m<a<b<n?D.m<a<n<b

【答案】C

【解析】

【分析】

依照題意畫出二次函數(shù)y=(x-a)(x-b)及y=(x-a)(x-b)—2的圖象，觀察圖象即可得出結論.

【詳解】解：二次函數(shù)丫=(x-a)(x-b)與x軸交點的橫坐標為a、b,將其圖象往下平移2個單位長

度可得出二次函數(shù)y=(x-a)(x—b)—2的圖象，如圖所示.

觀察圖象,可知:m<a<bVn.△故選C.

x

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的圖象，依照題意畫出圖象，利用數(shù)形結合解決問題是

解題的關鍵.

二、填空題(本大題共6小題,每小題3分，滿分18分)

13.一元二次方程/一2犬+C=0有兩個相等的實數(shù)根，則c=.

【答案】1

【解析】

【分析】

由一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則-=0,從而列方程可得答案.

【詳解】解：方程f—2x+c=0有兩個相等的實數(shù)根,

:...=b2-4ac=0,

.,.(-2)2-4xl?c=0,

4c-4,

c=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式是解題的關鍵.

14.口袋內裝有大小、質量和材料都相同的兩種顏色的球，其中紅色球3個,白色球2個,從中任意摸出一球,

摸出白色球的概率是.

【答案】I

【解析】

【分析】

根據(jù)概率的計算公式，用白球的個數(shù)除以總個數(shù)即可得到結果.

2

【詳解】由題可知，摸出白球的概率。=1.

2

故答案為彳.

【點睛】本題主要考查了概率的求解，準確計算是關鍵.

...bd1、l、b—d

15.若一=_二—（zawc）,則-----=__________.

ac2a-c

【答案】4

2

【解析】

【分析】

根據(jù)比例的基本性質進行化簡，代入求職即可.

【詳解】由2=&='（"。（?）可得口=2》,0=24/,

ac2

b-d_b-d_b-d_1

代入~a^c—2b-2d~2（b-d）~2,

故答案為—-.

2

【點睛】本題主要考查了比例的基本性質化簡，準確觀察分析是解題的關鍵.

16.如圖，公路彎道標志|R=m］表示圓弧道路所在圓的半徑為，“（米），某車在標有R300處的彎道上從

點A行駛了100萬米到達點B,則線段AB=米.

【答案】300

【解析】

【分析】

根據(jù)弧長公式求出NAOB的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的性質即可求解.

〃兀-300

【詳解】V100^-=-

180180

n=60°

又AO=BO

」.△AOB是等邊三角形，

AAfi=AO=B0=300（米）

故答案為：300.

【點睛】此題主要考查弧長公式，解題的關鍵是熟知弧長公式的運用.

17.如圖，四邊形ABDC中,AB=AC=3,BO=CD=2，則將它以AD為軸旋轉180。后所得分別以AB、

30為母線的上下兩個圓錐的側面積之比為.

【答案】3:2

【解析】

【分析】

根據(jù)兩個圓錐的底面圓相同，設底面圓的周長為1,根據(jù)圓錐的側面積公式可得上面圓錐的側面積為:TIABI,

下面圓錐的側面積為：兀-BD?1,即可得出答案.

【詳解】解：；兩個圓錐的底面圓相同，

二可設底面圓的周長為1,

，上面圓錐的側面積為:兀?AB-I,

下面圓錐的側面積為：7rBD-l,

；.S」：:S下=3：2,

故答案為：3:2.

【點睛】本題考查/圓錐的側面積公式，掌握圓錐側面積公式是解題關鍵.

18.由4個直角邊長分別為a,6的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示，根據(jù)大正方形的面積，等于

22

小正方形的面積-匕)2與4個直角三角形的面積2ab的和證明了勾股定理a?+b=c，還可以用來證明結

論：若。>0、匕>0且/+〃為定值廁當a〃時，取得最大值.

【答案】=

【解析】

【分析】

設/+尸為定值后，則+〃=h先根據(jù)“張爽弦圖，，得出2"=A:-(a-6)2,再利用平方數(shù)的非負性

即可得.

【詳解】設a2+b2為定值&,則‘2=眩+4=2

由“張爽弦圖”可知,lab=c2-(a-b)2=k-(a-b)2

即也…聞

2

要使出?的值最大，則(a-bf需最小

又(<7-ft)2>0

???當a=。時,(a—8)2取得最小值，最小值為0

則當a=。時，ab取得最大值，最大值為工

2

故答案為:=.

【點睛】本題考查了勾股定理的應用、平方數(shù)的非負性，掌握勾股定理是解題關鍵.

三、解答題(本大題共2小題，每小題6分，共12分)

19.計算：明―l|—3tan30°+(3.14—%)。+出

【答案】2.

【解析】

【分析】

先計算絕對值運算、特殊角的正切函數(shù)值、零指數(shù)基、負整數(shù)指數(shù)幕，再計算實數(shù)的混合運算即可得.

【詳解】原式=g—「3x近+1+2

3

=百-1-百+1+2

=2.

【點睛】本題考查了絕對值運算、特殊角的正切函數(shù)值、零指數(shù)累、負整數(shù)指數(shù)幕，熟記各運算法則是解

題關鍵.

(HI2m?m

20.先化簡-------------^-7.然后從-3,0,1,3中選一個合適的數(shù)代入求值.

\m+3m-5Jm-9

【答案】一〃2—9,-10.

【解析】

【分析】

先計算括號內的分式減法,再計算分式的除法，然后選一個使得分式有意義的x的值代入求值即可.

，士加八re-「2m(m+3)].m

【詳解】原式=-------------------------—+--------—

_(m+3)(加-3)(m+3)(m—3)J(m+3)(m—3)

m2-3m-2m2-6m(m+3)(m-3)

=---------------------------------

(m+3)(m-3)m

_-m2-9m

m

m

=-m-9

分式的分母不能為0

/.加w0,根一3w0,3w0

解得:m不能為一303

則選m=1代入得:原式=一加一9二一1一9二一10.

【點睛】本題考查了分式的減法與除法、分式有意義的條件等知識點，掌握分式的運算法則是解題關鍵.

四、解答題(本大題共2小題,每小題8分，共16分)

21.我市開展“溫馨家園，創(chuàng)文同行”活動，某初中學校倡議學生利用雙休日進社區(qū)參加義務勞動，為了了

解同學們勞動情況，學校隨機調查了部分同學的勞動時間14)：A.0<r<0.5,

B.().5</<l,C.l</<1.5,D.￡>1.5,

將所得數(shù)據(jù)繪制成了如下不完整的統(tǒng)計圖：

(1)本次調查參加義務勞動的學生共人，a=.

(2)補全條形統(tǒng)計圖.

(3)扇形圖中“OWfWO.5”部分的圓心角是度.

【答案】(1)100,40;(2)詳見解析；(3)18°

【解析】

【分析】

⑴利用C組的人數(shù)除以百分比，即可得到總人數(shù)，然后求出a的值即可;

(2)求出D組的人數(shù)，然后補全條形圖即可；

(3)求出A組的百分比，乘以360。，即可得到答案.

【詳解】解：(1)35+35%=100.40+100X100%=4()%,

本次調查參加義務勞動的學生共100人,a=4O;

故答案為：100；40；

(2)補全條形統(tǒng)計圖如圖所示.

(3)54-100x360°=18°,

...扇形圖中“0W0.5”部分的圓心角為18°.

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，以及求扇形圖中的圓心角，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關鍵.

22.如實景圖，由華菱漣鋼集團捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日動工，2020年2月28日竣

工，彰顯了國企的擔當精神,展現(xiàn)了高效的“婁底速度”.該橋的引橋兩端各由2個斜面和一個水平面構成，

如示意圖所示:引橋一側的橋墩頂端E點距地面5m,從E點處測得D點俯角為30。,斜面石。長為4m，水平

面。。長為2m，斜面8c的坡度為1：4,求處于同一水平面上引橋底部AB的長.（結果精確到

0.1m，V2?1.41,>/3?1.73).

【答案】引橋橋墩底端A點到起點8之間的距離為17.5m.

【解析】

【分析】

延長CO,與4E相交于尸，過點。、C兩點分別作AB的垂線交A3于點G、H,計算AG,GH.BH的長度,

再求和即可.

【詳解】解:如圖，延長CO,與AE相交于F,過點〃、C兩點分別作AB的垂線交AB于點G、”,則在

RfADEF中,DE=4,NEO尸=30°,所=2,

OF=OEcos30°=4x^=26=AG

2

GH=DC=2,CH=AF=5—2=3,

在Rt_BCH中,CH:BH=1:4,BH=12

AB^AG+GH+BH=2y[3+2+12^17.46*17.5（m）

答:引橋橋墩底端A點到起點B之間的距離為17.5m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用問題，熟練的構造直角三角形，并計算各邊的計算是解題的關

鍵.

五、解答題（本大題共2小題,每小題9分，共18分）

23.為了預防新冠肺炎疫情的發(fā)生，學校免費為師生提供防疫物品.某?；?200元購進洗手液與84消毒液

共400瓶,已知洗手液的價格是25元瓶,84消毒液的價格是15元瓶.

求：（1）該校購進洗手液和84消毒液各多少瓶？

（2）若購買洗手液和84消毒液共150瓶,總費用不超過2500元，請問最多能購買洗手液多少瓶？

【答案】（1）該校購進洗手液120瓶，購進84消毒液280瓶；（2）最多能買洗手液25瓶.

【解析】

【分析】

（1）設購進洗手液x瓶，則購進84消毒液為（400-X）瓶，根據(jù)題意得到一元一次方程，故可求解；

（2）設最多能購買洗手液。瓶，根據(jù)題意得到不等式，故可求解.

【詳解】解:⑴設購進洗手液x瓶，則購進84消毒液為（400-X）瓶

依題意得:25x+15（400一x）=7200

解得x=120

4（X）-x=280

答:該校購進洗手液120瓶，購進84消毒液280瓶.

（2）設最多能購買洗手液。瓶

25。+15（150-a）,,2500

解得a425

答：最多能買洗手液25瓶.

【點睛】此題主要考查一元一次方程與不等式的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意找到等量關系或不等關系列式

求解.

24.如圖,，ABCD中,BC=2AB,AB±AC,分別在邊3C、AZ）上的點E與點F關于AC對稱，連接EF、

AE、CF、DE.

（1）試判定四邊形AECF的形狀，并說明理由；

（2）求證：AE1DE

【答案】（1）四邊形AECE為菱形，理由詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可證明乙AO尸也COE,再由0￡=?？?石產，4。可得到四邊形4石。尸是菱形；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質即可求解.

【詳解】解：(1)四邊形AECF為菱形，理由如下

由,A8CO可得AD〃BC，從而NCAF=NACE

設AC與所相交于點。

???點E與點F關于AC對稱

OE=O尸且EFLAC

在?AO尸和.COE中

ZCAF=ZACE

<OE=OF

ZAOF=ZCOE

..AOF^COE

：.OA=OC,又OE=OF,EF±AC

四邊形AECF為菱形，

--------------2---------------D

(2)'：ABLAC,據(jù)(1)EF1.AC

；?EF//AB

又OA=OCBE-CEAF=DF

EF=AB=-BC=-AD=AF=DF

22

AEIDE.

【點睛】此題主要考查菱形的判定與性質，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質、菱形的判定定理及

直角三角形的性質.

六、綜合題(本大題共2小題,每小題10分，共20分)

25.如圖，點C在以AB為直徑的。上，3。平分NA8C交。于點￡>,過。作的垂線，垂足為E.

c

(1)求證:OE與。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求3。的長；

(3)請用線段48、BE表示CE長,并說明理由.

【答案】(1)詳見解析；(2)2亞;(3)CE=A3—BE,理由詳見解析

【解析】

【分析】

⑴連OD，據(jù)題意得OB=OD，根據(jù)平分線的性質，得Z.CBD=NO3O,證明0D〃3C,再根據(jù)DE1BC可

得結果；

(2)根據(jù)A3為；。的直徑可得NADB=90°,證出，DBE^ABD<得到BZ〉=BE，代入數(shù)值求解即

可；

(3)由"BD=ZABD得C￡>=AD,根據(jù)ZADB=90°,ZCED=90°，得到CD2=AD2=AB2-BD2，

DE2=BD2-BE2，聯(lián)立即可得到結果；

【詳解】解：(1)連OD,據(jù)題意得。8=0。，

ZODB=ZOBD,

BO平分NABC,

/CBD=40BD,

ZCBD=ZODB,

；?OD//BC,

又；DEA.BC,

???DE1OD,

/.。石與。。相切.

Q)AB為Q直徑可得：NADB=90°,

據(jù)(1)NCBD=NOBD且NDEB=9()。,

???在￡)BE和△AB。中，

4EBD=ZABD,ZDEB=ZADB,

：?,DBEsABD，

二BD?=ABBE，

又???A8=5,8E=4,

；?BD=V20=275.

(3)CE=AB-BE.

由NEB。=N4BD得CZ)=AD,

,/ZADB=90°,Z.CED=90°,

CD1=AD1=AB2-BD2,

DE2=BD2-BE2>

CE2=CD2-DE2=AB2+BE2-2BD2=(AB-BE)2,

由R/DBE,RtABD得AB>BD>BE，

CE-AB~BE.

【點睛】本題主要考查了圓的綜合應用，結合三角形相似的知識點進行求解是解題的關鍵.

26.如圖,拋物線經過點A(-3,0)、8(1,0)、C(0,3).

(1)求拋物線解析式；

(2)點尸(加,〃)是拋物線上的動點，當一3<()時，試確定m的值,使得「Q4C的面積最大；

(3)拋物線上是否存在不同于點臺的點Q,滿足。針一0c2=6,若存在，請求出點。的坐標;若不存在，

請說明理由.

3

【答案】(l)y=—x2—2x+3；⑵〃?=一5；(3)。(—2,3)

【解析】

【分析】

(1)據(jù)題意可設拋物線的解析式為y=a(x+3)金-1),將點代入C(0,3)解出a,即可求出拋物線的解析式；

(2)先求出直線AC的解析式，然后根據(jù)當-3<m<0時，點P(m,n)在直線AC上方，過點P作x軸的垂線與

線段AC相交于點Q,可將x=，然分別代入y=-/-2》+3和y=x+3得

P(m,-nr-2m+3),Q(m,m+3),從而得出PQ的代數(shù)式，從而可求出m的值；

(3)由題意可得AB=4,O8=1,CO=3,根據(jù)3。2=10，NC4O=45°,可求出84?—BC?=6，連接8C,

過8作AC的垂線交拋物線于點O,交AC于點〃，可得DA?-。C?=〃42_〃。2=期2一8c2=6,根

據(jù)NC4O="84,可得BD與AC關于AB的垂直平分線對稱，即關于拋物線的對稱軸x=—l對稱,即點。

與點C關于拋物線的對稱軸x=-l對稱,從而可求出點D的坐標.

【詳解】解：(1)據(jù)題意可設拋物線的解析式為y=a(x+3)金一1),

將點C(0,3)代入，可得a=T

拋物線的解析式為y=-x2-2x+3-,

(2)設直線AC的解析式為:y=kx+b,

0=-3k+b

將4—3,0）、C（0,3）代入得〈

3=b

k-1

解得

b=3

，直線AC的解析式:y=x+3,

當一3（加＜0時，點Pgn）在直線AC上方,

過點p作X軸的垂線與線段AC相交于點。，

將x=分另ij代入y=-f-2》+3和y=%+3得產(機,一機2-2m+3),Q(m,m+3),

PQ--nr-2m+3-(m+3)

=—nr—3m

(3?9

I2j4

-3<m<0,

3

.?.當且僅當機=一一時，P。取得最大值，

2

13

此時2PAC=5PQX4O=：PQ最大，

._3

??171—----;

2

(3)由4-3,0)、8(1,0)、C(0,3)得AB=4,OB=1,CO=3,

vSC2=10,ZC4(?=45\

/.B^-BC2=6,

連接BC,過B作AC的垂線交拋物線于點。，交AC于點

則ZAHB=90°,/DBA=ZCAO=45°,

DA2-DC2=HA2-HC2=BA2-BC2=6>

?：ZCAO=ZDBA,

???8□與AC關于AB的垂直平分線對稱，即關于拋物線的對稱軸x=-l對稱，

點。與點C關于拋物線的對稱軸x=-l對稱，

又；C（0,3）,

.?.點D的坐標為（-2,3）.

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)的性質，求一次函數(shù)解析式，結合題意，正確添加輔助線,

靈活運用知識點是解題關鍵.

四川省涼山州2020年中考數(shù)學試題

第I卷供60分）

一、選擇題:本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（-1）202。等于（）

A.-2020?B.202OC.-ID1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)負數(shù)的偶次方是正數(shù)可以解答.

【詳解】（-1）2020=1,

故選：D.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方運算，知道-1的奇次方是-1,-1的偶次方是1,是?？碱}型.

2.如圖，下列幾何體的左視圖不是矩形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)左視圖是從物體左面看所得到的圖形，分別得出四個幾何體的左視圖，即可解答.

【詳解】解：A、圓柱的左視圖是矩形，不符合題意；

B、三棱錐的左視圖是等腰三角形，符合題意；

C、三棱柱的左視圖是矩形，不符合題意；

D、正方體的左視圖是矩形（正方形）,不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題主要考查簡單幾何體的三視圖;考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題.

3.點A（2,3）關于x軸對稱的點的坐標是（）

A.（-2,-3）B.（2,-3）C.（2,3）D.（—2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平面直角坐標系內，對稱坐標的特點即可解答.

【詳解】關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標變相反數(shù)

.?.點4（2,3）關于x軸對稱的點的坐標是（2,-3）

故選B

【點睛】本題考查了平面直角坐標系內坐標的對稱，注意關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標變相反數(shù);關

于y軸對稱，橫坐標變相反數(shù)，縱坐標不變；關于原點對稱，橫、縱坐標都變相反數(shù).

4.已知一組數(shù)據(jù)1,0,3,-1,X,2,3的平均數(shù)是1,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是()

A.-1B3C.-1和32.1和3

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)平均數(shù)的定義求出x的值，再根據(jù)眾數(shù)的定義解答即可.

【詳解】解:由題意，得：l+O+3—l+x+2+3=lx7,解得：x=-l,

所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是：-1和3.

故選：C.

【點睛】本題考查了平均數(shù)和眾數(shù)的定義，屬于基礎題型，熟練掌握二者的概念是解題關鍵.

5?—元二次方程x2=2x的解為()

A.x=OB.x=2"C.x=0或x=2D.x=0且x=2

【答案】C

【解析】

【詳解】X2-2X=0,

x(x-2)=0,

%=0或1-2=0,

王=0,x,=2.

故選C.

6.下列等式成立的是()

A.=±9B.|V5—2|=—>/5+2

C.(-1)-'=-2oD.(tan45°-1)°=1

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式、絕對值、負指數(shù)累及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】A.J§T=9,故錯誤；

B.|V5-2|=^-2，故錯誤;

C.(-1)-'=-2,正確；

D.Vtan45°-l=l-l=0,

(tan45。—1)°無意義；

故選C.

【點睛】此題主要考查實數(shù)的運算，解題的關鍵是熟知二次根式、絕對值、負指數(shù)累及特殊角的三角函數(shù)

值.

7.已知一次函數(shù)y=(2m+1)x+m-3的圖像不經過第二象限，則m的取值范圍()

A.m>——B.m<3?C.--<m<3D.——<m<3

222

【答案】D

【解析】

【分析】

一次函數(shù)的圖象不經過第二象限，即可能經過第一，三，四象限，或第一，三象限,所以要分兩種情況.

【詳解】當函數(shù)圖象經過第一，三，四象限時，

2/〃+1>0

,解得:--<m<3.

m-3<02

當函數(shù)圖象經過第一，三象限時,

’2葉1>0

，解得m=3.

m—3=0

---<m<3.

2

故選D.

【點睛】一次函數(shù)的圖象所在的象限由k,b的符號確定：①當k>0,b>0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經過第一,

二，三象限；②當k>O,b<0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經過第一，三，四象限;③當k<0,b>0時，函數(shù)y=kx

+b的圖象經過第一，二，四象限;④當k<0,b<0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經過第二，三，四象限.注意當b=0

的特殊情況.

8.點C是線段AB的中點，點D是線段AC的三等分點.若線段AB=12C7"則線段BD的長為()

A.10cmoB.8cmoC.8cm或1OcmD.2cm或4cm

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意作圖，由線段之間的關系即可求解.

【詳解】如圖，：點C是線段AB的中點，

AC=BC=—AB=6cm

2

2

當AD=—AC=4cm時,CD=AC-AD=2cm

BD=BC+CD=6+2=8cm；

當AD」AC=2cm時,CD=AC-AD=4cm

3

BD=BC+CD=6+4=10cm；

故選C.

【點睛】此題主要考查線段之間的關系，解題的關鍵是熟知線段的和差關系.

9.下列命題是真命題的是（）

A.頂點在圓上的角叫圓周角

B.三點確定一個圓

C.圓的切線垂直于半徑

D.三角形的內心到三角形三邊的距離相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)圓周角的定義、圓的定義、切線的定義，以及三角形內心的性質，分別進行判斷，即可得到答案.

【詳解】解:A、頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫圓周角，故A錯誤；

B、不在同一條直線上的三點確定一個圓，故B錯誤；

C、圓的切線垂直于過切點的半徑，故C錯誤；

D、三角形的內心到三角形三邊的距離相等，故D正確；

故選:D.

【點睛】本題考查了判斷命題的真假，圓周角的定義、圓的定義、切線的定義，以及三角形內心的性質，解

題的關鍵是熟練掌握所學的知識進行判斷.

10.如圖所示，AA3C的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，貝hanA的值為（）

I/?

A.-B.C.2D.2V2

【答案】A

【解析】

【分析】

如圖，取格點E,連接BE,構造直角三角形，利用三角函數(shù)解決問題即可；

【詳解】如圖，取格點E,連接BE,

由題意得:/AEB=90。，BE=0，心血2+22=2也，

??.tan上絲=羋」

AE2722

故答案選A.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的相關知識點，準確構造直角三角形，利用勾股定理求邊是解題的

關鍵.

11.如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內接于.。，則AD：4B=()

c.V3：V2D.73:272

【答案】B

【解析】

分析】

過點0作OW_LBC,ONLAD,設圓的半徑為r,根據(jù)垂徑定理可得△0BM與△ODN是直角三角形,

根據(jù)三角函數(shù)值進行求解即可得到結果.

【詳解】如圖，過點。作設圓的半徑為r,

.?.△OBM與AODN是直角三角形，OD=OB=r,

???等邊三角形ABC和正方形ADEF都內接于O,

4OBM=3U,/ODN=ADON=45°，

???DN=OD.tan45°=—r,BM=OB,cos30°=—r，

22

:,AD=2DN=&r，BC=2BM=^r，

AD:AB=V2r:品=.

故答案選B.

【點睛】本題主要考查了圓的垂徑定理知識點應用，結合等邊三角形和正方形的性質,利用三角函數(shù)求解是

解題的關鍵.

12.二次函數(shù)y=+bx+c的圖象如圖所示，有如下結論：①。〃c、>（）；②2。+8=0;③弘-2c<（）；

@am2+bm>a+b（m為實數(shù)）.其中正確結論的個數(shù)是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

由拋物線的對稱軸公式即可對②進行判斷;由拋物線的開口方向可判斷a,結合拋物線的對稱軸可判斷b,根

據(jù)拋物線與y軸的交點可判斷c,進而可判斷①油圖象可得：當x=3時,y>0,即9a+3b+c>0,結合②的結

論可判斷③；由于當x=l時，二次函數(shù)y取最小值a+b+c,即卬/+力加+c2a+b+c（m為實數(shù)），進一步

即可對④進行判斷，從而可得答案.

【詳解】解：???拋物線的開口向上,

V拋物線的對稱軸是直線X=l,.

2a

.".b<0,2a+b-0^故②正確；

:拋物線與y軸交于負半軸，

；?出七>（）,故①正確；

,/當x=3時,y>0,；.9a+3b+c>0,

19

ci'———b,—b+3h+c>0,

22

整理即得：3b-2c<0,故③正確；

當X=1時，二次函數(shù)y取最小值a+b+C,

+/w/+c2a+/?+c（m為實數(shù)），即+勿〃之。+。（m為實數(shù)），故④正確.

綜上，正確結論的個數(shù)有4個.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、二次函數(shù)與其系數(shù)間的關系等知識，屬于常考題型，熟練掌握

二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵.

第II卷(共90分)

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是.

【答案】x>-1.

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件判斷即可.

【詳解】由于二次根式需要有意義，則x+

故答案為應-1.

【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，關鍵在于牢記基礎知識.

14.因式分解：a3-ah2=.

【答案】a(a+b)(a-b).

【解析】

分析:本題考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.

解析:原式=a(a+b)(a—b).

故答案為a(a+b)(a-b).

15.如圖，OABCO的對角線AC、BD相交于點O,OE//AB交AD于點E,若OA=1,AAOE的周長等

于5,則OABCD的周長等于__________.

【答案】16

【解析】

【分析】

根據(jù)已知可得E為AD的中點，OE是△ABD的中位線，據(jù)此可求得AB,根據(jù)OA=1,A4OE的周長等于

5,可求得具體的結果.

【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD是對角線,

為BD和AC的中點，

又???0E//AB,

/.OEAB,AB=2OE,E為AD的中點，

又：0A=l,AAOE的周長等于5,

，AE+OE=4,

???/〃+四=2（四+龍）=2X4=8,

0ABCD的周長=2（四+腦）=2x8=16.

故答案為16.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，結合三角形中位線定理判定是解題的關鍵.

3

16.如圖，點C、D分別是半圓A0B上的三等分點，若陰影部分的面一萬,則半圓的半徑0A的長為

2

【答案】3.

【解析】

【分析】

3萬

如圖，連接0cCD,證明CO//A8,再證明s扇形00=5陰影=3，從而可以列方程求解半徑?

【詳解】解：如圖，連接OC,OD,CD,

點C、D分別是半圓A0B上的三等分點，

ZAOC=ZCOD=4DOB=60°,

OC=OD,

.?二COD為等邊三角形，

ZOCD=60°,

ZAOCZDCO,

:.CD//AB,

SCOD=SBCD，

S扇形OC0=S陰影=;-，

60萬?OA2_3萬

"-360--T5

解得：。4=3,（負根舍去）,

故答案為：3.

【點睛】本題考查的圓的基本性質，弧，弦，圓心角之間的關系，平行線的判定與性質，扇形面積的計算，掌握

以上知識是解題的關鍵.

17.如圖，矩形OABC的面積為3,對角線。B與雙曲線y=A(Z>0,x>0)相交于點D,且。6：。。=5:3,

X

則k的值為.

Cf------------------RB

?

-C7q*-------A--x

27

【答案】石

【解析】

【分析】

過D作DMJ.OA于M,DN1.OC于N,設D的坐標是(x,y)，根據(jù)矩形的性質和平行線分線段成比例定理

33

求出DM=yAB,DN=^BC,代入矩形的面積即可求出答案.

【詳解】過D作DM_LOA于M,DN_LOC于N,

設D的坐標是(x,y),

則DM=y,DN=x,

VOB：OD=5：3,四邊形是OABC矩形，

AZBAO=90°,

VDM±0A,

JDM〃BA,

AAODM^AOBA,

.DMOP3

.3

ADM=-AB,

5

3

同理DN=gBC,

???四邊形OABC的面積為3,

ABxBC=3,

33927

/.DMxDN=xy=—ABx—BC=—x3=——,

552525

27

B|Jk=xy=—.

27

故答案為：—.

25

【點睛】本題主要考查對矩形的性質，平行線分線段成比例定理，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式等知

33

識點的理解和掌握，能推出DM=gAB和DN=-BC是解此題的關鍵.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

18.解方程:二=1-2x-]

23

【答案】x=X2

【解析】

【分析】

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,依此即可求解.

X-22x—1

【詳解】解：x------=1-------

23

6x-3（x-2）=6-2（2x-l）

6x-3x+6=6-4x+2

6x-3x+4x=6-6+2

7x=2

2

x=-

7

【點睛】本題考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟:去分母、去括號、移項、合并同類項、系

數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應用，各種步驟都是為使方程逐漸向x

=a形式轉化.

19.化簡求值：（2x+3）（2x—3）—（x+2>+4（x+3）,其中

【答案】3X2-1,5

【解析】

【分析】

利用平方差公式，完全平方公式和去括號的法則對原式進行展開化簡，然后將x=正代入求值即可.

【詳解】原式=（4/一9）-（/+4》+4）+4》+12

=4x2-9-x2-4x-4+4x+12

=3X2-1

將x=-72代入得3x2-1=5