2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 第四講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系配套課件

第四講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第七章

平面解析幾何判斷方法相交相切相離幾何法d<rd＝rd>r代數(shù)法Δ>0Δ＝0Δ<0公共點(diǎn)個(gè)數(shù)法2101.直線與圓的位置關(guān)系內(nèi)容內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離幾何法(r<R)d<R－rd＝R－r

R－r<d<R＋rd＝R＋rd>R＋r公切線條數(shù)01234圖形2.兩圓的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】(1)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在的直線方程.(2)直線與圓相交時(shí)，圓心到直線的距離d、半徑r與弦長(zhǎng)l滿(3)圓的切線方程常用結(jié)論①過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系[例1](1)直線

l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A.相交B.相切C.相離D.不確定解析：(方法一，幾何法)∵圓心(0，1)到直線l的距離

(方法二，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法)直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(diǎn)(1，1)， ∵點(diǎn)(1，1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部， ∴直線l與圓相交.消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因?yàn)棣ぃ?6m2＋20>0，所以直線l與圓相交.答案：A(2)若直線x＋my＝2＋m與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.(－∞，＋∞)B.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：由x2＋y2－2x－2y＋1＝0得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因?yàn)橹本€x＋my＝2＋m與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，所以m≠0，即m∈(－∞，0)∪(0，＋∞).答案：D【題后反思】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題.【變式訓(xùn)練】 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：A

2.若直線l：x＋y＝m與曲線C：y＝

有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________.

解析：如圖D71，曲線C：y＝

的圖象為單位圓的上半圓(包含端點(diǎn))，直線l：x＋y＝m的斜率為－1，在y軸上的截距為m.當(dāng)直線l經(jīng)過A(1，0)，B(0，1)兩點(diǎn)時(shí)，m＝1，此時(shí)直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)直圖D71直線l與曲線C有且只有兩個(gè)公共點(diǎn).

考點(diǎn)二圓的切線、弦長(zhǎng)問題考向1圓的弦長(zhǎng)問題答案：A考向2圓的切線問題(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng).

(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴點(diǎn)M在圓C外部.

當(dāng)過點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，所以直線x＝3是圓C的切線.

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－考向3與弦長(zhǎng)有關(guān)的最值和范圍問題[例4]過點(diǎn)(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，則最短弦所在的直線方程為_______________.解析：設(shè)P(3，1)，圓心C(2，2)，則|PC|＝

，半徑r＝2，由題意知最短弦過P(3，1)且與PC垂直，kPC＝－1，所以所求直線方程為y－1＝x－3，即x－y－2＝0.答案：x－y－2＝0【題后反思】(1)弦長(zhǎng)的兩種求法①幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝

②代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).

(2)求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再求切線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過該點(diǎn)的切線有兩條，此時(shí)注意斜率不存在的切線.【考法全練】1.(考向1)(2023年哈爾濱市期末)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，則直線3x＋4y－1＝0被圓截得的弦的長(zhǎng)度為()答案：D2.(考向2)(2023年全國(guó)Ⅰ卷)過點(diǎn)(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝()圖D72答案：B

3.(考向3)(一題兩空)(2022年溫州市模擬)已知圓C：(x－1)2＋y2＝25與直線l：mx＋y＋m＋2＝0，若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則m＝_______；當(dāng)m＝_______時(shí)，圓C被直線l截得的弦長(zhǎng)最短.

解析：∵圓C：(x－1)2＋y2＝25關(guān)于直線l：mx＋y＋m＋2＝0對(duì)稱，則圓心(1，0)在直線l：mx＋y＋m＋2＝0上，故有m＋0＋m＋2＝0，求得m＝－1.由于直線l：mx＋y＋m＋2＝0，即m(x＋1)＋y＋2＝0，經(jīng)過定點(diǎn)M(－1，－2)，故當(dāng)CM和直線l垂直時(shí)，＝－1，求得m＝1.答案：－11考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系[例5]已知兩圓x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？(3)當(dāng)m＝45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).解：因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝9，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，

(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－22＝0. 故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為【題后反思】(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2

項(xiàng)得到.【變式訓(xùn)練】1.(多選題)圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交點(diǎn)為A，B，則有()A.公共弦AB所在的直線方程為x－y＝0B.線段AB的中垂線方程為x＋y－1＝0答案：ABD所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，化簡(jiǎn)得x2＋(y－1)2＝4.所以點(diǎn)M的軌跡是以(0，1)為圓心，2為半徑的圓.因?yàn)镸在圓C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以兩圓必須內(nèi)切、相交或外切.又兩圓半徑之差為2－1＝1，半徑之和為2＋1＝3，所以兩圓心之間的距離的取值范圍為[1，3].a的取值范圍為[0，3].答案：[0，3]3.(2022年全國(guó)Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程____________________.

解析：圓x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為O(0，0)，半徑r1＝1.圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心坐標(biāo)為C(3，4)，半徑r2＝4，如圖D73.圖D73

綜上所述，與圓x2＋y2＝1和圓(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的直線方程為x＝－1，3x＋4y－5＝0以及7x－24y－25＝0.答案：x＝－1或3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0⊙阿波羅尼斯圓

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓.如圖7-4-1，點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝λ|PB|.則λ＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)λ＞0且λ≠1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.圖7-4-1證明：設(shè)|AB|＝2m(m＞0)，|PA|＝λ|PB|，如圖7-4-2，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，圖7-4-2則A(－m，0)，B(m，0).

[例6]在平面直角坐標(biāo)系中，A(－2，0)，B(2，0)，則滿足|PA|＝2|PB|的點(diǎn)P的軌跡的圓心坐標(biāo)為________________.