2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 第六講 空間坐標(biāo)系與空間向量配套課件

第六講空間坐標(biāo)系與空間向量2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第六章

立體幾何名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量1.空間向量的有關(guān)概念2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.

(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).項(xiàng)目向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夾角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量. (2)平面的法向量：直線l垂直于平面α，直線l的方向向量a叫做平面α的法向量.位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l

αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝05.空間位置關(guān)系的向量表示【常用結(jié)論】

考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算1.如圖6-6-1，在三棱錐O-ABC中，M，N分別是OA，BC的列表示正確的是()圖6-6-1答案：D圖6-6-2解析：如圖D53，連接ON.圖D53【題后反思】用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.考點(diǎn)二共線定理、共面定理的應(yīng)用[例1]如圖6-6-3，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn). (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面； (2)求證：BD∥平面EFGH.圖6-6-3圖6-6-4由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD

平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【題后反思】證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較【變式訓(xùn)練】圖6-6-5

2.如圖6-6-6，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4，E，F(xiàn)，G分別為棱DD1

，A1D1，BB1的中點(diǎn).(2)求證：C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.圖6-6-6

(1)解：以

A為原點(diǎn)，AD，AA1，AB所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖D54所示的空間直角坐標(biāo)系.

C(2，0，2)，E(2，2，0)，F(xiàn)(1，4，0)，G(0，2，4).圖D54

考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

[例2]如圖6-6-7所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn). (1)求證：EG⊥AB； (2)求EG的長；(3)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.圖6-6-7【題后反思】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【變式訓(xùn)練】已知A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).(2)設(shè)a＝(x，y，z)，所以向量a的坐標(biāo)為(1，1，1)或(－1，－1，－1).考點(diǎn)四向量法證明平行、垂直

[例3]如圖6-6-8，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角.求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.圖6-6-8證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖6-6-9所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.圖6-6-9∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，(1)設(shè)n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，又∵PA∩DA＝A，PA，DA?平面PAD，∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.平行關(guān)系證明方法線線平行兩直線的方向向量平行線面平行平面外直線的方向向量與平面的法向量垂直面面平行兩平面的法向量平行【題后反思】(1)用向量證明平行的方法垂直關(guān)系證明方法線線垂直兩直線的方向向量垂直線面垂直直線的方向向量與平面的法向量平行面面垂直兩個平面的法向量垂直(2)用向量證明垂直的方法

【變式訓(xùn)練】

如圖6-6-10所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn). (1)求證：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，請說明理由.圖6-6-10

(1)證明：以

A

為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖D55所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)|AB|＝a，則圖D55BCEF？若存在，求出

⊙用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索性問題

[例4]如圖6-6-11，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求證：AC⊥BF；圖6-6-11(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面的值；若不存在，請說明理由.

(1)證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.

過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB.∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.圖6-6-12

假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B，E重合，設(shè)平面PAC的法向量為m＝(x，y，z).【題后反思】解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理.

(2)探索性問題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)：①空間中的點(diǎn)可設(shè)為(x，y，z)；②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個坐標(biāo)為0，如Oxy面上的點(diǎn)為(x，y，0)；③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個坐標(biāo)為0，如z軸上的點(diǎn)為(0，0，z)；④直線接利用向量運(yùn)算.【高分訓(xùn)練】(2021年泰安市一模)如圖6-6-13，在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2，E，G分別為PC，PA的中點(diǎn). (1)求證：平面BCG⊥平面PAC； (2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)N，使PN⊥BE？證明你的結(jié)論.

圖6-6-13(1)證明：∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PB，又AB⊥BC，AB∩BP＝B，∴BC⊥平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥PA.又∵AB＝PB＝2，△PAB為等腰直角三角形，G為斜邊PA的中點(diǎn)，∴BG⊥PA，又BG