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【摘要】代數(shù)作為數(shù)學的一個專有名詞,在中學數(shù)學中占有極其重要的地位,也是中學數(shù)學學習的主要部分,該類題目抽象繁瑣,靈活多變,知識點環(huán)環(huán)相扣。本文從代數(shù)角度出發(fā),通過分析近年中高考和初高中數(shù)學競賽以及各地模擬試題,歸納整理出幾種利用構造法求解代數(shù)題的方法,希望這篇文章能對解決中學代數(shù)問題提供一些幫助?!娟P鍵詞】構造;代數(shù);轉(zhuǎn)化【收稿日期】2023年7月21日【出刊日期】2023年9月15日【DOI】10.12208/j.aam.20230015Skillfullyusetheconstructionmethodstosolvealgebraicproblems【Abstract】Algebraisaproperterminmathematics,anditplaysasignificantroleinmiddleandhighschoolmathematics.Itisalsothemainpartofjuniorandseniorschoolmathematicsstudy.Algebraproblemsareabstract,complicated,flexibleandchangeable.Theknowledgeofalgebraisalsointerlinked.Byanalyzingthejuniorandseniorschoolentranceexamination,themathematicscompetitionofmiddleandhighschoolandthesimulationtestquestionsfromdifferentregionsinrecentyears,thispapersumsupseveralmethodsofsolvingalgebraicproblemswiththeconstructionmethods.Ihopethisarticlecanprovidesomehelptosolvetheproblemsofmiddleandhighschoolalgebra.【Keywords】Construct;Algebra;Transform在中學數(shù)學中,知識點星羅棋布、繁星點點。初中代數(shù)包含代數(shù)式、實數(shù)、函數(shù)初步、不等式、方程、統(tǒng)計初步等知識,這與高中數(shù)學所包含的函數(shù)與幾何、基本初等函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計與概率、基本不等式、復數(shù)、三角函數(shù)、導數(shù)與極限等知識有著緊密直接的聯(lián)系。構造法在眾多代數(shù)難題和競賽題中經(jīng)常見到它的身影,其靈活多變,思路巧妙,解法精湛,往往能將問題化繁為簡。在利用構造法求解一些難度較高的代數(shù)題時,應先觀察題目特征、聯(lián)想相關知識、類比推理才能跳出題外,高屋建瓴,柳暗花明。反過來,學生在利用構造法解決代數(shù)或?qū)嶋H問題的過程中,其建模能力、構造能力也在潛移默化中得到提升,兩者相輔相成,進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和解題能力。本文筆者圍繞幾種常見的構造方法,探究構造法在解代數(shù)題中的妙用,給讀者提供一些參考價值。1構造法及其實質(zhì)構造法,顧名思義,主要是依據(jù)已有的條件與結論之間的關系,進行推理,構造滿足題目結論的數(shù)學對象,并通過新構造出來的數(shù)學對象高效、簡便地解決較為復雜數(shù)學問題的方法[1]。它具有直觀性、不確定性、多樣性、靈活性和可操作性。構造法作為一種數(shù)學方法,它是將題設條件與待證結論搭建起一種溝通作用的具有創(chuàng)造性的方法。其本質(zhì)特征就是“構造”,而利用構造法求解代數(shù)題的關鍵在于根據(jù)題目需要構造出與題設條件相關但沒有給出(或隱藏在題設條件中)的數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式、圖形或者命題等。2幾種常見的構造方法2.1構造方程方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系、聯(lián)系“已知”與“未知”的重要數(shù)學模型。它在解題中是一種重要的工具,在很多數(shù)學問題,通過觀察通過它們的數(shù)量關系,可以架起“已知”與“未知”的橋梁,建立起方程,從而使問題變得迎刃而解。例12002年湖北省武漢市初中數(shù)學競賽)已知x3+ax2+bx+8有兩個因式x+1和x+2,求a+b。+ax2+bx+8是一個3次3項式,因為題設條件告訴我們有兩個因式x+1和x+2,根據(jù)3次3項式的定義,我們不妨設另外一個因式為x+c,則有:x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c)=x3+(c+3)x2+(3c+2x)+2c通過觀察等式兩邊可得,化簡可求出a+b=21。2.2構造函數(shù)函數(shù)作為一種重要的數(shù)學模型,不僅可以用來描述事物的變化情況,而且初高中的一個重要的概念和知識點,函數(shù)的思想和方法貫穿了中學的全部數(shù)學內(nèi)容,在中高考中起著舉足輕重的作用。構造函數(shù)是指借助構造輔助函數(shù)達到對某一種或某一類問題的求解的一種方法。若涉及到證明不等式、最值問題、求自變量的取值范圍等問題,我們往往傾向于構造輔助函數(shù),利用函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、值域、連續(xù)性、有界性等性質(zhì)加以分析判斷,合理地構造相應的函數(shù)并利用所構造的函數(shù)特點和性質(zhì)來巧妙地解決問題。例2:已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2,試證,lnx+1>y=lnx+1-的單調(diào)性,進而很難求出其最小值。我們不妨將不等式左右兩邊分開來進行單獨分析,將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值問題,分別求出左右兩邊函數(shù)的最值,然后再進行判斷。證明:將不等式左右兩邊同時乘以x可得xlnx+x>:p(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間區(qū)間上單調(diào)遞增,于是,所以pmin>qmax,(0,+∞),p(x)≥p(x)min>q(x)max≥q(x),故所證不等式成立。評注:該方法的思路分別對不等式左右兩邊的式子進行處理,將較復雜的不等式兩邊分解成兩個簡單的函數(shù),再通過進行求導求出兩邊函數(shù)的最值進而進行判斷。但這種方法具有較強的局限性,需要保證不等式f(x)min>g(x)max成立,否則不易進行判斷求證。2.3構造不等式不等式是中學數(shù)學中常見的題型,作為一大分支,近幾年來,在新課改的背景下,各類不等式問題層出不窮,在中高考、數(shù)學競賽中非常熱門,常常作為壓軸題出現(xiàn),譬如導數(shù)、三角函數(shù)、最值問題,甚至在一些幾何證明題也會運用到不等式的知識。靈活應用不等式,就可以輕而易舉的解決大多數(shù)數(shù)學問題。一般不等式問題可以圍繞最值問題、不等式證明等來出題,針對此類問題,均值不等式、柯西不等式是研究此類問題的強有力的工具,也是求解各類最值問題和不等式證明問題的有效依據(jù)和方法。例3江蘇揚州2022期末)已知x>0,y>0,且滿足x+y=1,求的最小值。當且僅當取等號yx即x=5-2·,y=2-4取等號,評注:本題為利用基本不等式求解最值問題,關鍵就是利用已知條件構造代數(shù)式將轉(zhuǎn)化為a+b≥2的形式,通過大膽嘗試,小心求證,我們將分式中的分子轉(zhuǎn)化x+2y+3x+3y進而消去3得到再將此代數(shù)式與x+y相乘,構造基本不等式從而簡化問題得出最小值。yx由柯西不等式得:則a+b≤當且僅當b=2a,2a2+b2=5,則f(x)=+的最大值為。求a+b的最大值,此問題與柯西不等式具有相似的結構特征,由此可聯(lián)想到柯西不等式來求解。2.4構造數(shù)列根據(jù)題目要求構建新的數(shù)列來求解問題的一種方法叫做構造數(shù)列法。在繼高中學習基本初等函數(shù)后,數(shù)列的學習以等差數(shù)列和等比數(shù)列為主。數(shù)列是一種特殊的函數(shù),其包含了很多的性質(zhì),它既是數(shù)學知識中的一個重點,也是一個難點,高考的必考內(nèi)容。從已知條件出發(fā),通過構造數(shù)列可以解決求值問題、三角函數(shù)、證明不等式等問題。在此過程中,綜合應用數(shù)列概念、性質(zhì)、等差中項、等比中項以及數(shù)列相加減等知識,對一些較為困難的數(shù)學問題進行了合理的解決。本小節(jié)以高中知識為載體,通過構造等差、等比數(shù)列去解一些代數(shù)問題,生動形象地展現(xiàn)數(shù)學之美。例5:若c>0,a,b為非零實數(shù)且滿足4a2-2ab+4b2-c=0,當i2a+b取最大值時,求-+的最小值。解:令2a+b=t,將2ab當作等差數(shù)列中連續(xù)的三項,設其公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),有,將其帶入4a2-2ab+4b2-c=0中,得6d2+3td+t2-c=0,根據(jù)題意易知一5元二次方程有實數(shù)解,則Δ=(3t)2-4×6(t2-c)≥0,解得t≤52-2因此,最小值為-2。評注:這是三元函數(shù)求最值問題,若采用常規(guī)方法求解,過程較為繁瑣,難度較大。通過觀察,可抓住題目中的條件2a+b,令2a+b=t,利用等差中項構造等差數(shù)列,并用b來表示a和c,將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題從而簡化問題進行求解。 2-12-1證明:本題所給條件及所證不等式中含有π這兩個特征。因為an>0,不妨考慮構造數(shù)列an=tan,其中將其帶入化簡可得=tan則 0以n-1=因為當時,有tanx>x,所以an=tan2.5構造三角函數(shù)模型求代數(shù)式的值正弦定理和余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理,它也是求解代數(shù)問題的好幫手。利用正弦、余弦定理“雙劍合璧”可以解決許多代數(shù)問題。在近幾年高考數(shù)學中,此部分重點考察其工具性和應用性。當代數(shù)或者方程具有與正余弦定理公式相似的結構特征時,利用正余弦定理,建立三角形模型進行求解。這種方法簡捷明快、思路巧妙、頗具新意。下面舉例說明。 例72021年中科大創(chuàng)新實驗班初試題)已知x2+y2=x2+z2+·3xz=y2+z2+yz=16,求 解:由已知條件可聯(lián)想到余弦定理,由16=42,可構造一個邊長為4的等邊三角形ΔABC,設P為ΔABC內(nèi)一個定點,連接PA,PB,PC,不妨設PA=x,PB=y,PC=z,在ΔPBC中,由y2+z2+yz=42,可得y2+z2-42=-yz,也即=-,評注:本題利用已知條件三個連等式,利用條件中16=42巧妙構造等邊三角形,其中運用到了勾股定理,余弦定理和三角形面積公式等知識一步步求出代數(shù)式的值,十分巧妙。22-證明:設ΔABC的三邊x,y,z的對應角分別為A,B,C則:根據(jù)余弦定理可知整理就可得到。評注:本題構造三角函數(shù)模型來解不等式,整個過程先利用三角恒等變換并“放縮”得到cosA+cosB+cosC≤再利用余弦定理最終得到不等式,整個過程充分體現(xiàn)了“構造”的魅力。本題計算過程有些復雜,需有較厚的數(shù)學功底,計算時要認真仔細。2.6構造幾何圖形代數(shù)和幾何是數(shù)學中有機不可分割的部分,他們的結合為我們展現(xiàn)了一種新的力量,在求解代數(shù)問題中的“數(shù)形結合”,“以形助數(shù)”可謂是一道美麗的風景線。有些代數(shù)題常以創(chuàng)新的嶄新形式出現(xiàn),初見此類問題,我們常感到?jīng)]有思路,無從下手,較難洞悉問題的本質(zhì)[5]。此時如能仔細分析已知條件和求解的式子的特征,構建幾何模型的方法,便能夠化繁為簡,實現(xiàn)問題的解答。而運用幾何圖形的關鍵是喚醒學生對代數(shù)式幾何意義的主觀感知,這就要求學生能夠全面、綜合、多方位地掌握數(shù)學的基本概念,能夠根據(jù)代數(shù)式結構特點,用直觀的方式構造出一種能夠把代數(shù)和幾何兩個部分聯(lián)系在一起的幾何圖形,下面舉例說明。的值域。解:原函數(shù)可變?yōu)檫@樣可視為動點到直線x-y+2=0的距離P點的軌跡為半圓x2+y2=1(0≤y≤1),如圖1所示:過原點O作直線x-y+2=0的垂線,分別交半圓、直線于P、R兩點,易求的點。觀察函數(shù)圖象,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,因為PR=OR-OP=-1,則函數(shù)的值域為,則函數(shù)y的值域為評注:本題以形助數(shù),將函數(shù)的分子的常數(shù)項移到右這樣就可以看做是一動點到直線x-y+2=0的距離,這樣我們就將求函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為點到直線距離問題,進而簡化問題進行求解。解:將方程組化為 如圖2所示,構造直角三角形ABC,設AB=·3,AC=1,BC=2,點O為三角形內(nèi)的一點,令OA=x,OC=y,OB=z,22評注:題干方程組為三元二次方程組不易求出各個未知數(shù)的值,但發(fā)現(xiàn)x,y,z均以二次形式出

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