同濟大學高等數(shù)學上課件二重積分的計算

同濟大學高等數(shù)學上課件二重積分的計算當被積函數(shù)均非負在D上變號時,因此上面討論得累次積分法仍然有效、由于機動目錄上頁下頁返回結束說明:(1)若積分區(qū)域既就是X–型區(qū)域又就是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序、則有(2)若積分域較復雜,可將她分成若干X-型域或Y-型域,則機動目錄上頁下頁返回結束例1、計算其中D就是直線y＝1,x＝2,及y＝x所圍得閉區(qū)域、解法1、將D看作X–型區(qū)域,則解法2、將D看作Y–型區(qū)域,則機動目錄上頁下頁返回結束例2、計算其中D就是拋物線所圍成得閉區(qū)域、解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則機動目錄上頁下頁返回結束例3、計算其中D就是直線所圍成得閉區(qū)域、解:由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序、機動目錄上頁下頁返回結束例4、交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機動目錄上頁下頁返回結束例5、計算其中D由所圍成、解:令(如圖所示)顯然,機動目錄上頁下頁返回結束對應有二、利用極坐標計算二重積分在極坐標系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點得小區(qū)域外,小區(qū)域得面積在內取點及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機動目錄上頁下頁返回結束10大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流即機動目錄上頁下頁返回結束設則特別,對機動目錄上頁下頁返回結束若f≡1則可求得D得面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點,試答:問

得變化范圍就是什么?(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結束例6、計算其中解:在極坐標系下原式得原函數(shù)不就是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標計算、機動目錄上頁下頁返回結束注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用得反常積分公式事實上,當D為R2時,利用例6得結果,得①故①式成立、機動目錄上頁下頁返回結束例7、求球體被圓柱面所截得得(含在柱面內得)立體得體積、解:設由對稱性可知機動目錄上頁下頁返回結束定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:就是一一對應得,機動目錄上頁下頁返回結束證:根據(jù)定理條件可知變換T可逆、

用平行于坐標軸得直線分割區(qū)域任取其中一個小矩形,其頂點為通過變換T,在xoy面上得到一個四邊形,其對應頂點為則機動目錄上頁下頁返回結束同理得當h,k充分小時,曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機動目錄上頁下頁返回結束因此面積元素得關系為從而得二重積分得換元公式:例如,直角坐標轉化為極坐標時,機動目錄上頁下頁返回結束例8、計算其中D就是x軸y軸和直線所圍成得閉域、解:令則機動目錄上頁下頁返回結束例9、計算由所圍成得閉區(qū)域D得面積S、解:令則機動目錄上頁下頁返回結束例10、試計算橢球體解:由對稱性令則D得原象為得體積V、機動目錄上頁下頁返回結束內容小結(1)二重積分化為累次積分得方法直角坐標系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結束則(2)一般換元公式且則極坐標系情形:若積分區(qū)域為在變換下機動目錄上頁下頁返回結束(3)計算步驟及注意事項?畫出積分域?選擇坐標系?確定積分序?寫出積分限?計算要簡