專題2.12第2章軸對稱圖形單元測試（培優(yōu)提升卷）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生培優(yōu)題典

【講練課堂】20222023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題2.12第2章軸對稱圖形單元測試（培優(yōu)提升卷）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分150分，試題共27題．選擇8道、填空10道、解答9道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022?宿豫區(qū)校級開學(xué)）如圖圖案中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱的定義，結(jié)合各選項所給圖形進行判斷即可．【解析】A、這個圖形不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、這個圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、這個圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、這個圖形是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：A．2．（2021秋?盱眙縣期末）如果等腰三角形兩邊長是5cm和2cm，那么它的周長是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm【分析】因為題中沒有說明已知兩邊哪個是底，哪個是腰，所以要分情況進行討論．【解析】當三邊是2cm，2cm，5cm時，不符合三角形的三邊關(guān)系；當三角形的三邊是5cm，5cm，2cm時，符合三角形的三邊關(guān)系，此時周長是5+5+2＝12cm．故選：D．3．（2021秋?靖江市期末）已知a，b是△ABC的兩條邊長，且a2+b2﹣2ab＝0，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．不確定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，結(jié)合a，b是△ABC的兩條邊長，即可得出△ABC為等腰三角形．【解析】∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的兩條邊長，∴△ABC為等腰三角形．故選：A．4．（2021秋?灌云縣期中）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC的三條中線的交點 B．△ABC三條角平分線的交點 C．△ABC三條高所在直線的交點 D．△ABC三邊的中垂線的交點【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點．由此即可確定涼亭位置．【解析】∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點．故選：B．5．（2022?建湖縣一模）如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)“兩圓一線”畫圖找點即可．【解析】如圖，C點與P、Q、R重合時，均滿足△ABC是等腰三角形，故選：C．6．（2022春?阜寧縣期末）如圖將長方形ABCD沿EF折疊，B、C分別落在點H、G的位置，延長EH交邊CD于點M．下列說法不正確的是（）A．∠1＜∠2 B．∠2＝∠3 C．∠MEB＝2∠2 D．∠2與∠4互補【分析】過點F作FN⊥EH，垂足為N，且點N在線段EH上，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB∥CD，∠B＝90°，再根據(jù)折疊可得：∠B＝∠GHE＝90°，從而可得GH∥FN，進而可得∠1＝∠MFN，即可判斷A；根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)即可判斷B和C；根據(jù)平角定義即可判斷D．【解析】過點F作FN⊥EH，垂足為N，且點N在線段EH上，∴∠FNE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，由折疊得：∠B＝∠GHE＝90°，∴∠GHE＝∠FNE＝90°，∴GH∥FN，∴∠1＝∠MFN，∵∠2＝∠MFN+∠EFN，∴∠1＜∠2，故A不符合題意；∵AB∥CD，∴∠2＝∠FEB，由折疊得：∠FEB＝∠3，∴∠2＝∠3，故B不符合題意；∵∠FEB＝∠3，∴∠MEB＝2∠3，∵∠3＝∠2，∴∠MEB＝2∠2，故C不符合題意；∵ME≠EF，∴∠2≠∠EMF，∵∠4+∠EMF＝180°，∴∠4與∠2不一定互補，故D符合題意；故選：D．7．（2022春?海門市期末）已知射線OC平分∠AOB，點P、M、N分別在射線OC、OA、OB上，且PM＝PN，PE⊥OA于點E，若∠PNO＝110°，則∠EPM的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．55° D．70°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和ASA證明△MOP≌△NOP，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)進行解答即可．【解析】連接MN，∵射線OC平分∠AOB，PM＝PN，∴OP⊥MN，∠MOP＝∠NOP，∴∠MPO＝∠NPO，在△MOP與△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（ASA），∴∠OMP＝∠PNO＝110°，∴∠EPM＝∠OMP﹣∠OEP＝110°﹣90°＝20°．故選：A．8．（2020秋?海安市月考）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【分析】①利用等邊對等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP．【解析】①如圖1，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點O是線段AD上一點，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖2，在AC上截取AE＝PA，連接PE，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正確；本題正確的結(jié)論有：①③④故選：A．二．填空題（共10小題）9．（2022?興化市一模）頂角為80°的等腰三角形的底角為50°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進行解答即可．【解析】∵等腰三角形的頂角為80°，∴這個等腰三角形的底角＝（180°﹣80°）＝50°．故答案為：50°．10．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）若一個圖形是軸對稱圖形，則這個圖形可以是等腰三角形（答案不唯一）（寫出一個答案即可）．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【解析】若一個圖形是軸對稱圖形，則這個圖形可以是等腰三角形．故答案為：等腰三角形（答案不唯一）．11．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點，若AB＝6，則CD＝3．【分析】在Rt△ABC中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求出CD的長．【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點，AB＝6，∴CD＝AB＝×6＝3．故答案為：3．12．（2022?如皋市模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于點D，AD＝3，則BC＝9．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD，計算即可．【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，又∠C＝30°，∴CD＝2AD＝6，∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，∴∠BAD＝30°，∴∠DAB＝∠B，∴BD＝AD＝3，∴BC＝BD+CD＝9，故答案為：9．13．（2018秋?灌云縣月考）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，連接AD．若AC＝4cm，△ADC的周長為11cm，則BC的長為7cm．【分析】由AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD＝BD，又由△ADC的周長為11cm，即可求得AC+BC＝11cm，然后由AC＝4cm，即可求得BC的長．【解析】∵AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，∴AD＝BD，∵△ADC的周長為11cm，∴AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝11cm，∵AC＝4cm，∴BC＝7cm．故答案為：7．14．（2020?溧陽市一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，等邊△ABC的頂點B、C分別在直線l2、l3上，若邊BC與直線l3的夾角∠1＝25°，則邊AB與直線l1的夾角∠2＝35°．【分析】先根據(jù)∠1＝25°得出∠3的度數(shù)，再由△ABC是等邊三角形得出∠4的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】∵直線l1∥l2∥l3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案為：35°．15．（2022?常州二模）如圖、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，連接AD，DC．則∠BDC的度數(shù)為130°．【分析】延長AD到點E，使得AE＝BC，證得DBC≌△CAE，設(shè)∠CDE＝∠CED＝α，表示出∠BDC＝∠ACE＝100°+α，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得已知角即可．【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∵BD＝AB，∴∠ADB＝∠DAB＝80°，延長AD到點E，使得AE＝BC，∵BD＝AB＝AC，∠CAD＝∠DBC，∴△DBC≌△CAE（SAS），∴CD＝CE，∠BDC＝∠ACE，∴∠CDE＝∠CED＝α，∵∠ADB＝80°，∴∠BDE＝100°，∴∠BDC＝∠ACE＝100°+α，∴20°+100°+α+α＝180°，∴α＝30°，∴∠BDC＝130°，故答案為：130．16．（2022?邳州市一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延長AB到點D，使BD＝BC，連接CD，若AC＝2，則CD的長為．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解∠ACB＝∠A＝30°，再證明△BCD為等邊三角形，可求得∠ACD＝90°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AD＝2CD，再利用勾股定理可求解CD的長．【解析】∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝60°，∵BD＝BC，∴△BCD為等邊三角形，∴∠D＝∠BCD＝60°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝2CD，∵AC2+CD2＝AD2，AC＝2，∴22+CD2＝（2CD）2，解得CD＝．故答案為：．17．（2022春?儀征市期中）如圖，一張足夠長的紙條，AD∥BC，∠MNC＝64°．第1次折疊使NC與NM重合，折痕NE1．將紙條展開后再第2次折疊，使NC與NE1重合，折痕NE2，將紙條展開后第3次折疊，使NC與NE2重合，折痕NE3…依此類推，第6次折疊后，∠ME6N＝1°．【分析】由折疊的性質(zhì)折疊n次可得∠EnNnEn+1，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和及補角性質(zhì)可得答案．【解析】由折疊的性質(zhì)折疊n次可得∠EnNnE＝，∴∠ME6N＝（）°＝1°，故答案為：1°．18．（2022?天寧區(qū)校級一模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，AD是其底邊BC上的高，點E是AD上的一點，以CE為邊向上作等邊△CEF，連接BF．則∠CBF的度數(shù)為30°．【分析】連接BE并延長交CF于點H，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD是BC的垂直平分線，從而可得EB＝EC，進而可得∠EBC＝∠ECB，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠FEC＝60°，EF＝EC，從而可得EF＝EB，進而可得∠FBE＝∠EFB，最后利用三角形外角的性質(zhì)可得∠FEC＝2∠FBC，進行計算即可解答．【解析】連接BE并延長交CF于點H，∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵△EFC是等邊三角形，∴∠FEC＝60°，EF＝EC，∴EF＝EB，∴∠FBE＝∠EFB，∵∠FEH＝∠FBE+∠EFB，∠CEH＝∠EBC+∠ECB，∴∠FEC＝∠FEH+∠CEH＝∠FBE+∠EFB+∠EBC+∠ECB＝2∠FBE+2∠EBC＝2∠FBC，∴∠FBC＝∠FEC＝30°，故答案為：30°．三．解答題（共9小題）19．（2022?宿豫區(qū)校級開學(xué)）在圖①補充2個小方塊，在圖②、③、④中分別補充3個小方塊，分別使它們成為軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．【解析】作軸對稱圖形如下（答案不唯一）：20．（2021秋?如皋市期末）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的7×12的網(wǎng)格中，A，B均為格點（網(wǎng)格線的交點）．（1）作線段A′B′，使A′B′與線段AB關(guān)于直線l對稱；（2）連接BB′，僅用無刻度的直尺在BB′上找一點C，使得AC+B′C＝BB′．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作線段A′B′，使A′B′與線段AB關(guān)于直線l對稱；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可在BB′上找一點C，使得AC+B′C＝BB′．【解析】（1）如圖，線段A′B′即為所求；（2）如圖，點C即為所求．21．（2021秋?射陽縣校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．求證：MN＝BM+CN．【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，利用等量代換可∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，然后根據(jù)等角對等邊得到BM＝MO，ON＝CN，再根據(jù)角的和差即可證明．【解答】證明：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，∴BM＝MO，ON＝CN，∴MN＝MO+ON＝BM+CN．22．（2022春?丹徒區(qū)月考）如圖，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，AB⊥BC于B，∠1+∠2＝90°．求證：DC⊥BC．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂直的定義、三角形內(nèi)角和，可以得到∠DCE的度數(shù)，從而可以證明結(jié)論成立．【解答】證明：∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∴∠ABE＝90°，∠AED＝90°，∠4+∠1＝90°，∴∠3+∠6＝90°，∠6+∠5＝90°，∴∠3＝∠5，∴∠4+∠5＝90°，∴∠DCE＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°，∴DC⊥BC．23．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E，求∠DBC的度數(shù)．【分析】分別求出∠ABC，∠ABD，可得結(jié)論．【解析】∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°，∵AB的垂直平分線MN交AC于D，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．24．（2021秋?沛縣期中）如圖，在等邊△ABC中，點D在邊BC上，過點D作DE∥AB交AC于點E，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．（1）求∠F的度數(shù)；（2）求證：DC＝CF．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)求出∠EDC，再由三角形的內(nèi)角和定理解決問題即可．（2）證△DEC是等邊三角形，得CE＝CD，再證∠CEF＝∠F＝30°，得EC＝CF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴△DEC是等邊三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F+∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，∴CD＝CF．25．（2018秋?常熟市期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為AC上一點，且滿足AD＝BD＝BC．點E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF．（1）求∠BAC和∠ACB的度數(shù)；（2）求證：△ACF是等腰三角形．【分析】（1）設(shè)∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得；（2）依據(jù)E是AB的中點，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，進而得出∠BAF＝∠ABF，依據(jù)∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根據(jù)∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，進而得到AC＝CF．【解析】（1）設(shè)∠BAC＝x°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝x°，∴∠BDC＝2x°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，解得：x＝36，則∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；（2）∵E是AB的中點，AD＝BD，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF為等腰三角形．26．（2021秋?泰興市月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC上，且BD＝CE，BE＝CF．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）猜想：當∠A滿足什么條件時，△DEF是等邊三角形？并說明理由．【分析】（1）首先根據(jù)條件證明△DBE≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE＝FE，進而可得到△DEF是等腰三角形；（2）∠A＝60°時，△DEF是等邊三角形，首先根據(jù)△DBE≌△ECF，再證明∠DEF＝60°，可以證出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝60°時，△DEF是等邊三角形，理由：∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B要△DEF是等邊三角形，只要∠DEF＝60°．所以，當∠A＝60°時，∠B＝∠DEF＝60°，則△DEF是等邊三角形．27．（2022春?邗江區(qū)期末）如