第24講相似三角形壓軸題（六大壓軸母題型）（原卷版）-2023年新九年級數(shù)學(xué)暑假課（北師大版）

第24講相似三角形壓軸題（六大壓軸母題型）一、折疊問題；二、坐標(biāo)問題；三、動點問題；四、旋轉(zhuǎn)問題；五、與特殊四邊形有關(guān)的幾何問題；六、綜合判斷題1．如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點在線段上移動時，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．2．綜合與實踐綜合與實踐課上，同學(xué)們以“四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

操作判斷(1)操作一：如圖1，將正方形紙片沿對角線折疊，然后將紙片展開；操作二：依次將邊，折到對角線AC上，折痕分別為，，使點，分別落在對角線上的點，處，將紙片展開，連接，．根據(jù)以上操作，易得出結(jié)論：四邊形的形狀是______．遷移探究(2)如圖2，將正方形紙片換成矩形紙片，按照（1）中的方式操作，繼續(xù)探究．①小明認(rèn)為此時四邊形的形狀仍然符合（1）中的結(jié)論，你認(rèn)為小明的說法正確嗎？請說明理由；②小亮認(rèn)為可以通過改變矩形與的比值，讓四邊形成為菱形，你認(rèn)為小亮說法正確嗎？請簡述理由．拓展應(yīng)用(3)在（2）的條件下，若，當(dāng)，分別是線段的三等分點時，請直接寫出四邊形的面積．3．已知：正方形邊長為2．點為邊上的動點，以直線為對稱軸翻折得（如圖）．連接，取中點，連接．

(1)當(dāng)翻折后，若點剛好落在對角線上，求此時的長度．(2)當(dāng)點P由A運動到D時，求點M的運動軌跡的長度．(3)如果將“點P為線段上的動點”改為“點為射線上的動點”，其它條件不變，那么當(dāng)?shù)妊切螘r，求此時的長度．4．實踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在上的點A'處，得到折痕，然后把紙片展平．第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿過點E的直線折疊，點C恰好落在上的點處，點B落在點處，得到折痕，交于點M，交于點N，再把紙片展平．

問題解決：(1)如圖1，填空：四邊形的形狀是；(2)如圖2，線段與是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由；(3)如圖2，若，求的值．二、坐標(biāo)問題5．已知點，點，且a，b滿足關(guān)系式．(1)求點A、B的坐標(biāo)；(2)如圖1，點C在x軸上，當(dāng)三角形的面積為15時，求點C的坐標(biāo)；(3)如圖2，點D是直線第一象限上的點，連接，當(dāng)三角形的面積為12時，求點D的坐標(biāo)；(4)如圖3，平移直線得到直線，交x軸于點E，交y軸于點F，P是直線第四象限上的點，過點P作軸于點H，連接，．當(dāng)三角形的面積為36且時，直接寫出點P的坐標(biāo)．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)交y軸于點B，一次函數(shù)與一次函數(shù)交于點A，將線段沿著方向平移得到線段，連接，點，過點D作直線軸．(1)求點A的坐標(biāo)．(2)證明：四邊形是矩形．(3)以點O為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點A，B，C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為，直線、直線分別與直線l相交于點P，Q．記旋轉(zhuǎn)角為α．①如圖2，當(dāng)矩形的頂點落在直線l上時，求點P的坐標(biāo)．②在四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，若，點P的坐標(biāo)為_____（請直接寫出答案）．7．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，矩形的邊，分別在軸正半軸和軸正半軸上，點坐標(biāo)為，是邊上的一動點．

(1)用含有的代數(shù)式表示的面積；(2)若，用含的代數(shù)式表示點的縱坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，是上一點，連接，過作于，連接，的面積為44，且，求點的坐標(biāo)．三、動點問題8．如圖，在中，，，，D是的中點．動點P從點A出發(fā)，沿以每秒4個單位長度的速度向點B勻速運動．當(dāng)點P不與A、B重合時，過點P作的垂線交或于點Q，連接．設(shè)點P的運動時間為t秒．

(1)__________；(2)求的長（用含t的代數(shù)式表示）；(3)連接，當(dāng)是直角三角形時，求t的值．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊，分別在軸、軸的正半軸上，，．點從點出發(fā)，沿軸以每秒個單位長的速度向點勻速運動，當(dāng)點到達(dá)點時停止運動，設(shè)點運動的時間是秒．將線段的中點繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得點，點隨點的運動而運動，連接，．

(1)當(dāng)時，點的坐標(biāo)是；(2)請用含的代數(shù)式表示出點的坐標(biāo)；(3)在點從向運動的過程中，能否成為直角三角形？若能，求的值．若不能，請說明理由．10．如圖，在矩形中，，，動點P從點A開始以每秒2個單位長度沿向終點B運動，同時，動點Q從點C開始沿以每秒3個單位長度向終點A運動，它們同時到達(dá)終點．連接交于點E．過點E作，交直線于點F．

(1)當(dāng)點Q在線段上時，求證：．(2)當(dāng)時，求的面積．(3)在P，Q的運動過程中，是否存在某一位置，使得以點E，F(xiàn)，Q為頂點的三角形與相似？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．11．已知：如圖1，在四邊形中，，連接．點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點D出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．連接，設(shè)運動時間為．(1)當(dāng)t為何值時，點D在線段的垂直平分線上？(2)延長交于點E（如圖2），若四邊形是平行四邊形，求t的值；(3)設(shè)的面積為，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；(4)是否存在某一時刻t，使得與的夾角為？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．四、旋轉(zhuǎn)問題12．如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長線相交于點．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點，如圖2．求證：．13．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點重合，繞點旋轉(zhuǎn)三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點，．連接交于點，求的值．14．【問題情境】如圖1，在中，，點D，E分別是邊的中點，連接．如圖2，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖2，當(dāng)時，_________．【方法遷移】如圖3，矩形中，點E，F(xiàn)分別是的中點．四邊形為矩形，連接．如圖4，將矩形繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)角為α，連接．請?zhí)骄烤匦涡D(zhuǎn)過程中，與的數(shù)量關(guān)系；【拓展延伸】如圖5，若將上題中的矩形改為“平行四邊形”且，矩形改為“平行四邊形”，其他條件不變，如圖6，在平行四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出_________．

15．（1）如圖1，正方形和正方形（其中），連接交于點H，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；（2）如圖2，矩形和矩形，，將矩形繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，連接交于點H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）矩形和矩形，，將矩形繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，直線交于點H，當(dāng)點E與點H重合時，請直接寫出線段的長．五、與特殊四邊形結(jié)合的幾何問題16．如圖，在正方形中，，M是對角線上的一個動點，連接，，過點M作交于點N．

(1)如圖①，求證：①；②；(2)如圖②，連接，為的中點，的延長線交邊于點P，當(dāng)時，求和的長；(3)如圖③，過點N作于H，當(dāng)時，請直接寫出的面積．17．如圖，正方形中，點在邊上，點是的中點，連接，．

(1)求證：；(2)將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在上，連接．當(dāng)點在邊上運動時（點不與，重合），判斷的形狀，并說明理由．(3)在（2）的條件下，已知，當(dāng)時，求的長．18．問題提出(1)如圖①，在中，點在邊上，且，過點作，交于點，若，則__________；問題探究(2)如圖②，在矩形中，點、分別在邊、上，且，過點作，交于點，連接，交于點，若，，求的最大值；問題解決(3)如圖③，在正方形中，點、、、分別在邊、、、上，且，與交于點，且，若，，的面積是否存在最大值？若存在，請求出的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

六、綜合判斷題19．如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結(jié)論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③20．如圖在正方形中，E，F(xiàn)分別是，上的點且，分別交，于H，G點．下列結(jié)論中：①；②；③；④若，則．正確的個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個21．如圖，在矩形中，，．把沿折疊，使點恰好落在邊上的處，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，使得恰好經(jīng)過的中點．設(shè)交于點，連接．有如下結(jié)論：①；②的長度是；③；④．上述結(jié)論中，正確的個數(shù)有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個22．如圖，在中，，三角形角平分線、交為O點．現(xiàn)有如下結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)

①A點在所在直線的上方運動時，的度數(shù)不變；②A點在所