第23題二次函數(shù)及其綜合應(yīng)用-考前10天中考數(shù)學(xué)極限滿分沖刺

第23題二次函數(shù)及其綜合應(yīng)用1．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┠呈泄簿纸痪ш?duì)在全市范圍內(nèi)開(kāi)展“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)，某商場(chǎng)的頭盔銷量不斷增加，該頭盔銷售第天與該天銷售量（件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式為：（且為整數(shù)），為減少庫(kù)存，該商場(chǎng)將此頭盔的價(jià)格不斷下調(diào)，其銷售單價(jià)（元）與第天成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．已知該頭盔進(jìn)價(jià)為元／件．(1)求與之同的函數(shù)關(guān)系式；(2)求這天中第幾天銷售利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)；(3)在實(shí)際銷售的前天，為配合“騎乘人員佩戴頭盔專題周”活動(dòng)的開(kāi)展，商場(chǎng)決定將每個(gè)頭盔的單價(jià)在原來(lái)價(jià)格變化的基上再降價(jià)元（）銷售，通過(guò)銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前8天中，每天的利潤(rùn)隨時(shí)間（天）的增大而增大，試求的取值范圍．【答案】(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）(2)第天利潤(rùn)最大，最大值為元(3)的取值范圍為【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)總利潤(rùn)為元，可得出總利潤(rùn)與第天的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式即可求解；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為（）．（2）解：設(shè)總利潤(rùn)為元，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，∴第天利潤(rùn)最大，最大值為：（元）．（3）解：由題意可設(shè)第天的銷售利潤(rùn)為元，則，∴對(duì)稱軸為又知前天中，每天的利潤(rùn)隨時(shí)間（天）的增大而增大，∴即，又，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查銷售問(wèn)題，理解題目中數(shù)量關(guān)系，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，已知米，米，拋物線頂點(diǎn)到地面的垂直距離為10米，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，(1)求拋物線的解析式；(2)一輛特殊貨運(yùn)汽車載著一個(gè)長(zhǎng)方體集裝箱，集裝箱寬為4米，最高處與地面距離為6米，隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，雙向行車道間隔距離為2米，交通部門規(guī)定，車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于米，才能安全通行，問(wèn)這輛特殊貨車能否安全通過(guò)隧道？【答案】(1)(2)這輛特殊貨車不能安全通過(guò)隧道【分析】（1）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可；（2）由圖象結(jié)合題意可知，集裝箱與隧道最接近的位置在此坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)為，代入（1）所得解析式，判斷是否大于即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)代入得：，解得：，即所求拋物線的解析式為：；（2）根據(jù)題意，假設(shè)貨車在右側(cè)車道行駛，則其最右側(cè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：時(shí)，，∴不能安全通過(guò)隧道，答：這輛特殊貨車不能安全通過(guò)隧道．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意并結(jié)合圖象列式求解，難度較大，綜合程度較高．3．（2023·安徽蚌埠·?？级＃┤鐖D，蚌埠花博園要建造一圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個(gè)柱子，O恰在水面中心，高3米，如圖1，由柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各方面沿形狀相同的拋物線落下．(1)如果要求設(shè)計(jì)成水流在離距離為1米處達(dá)到最高點(diǎn)，且與水面的距離是4米，那么水池的內(nèi)部半徑至少要多少米，才能使噴出的水不致落到池外；（利用圖2所示的坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算）(2)若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池內(nèi)部的半徑為5米，要使水流不落到池外，此時(shí)水流達(dá)到的最高點(diǎn)與水面的距離應(yīng)是多少米？【答案】(1)水池的內(nèi)部半徑至少要3米(2)米【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式，求出時(shí)的的值，即可得解；（2）設(shè)拋物線的解析式為，待定系數(shù)法求出解析式，將解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵水流在離距離為1米處達(dá)到最高點(diǎn)，且與水面的距離是4米，∴設(shè)拋物線的解析式為，由題意，得：拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴．當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去），．∴水池的內(nèi)部半徑至少要3米；（2）根據(jù)水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，得到新的拋物線解析式的，設(shè)拋物線的解析式為，由題意，得：拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴，∴此時(shí)水流達(dá)到的最高點(diǎn)與水面的距離應(yīng)是米．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，D為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)Q，與相交于點(diǎn)M．于E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求線段長(zhǎng)度的最大值；(3)連接，是否存在點(diǎn)D，使得中有一個(gè)角與相等？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，將代入，得：，解得，即可求出拋物線解析式為；（2）設(shè)，且，設(shè)直線的解析式為，將，代入，求出直線BC的解析式為，證明，得出，，即可解得；（3）設(shè)，且，由(2)知，分兩種情況討論即可①若，，解得或0(舍去)；②若，，解得或0(舍去)，即可解得．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為，將代入，得：，解得，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：設(shè)，且，在中，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線BC的解析式為，∴，∴，∵，∴，∵軸，∴軸，∴，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是；（3）存在點(diǎn)D，使得中有一個(gè)角與相等．∵，，，∴，，∴，∵軸，∴，∵，∴，設(shè)，且，則，∴，由(2)知，∴，①若，∴，∵，∴，∴，解得或0(舍去)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；②若，則，∵，∴，∴，解得或0(舍去)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；綜上，存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟悉求二次函數(shù)的解析式和極值問(wèn)題．5．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器，將發(fā)石車置于山坡底部處，以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)看，其飛行路線可以近似看作拋物線的一部分，山坡上有一堵防御墻，其豎直截面為，墻寬米，與軸平行，點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為米、垂直距離為米．(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為米，①求拋物線的解析式；②試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明石塊能否飛越防御墻；(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部上（包括端點(diǎn)、），求的取值范圍，【答案】(1)；②石塊能飛越防御墻；(2)【分析】（1）①根據(jù)題意得拋物線解析式為：，待定系數(shù)法求解析式即可求解；②根據(jù)題意，得出，將代入解析式計(jì)算，即可求解．（2）依題意得出，進(jìn)而根據(jù)以及原點(diǎn)分別待定系數(shù)法求解析式即可求解．【詳解】（1）解：①∵發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為米，∴拋物線解析式為：，將點(diǎn)代入得，，解得：，∴拋物線解析式為，∴，②∵點(diǎn)與點(diǎn)的水平距離為米、垂直距離為米．∴，當(dāng)時(shí)，，∴石塊能飛越防御墻；（2）∵，，∴當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，，解得：.當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，，解得：∴要使石塊恰好落在防御墻頂部上（包括端點(diǎn)、），的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽亳州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）萬(wàn)達(dá)樂(lè)園的過(guò)山車是其經(jīng)典項(xiàng)目之一．如圖，B→D→C為過(guò)山車的—部分軌道，若這部分軌道可以用拋物線來(lái)刻畫，點(diǎn)B到y(tǒng)軸的水平距離米，點(diǎn)B到工軸（代表地面）的距離米，B，C間的水平距離為12米．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)過(guò)山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了2米至H點(diǎn)，又進(jìn)入下一段軌道H→F→G．已知軌道H→F→G的形狀與軌道B→D→C完全相同，若某名游客從B→D→C軌道滑行至H→F→G軌道，起點(diǎn)和終點(diǎn)距離地面均為8米，則該游客移動(dòng)的最大水平距離是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）(3)已知軌道B→M→N→C和軌道B→D→C關(guān)于對(duì)稱，現(xiàn)需要在軌道B→M→N→C下進(jìn)行安全加固，建造支架，且，支架的價(jià)格是元/米，如何設(shè)計(jì)支架，使得造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？【答案】(1)(2)米(3)兩個(gè)支架相距3.6米時(shí)，造假最低為元【分析】（1）根據(jù)題意確定，即可得出拋物線的對(duì)稱軸，然后將點(diǎn)B代入解析式即可求解；（2）根據(jù)題意分析：當(dāng)游客最開(kāi)始實(shí)在段上距離地面8米，最后位置是在段上距離地面8米處停下時(shí)，水平移動(dòng)的距離最大，然后確定出拋物線的解析式，再代入求解即可；（3）根據(jù)題意確定拋物線解析式為，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，將將點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入解析式，得出的解析式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵B到y(tǒng)軸的水平距離米，點(diǎn)B到工軸（代表地面）的距離米，B，C間的水平距離為12米．∴，∴拋物線的對(duì)稱軸為：，∴拋物線的解析式為：將點(diǎn)B代入拋物線解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：當(dāng)游客最開(kāi)始實(shí)在段上距離地面8米，最后位置是在段上距離地面8米處停下時(shí)，水平移動(dòng)的距離最大，當(dāng)時(shí)，在拋物線段上，，解得：（不符合題意，舍去），∵B，C間的水平距離為12米，過(guò)山車運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了2米至H點(diǎn)，∴拋物線為拋物線向右平移12+2=14個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象，∴拋物線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，在拋物線段上，，解得：（不符合題意，舍去），∴該游客移動(dòng)的最大水平距離為：米；（3）解：由（1）得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)D到的距離為米，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∵拋物線與拋物線關(guān)于對(duì)稱，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為即∴拋物線解析式為，將點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入解析式得：，，∴，關(guān)于a的方程的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴，∴最低造價(jià)為元，∴兩個(gè)支架相距3.6米時(shí)，造假最低為元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正確理解題意是解題的關(guān)鍵．7．（2023·安徽六安·?？家荒＃┠硵?shù)學(xué)興趣小組在一次課外活動(dòng)中設(shè)計(jì)了一個(gè)彈珠投箱子的游戲（無(wú)蓋正方體箱子放在水平地面上）．現(xiàn)將彈珠抽象為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（軸經(jīng)過(guò)箱子底面中心，并與其一組對(duì)邊平行，正方形為箱子正面示意圖）．某同學(xué)將彈珠從處拋出，彈珠的飛行軌跡為拋物線：（單位長(zhǎng)度為）的一部分，已知，．(1)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．①求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②若彈珠投入箱內(nèi)后立即向左上方彈起，沿與拋物線形狀相同的拋物線運(yùn)動(dòng)，且無(wú)阻擋時(shí)彈珠最大高度可達(dá)，請(qǐng)判斷彈珠能否彈出箱子，并說(shuō)明理由．(2)要使彈珠能投入箱子，求的取值范圍．【答案】(1)①拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②彈珠能彈出箱子，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①把點(diǎn)，代入，再把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；②先求出拋物線L與x軸的兩一個(gè)交點(diǎn)為，再根據(jù)題意可設(shè)拋物線M的解析式為，然后把代入，求出拋物線M的解析式，再求出當(dāng)時(shí)，y的值即可求解．（2）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到，則拋物線解析式為，求出，；當(dāng)時(shí)，，或，要使彈珠能投入箱子，則，解不等式組即可得到答案．【詳解】（1）解：①把點(diǎn)，代入得：，解得，∴拋物線的解析式為，∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；②彈珠能彈出箱子，理由如下：∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，解得：，∴拋物線L與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意可設(shè)拋物線M的解析式為，把點(diǎn)代入，得：，解得：或，∵拋物線M的對(duì)稱軸在直線的左側(cè)，∴，∴拋物線M的解析式為，∵當(dāng)時(shí)，，∴彈珠能彈出箱子．（2）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為∵，∴，∴，，在中，當(dāng)時(shí)，則，∴，解得或，∵要使彈珠能投入箱子，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得或，∴；當(dāng)，即時(shí)，滿足，當(dāng)，即時(shí)，∴，∴，∴，∴；綜上所述，當(dāng)時(shí)，彈珠能投入箱子．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽池州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求a的值；(2)，求y的最大值與最小值的差；(3)若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是且時(shí)，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)；(2)差為；(3)．【分析】（1）直接將點(diǎn)代入函數(shù)求解即可；（2）先求出函數(shù)對(duì)稱軸，判斷函數(shù)的增減性，然后計(jì)算出最大值和最小值后直接求差即可；（3）求出一次函數(shù)的定點(diǎn)坐標(biāo)，推出，然后可直接求出二次函數(shù)的最小值即為所求最小值．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴；（2）由（1）可知，二次函數(shù)為：，對(duì)稱軸為，∴時(shí)，，∵，∴時(shí)，，∴最大值與最小值差為．（3）∵，∴直線數(shù)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，∵時(shí)，，∴一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，∵，∴，∵，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)最大值與最小值，難點(diǎn)是含有一個(gè)未知數(shù)的一次函數(shù)會(huì)過(guò)定點(diǎn)．9．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線與直線相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，并與邊長(zhǎng)為2的正方形相交于點(diǎn)．(1)試求拋物線和直線的函數(shù)解析式；(2)若拋物線在第一象限的圖像上有一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為．①請(qǐng)用含的式子表示的面積；②若點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線和直線的函數(shù)解析式分別為，(2)①，②【分析】（1）先得到，，再根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）①令，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，表示出，從而可表示出的面積；②要使點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)，則面積取得最大值，從而可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線與直線相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，并與邊長(zhǎng)為2的正方形相交于點(diǎn)，，，代入得：，解得：，，令，解得：，，把、代入得：，解得，，答：拋物線和直線的函數(shù)解析式分別為，；（2）解：①令，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，則，此時(shí)面積為，②，要使點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)，則面積取得最大值，由①得，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，采用數(shù)形結(jié)合的思想，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右邊），交軸于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E．(1)求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求線段的最大值；(3)如圖2，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)最大值為(3)存在，或【分析】（1）令，得到，即可求解；（2）設(shè)，則，先求出直線的解析式為，可得，可得到用m表示的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)題意可得，從而得到當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，與為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．然后分兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)∴．解得：，∴，；（2）解：設(shè)，則，∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，∴．設(shè)直線解析式為，∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，解得．∴直線的解析式為，∴，又∵，∴；∴當(dāng)時(shí)，取得最大值；（3）解：存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，理由如下：設(shè)，由（2）得：，如圖，過(guò)點(diǎn)F作軸于點(diǎn)G，則，由（1）可得：，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∴當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，與為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，，即，解得：或（舍去），∴；②當(dāng)時(shí)，，即解得：或（舍去）∴．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．11．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知，如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，，點(diǎn)P為x軸下方的拋物線上一點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，求四邊形面積的最大值；(3)是否存在這樣的點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到和兩邊的距離相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)33(3)存在這樣的點(diǎn)，使得點(diǎn)P到和兩邊的距離相等【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)P作軸交于D，先求出直線的解析式，設(shè)，則，則，求出的最大值，再由可知當(dāng)最大時(shí)，最大，由此即可得到答案；（3）如圖所示，取點(diǎn)E使其坐標(biāo)為，連接，取中點(diǎn)F，連接，先證明，進(jìn)而得到平分，則直線上的點(diǎn)到的距離相等，由此即可知點(diǎn)P即為直線與拋物線的交點(diǎn)，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴可設(shè)拋物線解析式為，又∵當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)P作軸交于D，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大為9，∵，，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，最大為；（3）解：如圖所示，取點(diǎn)E使其坐標(biāo)為，連接，取中點(diǎn)F，連接，∵，∴，，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴平分，∴直線上的點(diǎn)到的距離相等，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作軸，交直線于點(diǎn)E，作軸．交直線于點(diǎn)F，求的最大值；②若，求m的值．【答案】(1)(2)①當(dāng)時(shí)，的最大值；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）①先求出直線解析式，根據(jù)題意可得再由軸，軸，可得，，從而得到，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；②作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于D，過(guò)點(diǎn)D作軸于E，根據(jù)，可得，從而得到，即，再證得，再由銳角三家函數(shù)可得，從而得到，再求出直線解析式，然后聯(lián)立，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：①如圖，在中，令，得，∴，設(shè)直線解析式為，∵，∴，解得：，∴直線解析式，∵，∴，∴，∵點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴，∵軸，軸，∴，，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為；②作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于D，過(guò)點(diǎn)D作軸于E，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴，設(shè)直線解析式為，∴，解得：，∴直線CD解析式為，聯(lián)立方程組：，解得：（舍去），，∴．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合運(yùn)用的試題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，二次函數(shù)頂點(diǎn)式的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．13．（2023·安徽滁州·校考一模）如圖1，一段高架橋的兩墻，由拋物線一部分連接，為確保安全，在拋物線一部分內(nèi)修建了一個(gè)菱形支架，拋物線的最高點(diǎn)到的距離米，，點(diǎn)，在拋物線一部分上，以所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，確定一個(gè)單位長(zhǎng)度為1米．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求高架橋兩端的的距離；(3)如圖2，現(xiàn)在將菱形做成廣告牌，且在菱形內(nèi)再做一個(gè)內(nèi)接矩形廣告牌，已知矩形廣告牌的價(jià)格為80元/米，其余部分廣告牌的價(jià)格為160元/米，試求菱形廣告牌所需的最低費(fèi)用．【答案】(1)(2)米(3)元【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，在中，軸，，勾股定理得出，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)，解方程，得出的坐標(biāo)，即可求解．（3）待定系數(shù)法得出直線的解析式為，直線的解析式為，設(shè)矩形中，米，則，代入，，繼而得出，由（1）得出，設(shè)總費(fèi)用為，進(jìn)而根據(jù)面積乘以廣告牌的價(jià)格得出的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，，∴，，在中，軸，，∴，，∴，∵，∴，設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入得，，解得：，∴；（2）令，解得：，∴，∴（米）（3）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得，，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)矩形中，米，則，代入，，得，∴，∴，由（1）可得，，設(shè)總費(fèi)用為，∴；當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，∴菱形廣告牌所需的最低費(fèi)用為元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·安徽合肥·一模）如圖，已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與y軸交于點(diǎn)A，(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，作y軸的平行線交直線于點(diǎn)D，以、為邊作矩形，求矩形周長(zhǎng)的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得以A、N、B、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)矩形周長(zhǎng)的最大值，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)在拋物線上存在一點(diǎn)M，使得以A、N、B、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，【分析】（1）把點(diǎn)代入拋物線中，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）由（1）得，拋物線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，得，將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式得，即可得拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)直線的解析式為：，把點(diǎn)，代入，得，進(jìn)行計(jì)算即可得直線的解析式為：，設(shè)，則，即可得，則，可得，即可得，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)為：，當(dāng)取最大值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，，即可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為；②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，，即可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為，綜上，即可得；（3）根據(jù)點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上得，①當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)，，得，即可得，當(dāng)時(shí)，，即可得，②當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，若點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)，，得，即可得，當(dāng)時(shí)，，即可得，若點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)，，得，解得，當(dāng)時(shí)，，即可得，綜上，即可得．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，∴，，，∴拋物線的解析式為：；（2）解：由（1）得，拋物線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)直線的解析式為：，把點(diǎn)，代入，得，解得，，∴直線的解析式為：，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∵矩形的周長(zhǎng)為：，∴當(dāng)取最大值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為；②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值，最大值為；綜上，矩形周長(zhǎng)的最大值，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，∴，①當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵，，，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，②當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，若點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，為對(duì)角線時(shí)，∵，，，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，若點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，為對(duì)角線時(shí)，∵，，，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，在拋物線上存在一點(diǎn)M，使得以A、N、B、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．15．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C．(1)求拋物線的解析式；(2)根據(jù)圖象寫出不等式的解集；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線的垂線段，垂足為Q，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式可得，從而可得，利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）將不等式整理為，再找出拋物線位于直線上方時(shí)，的取值范圍即可得；（3）作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，分三種情況：①點(diǎn)在上方，②點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)和③點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，先利用勾股定理求出，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：由題意得：當(dāng)時(shí)，，∴，，∵.，，∴，，把，代入得：，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：不等式整理為，這個(gè)不等式表示的是拋物線位于直線上方，由（1）已得：，，則不等式的解集為．（3）解：∵直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，∴，解得，∴，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，則，在中，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，，解得，，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則，同理①可得，，解得，由函數(shù)圖象可知，此時(shí)點(diǎn)在第三象限，∴，，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則，在中，∵，∴，∴，∴，∴，，解得，由函數(shù)圖象可知，此時(shí)點(diǎn)在第一象限，∴，，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．16．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值；(2)若，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)．①是否存在點(diǎn)Р使得，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖2，連接，相交于點(diǎn)M，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求直線的表達(dá)式．【答案】(1)(2)①存在點(diǎn)Р使得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或②直線的解析式為【分析】（1）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可得，拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，根據(jù)，可知，當(dāng)時(shí)，的值最小，最后進(jìn)行求值即可；（2）①如圖1，連接、，由可得拋物線的解析式為，即可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出的長(zhǎng)，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為可得，根據(jù)求出a的值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②由圖2可知，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則的值最大，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，再根據(jù)，，可得時(shí)，有最大值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再設(shè)直線的解析式為，把P、B的坐標(biāo)代入解析式，利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：拋物線，∴拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，，，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為，∴拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值是；（2）解：①存在點(diǎn)Р使得，如圖1，連接、，當(dāng)，則，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B，∴時(shí)，即，解得：，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，，，，且，，即，解得：，，∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴存在點(diǎn)Р使得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；②由圖2可知，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最大，即的值最大，∵拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，由①可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，，，，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

，，時(shí)，有最大值，最大值為2，時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，∵直線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴把P、B的坐標(biāo)代入解析式可得：，解得，∴直線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、解一元二次方程、二次函數(shù)的最值問(wèn)題和利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求最值，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·安徽合肥·合肥市第四十八中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)，連接，．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，若點(diǎn)在直線上方的拋物線上，連接與交于點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）將，，代入解析式即可得到答案；（2）①根據(jù)得到點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的2倍，求出直線的解析式，過(guò)點(diǎn)作的平行線與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)，直線解出的解析式，根據(jù)平移規(guī)律即可得到答案；②過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，根據(jù)平行得到，表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；【詳解】（1）解：∵的圖像與軸交于點(diǎn)，，∴，解得：，；（2）①，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的2倍，令，則，，，，直線的解析式為：，如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為：，軸，，，在直線上，，，直線的解析式為：，直線可看作是將直線向上平移2個(gè)單位得到，將直線向下平移4個(gè)單位得到直線：，則它與拋物線的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，（將直線向上平移4個(gè)單位得到直線，它與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)）令，解得：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，軸，，，，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題，主要有待定系數(shù)法求解析式，動(dòng)點(diǎn)圍成三角形面積問(wèn)題及線段問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解．18．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）淮南油酥燒餅是安徽早餐的特色之一，如圖1，它的外邊緣線的一半恰好呈拋物線，如圖2是半塊燒餅的示意圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，的長(zhǎng)度為，拋物線最高點(diǎn)距的最大高度為．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖3，小明想在這半塊燒餅上切出一塊矩形，使得矩形的一邊與重合，點(diǎn)在拋物線上，求該矩形周長(zhǎng)的最大值：(3)如圖4，小明的妹妹想在這半塊燒餅上切出若干塊寬為的矩形，若切出的所有矩形的長(zhǎng)與平行，求切出的所有矩形的面積之和．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解：由題意知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．設(shè)該拋物線的解析式為，把點(diǎn)代入，求，進(jìn)而可得拋物線解析式；（2）由題意知，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即矩形的周長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；（3）根據(jù)寬度為，則分別計(jì)算當(dāng)，，時(shí)，對(duì)應(yīng)的值，進(jìn)而可求各層矩形的長(zhǎng)，最后根據(jù)面積公式計(jì)算并求和即可．【詳解】（1）解：由題意知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．設(shè)該拋物線的解析式為，把點(diǎn)代入，得，解得，∴該拋物線的解析式為．（2）解：由題意知，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴矩形的周長(zhǎng)，∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形周長(zhǎng)的最大值為．（3）解：當(dāng)時(shí)，，解得，∴最下層矩形的長(zhǎng)為．當(dāng)時(shí)，，解得，∴中層矩形長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴上層矩形長(zhǎng)為．∴切出的所有矩形的面積之和為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與特殊的四邊形綜合等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．19．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、．(1)拋物線解析式為_(kāi)_____，直線解析式為_(kāi)_____；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)，不重合，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍，并求出的最大值；(3)已知點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若是以為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)，的最大值為(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為：或【分析】（1）拋物線解析式為，即可求解；（2）設(shè)，，則，求出，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）分是斜邊、是斜邊兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，，，設(shè)拋物線解析式為，拋物線與軸交于，，解得：，拋物線解析式為；設(shè)直線的函數(shù)解析式為，直線過(guò)點(diǎn)，，，解得，；故答案為：，；（2）解：設(shè)，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值；即關(guān)于的函數(shù)解析式為，的最大值為；（3）解：設(shè)點(diǎn)，則，，，當(dāng)是斜邊時(shí)，則，解得：；當(dāng)是斜邊時(shí)，同理可得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，面積的計(jì)算等，其中，要注意分類求解，避免遺漏．20．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，(1)求此二次函數(shù)的解析式并在坐標(biāo)系內(nèi)畫出其草圖；(2)求直線的解析式；(3)點(diǎn)是在第二象限內(nèi)的該拋物線上，并且三角形的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)若點(diǎn)在線段上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)不與點(diǎn)A，重合，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)隨之而停止運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在射線上以每秒個(gè)單位的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，請(qǐng)求出三角形的面積S與的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時(shí)，三角形的面積最大，最大值是多少？【答案】(1)；圖見(jiàn)解析(2)(3)(4)，當(dāng)時(shí)，最大，最大面積是【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）利用已知的兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式即可；（3）設(shè)出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積求得縱坐標(biāo)，然后代入解析式，解得即可；（4）由題意，得，，根據(jù)，，得到是等腰直角三角形，然后根據(jù)，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，最后求出S與的函數(shù)關(guān)系式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得，解得：，，此二次函數(shù)的解析式為；畫出函數(shù)的圖象如圖：（2）解：設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為；（3）解：設(shè)的縱坐標(biāo)為，三角形的面積為，，，，把代入得，解得，，點(diǎn)是在第二象限內(nèi)的該拋物線上，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（4）解：由題意，得，，，，是等腰直角三角形，，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴，，當(dāng)時(shí)，最大，最大面積是．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．21．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）已知拋物線，點(diǎn)．(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)拋物線上任意一點(diǎn)．連接PF，并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，試判斷是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)將拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，得拋物線：，若時(shí)，恒成立，求m的最大值．【答案】(1)(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)8【分析】（1）將拋物線的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)M，即可求得，同理，然后由，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案；（3）令，設(shè)其圖象與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，且，觀察圖象，隨著拋物線C2向右不斷平移，，的值不斷增大，當(dāng)滿足，恒成立時(shí)，m的最大值在處取得．可得：當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的即為m的最大值．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：成立理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)M，則，，，在中，由勾股定理，得，又點(diǎn)在拋物線上，得，即，∴，即，過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，同理可得：，∵，，∴，∴，又，，∴，∴；（3）解：令，設(shè)其圖象與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，且，∵拋物線可以看作是拋物線左右平移得到的，觀察圖象，隨著拋物線向右不斷平移，，的值不斷增大，∴當(dāng)滿足，恒成立時(shí)，m的最大值在處取得．可得：當(dāng)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的即為m的最大值．于是，將代入，有，解得：或（舍去），∴．此時(shí)，由，得，解得：，，∴m的最大值為8．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，相似三角形的判定與性質(zhì)以及最大值等問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考二模）綜合與探究．如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)，，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接，．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)求證：．(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度沿著線段向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否成為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)存在，或或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)“兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”進(jìn)行證明；（3）分三種情況討論，分別根據(jù)利用平行線的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)分別求解．【詳解】（1）由題意得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）當(dāng)時(shí)，，解得：或，∴，，當(dāng)時(shí)，，，∴，，，∴，∵，∴；（3）∵，，，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)D，則，∵，∴，∴，即：，解得：，當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，則，∵，，∴，∴，即：，解得：，綜上，當(dāng)或或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·安徽馬鞍山·?？级＃┠彻珗@要在小廣場(chǎng)上建造一個(gè)噴泉景觀．在小廣場(chǎng)中央處垂直于地面安裝一個(gè)高為1.25米的花形柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過(guò)的任一平面上拋物線路徑如圖1所示．為使水流形狀較為美觀，設(shè)計(jì)成水流在距的水平距離為1米時(shí)達(dá)到最大高度，此時(shí)離地面2.25米．(1)以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒(méi)有被水淋到，此時(shí)他離花形柱子的距離為米，求的取值范圍；(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面、處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成角，如圖3所示，光線交匯點(diǎn)在花形柱子的正上方，其中光線所在的直線解析式為，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．【答案】(1)(2)(3)米【分析】（1）由題意得，在第一象限內(nèi)的拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，故設(shè)拋物線解析式為，將代入得，求值，進(jìn)而可得在第一象限內(nèi)的拋物線解析式；（2）當(dāng)時(shí)，，解得：，，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定的取值范圍即可；（3）由題意知，，，設(shè)平行于直線且與拋物