河南省三門(mén)峽市陜州區(qū)第一高級(jí)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

河南省三門(mén)峽市陜州區(qū)第一高級(jí)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.2．命題“若，都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A.若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B.若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C.若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)3．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱(chēng)黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱(chēng)為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.4．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.45．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C.對(duì)任意， D.對(duì)任意，7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M=AN=，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定8．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是對(duì)軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是1，且，.記數(shù)列的前項(xiàng)和、前項(xiàng)積分別為，，若，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.512．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C對(duì)任意， D.對(duì)任意，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，直線與連接兩點(diǎn)線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是________14．已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)__________.15．命題“，”的否定是____________.16．若，滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O以原點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O交于兩點(diǎn)A，B，求弦長(zhǎng).18．（12分）一個(gè)長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖及該長(zhǎng)方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在長(zhǎng)方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由）：（2）若且有下面兩個(gè)條件：①；②，請(qǐng)選擇其中一個(gè)條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論19．（12分）在數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）證明：；（2）若點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值21．（12分）在數(shù)列中，，，(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn).若M為的中點(diǎn)，過(guò)M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個(gè)零點(diǎn)令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當(dāng)，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解2、C【解析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對(duì)換后分別否定，因此“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)考點(diǎn)：四種命題3、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A4、C【解析】根據(jù)橢圓定義，和條件列式，再通過(guò)變形計(jì)算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與變形，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出、、的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀【詳解】解：在中，已知，，，分別為角，，的對(duì)邊），由正弦定理可知：，所以，解得，所以為等邊三角形故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.7、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BB1C1C的法向量和直線MN的方向向量，利用兩向量垂直，得到線面平行.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由圖可知平面BB1C1C的法向量.∵A1M=AN=，∴M，N，∴.∵，∴MN∥平面BB1C1C，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利于空間向量判斷線面平行，屬于簡(jiǎn)單題目.8、D【解析】由題設(shè)易知上恒成立，而在上，討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時(shí)，在上；由時(shí)，在上遞減，值域?yàn)?；令且，則，當(dāng)時(shí)，，即遞增，值域?yàn)椋瑵M足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上，即遞減，在上，即遞增，此時(shí)值域?yàn)椋划?dāng)，即時(shí)存在，而在中，此時(shí)，不合題設(shè)；所以，此時(shí)要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)易知上，只需在上恒有即可.9、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，故選：B10、B【解析】構(gòu)造，通過(guò)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，最值，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，即，令，當(dāng)時(shí)，，，令得：或，結(jié)合，所以，令得：，結(jié)合得：，所以在處取得極大值，也是最大值，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出的圖象，如下圖：要想有3個(gè)零點(diǎn)，則故選：B11、C【解析】先利用序列的所有項(xiàng)都是1，得到，整理后得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求出公比和首項(xiàng)，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因?yàn)?，，所以，又序列的所有?xiàng)都是1，所以它的第項(xiàng)，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以最小值為4.故選：C.12、D【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出的斜率，結(jié)合圖形可得結(jié)論【詳解】，，而，因此，故答案為：14、1【解析】利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】，，∴則點(diǎn)P到平面的距離為.故答案為：1.15、，【解析】根據(jù)全稱(chēng)命題量詞的否定即可得出結(jié)果.【詳解】命題“”的否定是“，”故答案為：16、0【解析】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，求解即可.【詳解】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，如下圖陰影部分，聯(lián)立，可得交點(diǎn)為，目標(biāo)函數(shù)可化為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，即.故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求半徑，進(jìn)而得圓方程；（2）根據(jù)直線與圓的弦長(zhǎng)公式即可求解【小問(wèn)1詳解】由，所以圓O的方程為；【小問(wèn)2詳解】由點(diǎn)O到直線的距離為所以弦長(zhǎng)18、（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由展開(kāi)圖及直觀圖直接觀察可得；（2）選擇②，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問(wèn)1詳解】如圖，【小問(wèn)2詳解】若選擇①，若此時(shí)有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因?yàn)?，則平面，由平面可得，故此時(shí)矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長(zhǎng)方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，∴，∴.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，即可證得；（2）以A為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的向量公式即可求出【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，由已知可得四邊形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交線為，在中，可知，所以平面，于因?yàn)?，所以平面，而平面，所以【小?wèn)2詳解】如圖所示，以A為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，于是設(shè)平面的法向量為，則，可取而平面的一個(gè)法向量為，所以故平面與平面所成銳二面角的余弦值為21、（1）略（2）【解析】（1）題中條件，而要證明的是數(shù)列是等差數(shù)列，因此需將條件中所給的的遞推公式轉(zhuǎn)化為的遞推公式：，從而，，進(jìn)而得證；（2）由（1）可得，，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，故可考慮采用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和，即有：①，①得：②，②-①得.試題解析：（1）∵，，又∵，∴，，∴則是為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列；由（1）得，∴，∴①，①得：②，②-①得.考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.22、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時(shí)，易得λ的值；斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，