2025屆黑龍江省虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

2025屆黑龍江省虎林市東方紅林業(yè)局中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則2．向量，向量，若，則實數(shù)（）A. B.1C. D.3．圓和圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外離4．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}5．橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則離心率（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是（）A. B.C. D.7．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（）A.－23 B.－3C.－12 D.－138．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.10．已知向量，，且與互相平行，則的值為（）A.-2 B.C. D.11．下列雙曲線中，以為一個焦點，以為一個頂點的雙曲線方程是（）A. B.C. D.12．已知，若，則（）A. B.2C. D.e二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，則__________；記表示不超過的最大整數(shù)，例如，若，設(shè)的前項和為，則__________14．設(shè)有下列命題：①當(dāng)，時，不等式恒成立；②函數(shù)在上的最小值為2；③函數(shù)在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為________________．（填寫所有真命題的序號）15．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是___________.16．已知動圓P過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓P的圓心的軌跡方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且短軸長為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點為B，右焦點為F，直線l與橢圓交于M，N兩點，問是否存在直線l，使得F為的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.18．（12分）已知數(shù)列滿足，，，.從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題.（1）寫出、，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，求證：；（3）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點到兩點的距離之和等于4，設(shè)點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線與交于兩點，為何值時？21．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.22．（10分）2021年7月29日，中國游泳隊獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進行自由泳1500米測試，并記錄他們的時間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對四個選項得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯誤；故選：C2、C【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因為向量，向量，若，則，解得：，故選：C.3、C【解析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】解：因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因為，即，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選：C.4、D【解析】根據(jù)題意，解不等式求出集合，由，得，進而求出，從而可求出集合，最后根據(jù)并集的運算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因為，則，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集的定義和并集運算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D6、A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷【詳解】設(shè)的公差是，即，顯然，且是常數(shù)，是等比數(shù)列，若中一個為1，則，則不是等比數(shù)列，只要，，都不可能是等比數(shù)列，如，，故選：A7、A【解析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內(nèi)切，從而可求出結(jié)果.【詳解】因為圓，圓心為，半徑為；圓可化為，圓心為，半徑，又圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，因此，即，解得.故選：A.8、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A9、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.10、A【解析】應(yīng)用空間向量坐標(biāo)的線性運算求、的坐標(biāo)，根據(jù)空間向量平行有，即可求的值.【詳解】由題設(shè)，，，∵與互相平行，∴且，則，可得.故選：A11、C【解析】設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因為雙曲線的一個焦點是，故可設(shè)雙曲線方程為，且；又為一個頂點，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.12、B【解析】求得導(dǎo)函數(shù)，則，計算即可得出結(jié)果.【詳解】,.,解得：.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②.60.【解析】先根據(jù)并結(jié)合等差數(shù)列的定義求出；然后討論n的取值范圍，討論出分別取1,2,3,4,5的情況，進而求出.【詳解】由題意，，n=1時，，滿足，時，，于是，，因為，所以.所以，是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.若，即時，，若，則時，，若，則時，，若，則時，，若，則或22時，，于是，.故答案為：2n-1；60.14、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設(shè)，，利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于，，故恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，由于，所以②不正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，即函數(shù)的最大值為，所以③正確；設(shè)，，則，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.15、【解析】根據(jù)投影向量的計算公式，計算出正確答案.【詳解】向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是.故答案為：16、【解析】設(shè)切點為，根據(jù)題意，列出點滿足的關(guān)系式即．則點的軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求點的軌跡方程【詳解】設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點，動點到定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即，點的軌跡是以，為兩焦點，長軸長為10的橢圓，，點的軌跡方程為，故答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長，利用橢圓中的關(guān)系可以求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知和斜率公式，可以求出直線的方程.【小問1詳解】，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由已知可得，，，∴，∵，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程整理得，設(shè)，，則，，∵，∴.即，因為，，即..所以，或.又時，直線過點，不合要求，所以.故存在直線：滿足題設(shè)條件.18、（1）條件選擇見解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得，并可求得、；選②，推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合并項求和法以及等比數(shù)列求和公式可求得.【小問1詳解】解：若選①，，且，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，故；若選②，，所以，，且，故數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，故，.【小問2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.綜上所述，.19、（1）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)（2）證明見解析（3）[1，＋∞)【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）可得，令，則可得，然后利用累加法可證得結(jié)論，（3）由，故，然后分和討論的最大值與比較可得結(jié)果【小問1詳解】當(dāng)時，（），則，由，解得；由，解得，因此函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)k＝1時，，故令，則，即，所以【小問3詳解】由，故當(dāng)時，因為，所以，因此恒成立，且的根至多一個，故在(0，1]上單調(diào)遞增，所以恒成立當(dāng)時，令，解得當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；于是，與恒成立相矛盾綜上，的取值范圍為[1，＋∞)【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是利用（1）可得，從而得，然后令，得，最后累加可證得結(jié)論，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題20、（1）；（2）.【解析】（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，，，解出可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)，，直線方程與橢圓聯(lián)立，化為：，恒成立，由，可得，把根與系數(shù)的關(guān)系代入解得【詳解】解：（1）由題意可得：點的軌跡為橢圓，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，，，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)，，聯(lián)立，化為：，恒成立，，，，，，解得．滿足當(dāng)時，能使【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、數(shù)量積運算性質(zhì)、一