2023年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)真題和答案

張家界市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：

本學(xué)科試卷共三道大題，23道小題，滿分100分，考試時間120分鐘.

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分,在每個小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1

1.2023的相反數(shù)是（）

A.----B.-----C.2023D.-2023

20232023

2.如圖是由5個完全相同的小正方體組成的立體圖形，其主視圖是（）

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.（A+2）2=X2+4B././=/c.（2x3）2=4x6D.2f+3f=5x4

4.下列說法正確的是（）

A.扇形統(tǒng)計圖能夠清楚地反映事物的變化趨勢

B.對某型號電子產(chǎn)品的使用壽命采用全面調(diào)查的方式

C.有一種游戲的中獎概率是g,則做5次這樣的游戲一定會有一次中獎

D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的方差分別是Sj=0.2,S：=0.03,則乙比甲穩(wěn)定

5.如圖，已知直線AB.CO,EG平分NBEF,Zl=40%則N2的度數(shù)是)

AB

A.70°B.50°C.40°D.140°

6.《四元玉鑒》是一部成就輝煌數(shù)學(xué)名著，是宋元數(shù)學(xué)集大成者，也是我國古代水平最高的一部數(shù)學(xué)著

作.該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與

一株椽”.大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文.如果每株椽的運(yùn)費是3文，那么少

拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)6210元購買椽的

數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（）.

A幽=3xB.3（x-l）=6210

x-l

6210

C.3（1產(chǎn)D.3（x-l）=

Xx-1

7.“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形.如圖，分別以等邊.工5c的

三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若等邊的邊長

為3,則該“萊洛三角形”的周長等于（）

A.71B.3乃C.2萬D.24一退

8.如圖，矩形0ABe的頂點A,C分別在y軸、x軸的正半軸上，點。在A5上，且=反比例

4

函數(shù)）,=々攵＞0）的圖象經(jīng)過點。及矩形0A3C的對稱中心M,連接若△OZW的面積

X

為3,則人的值為（）

A.2B.3C.4D.5

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

9.“仙境張家界，峰迷全世界”，據(jù)統(tǒng)計，2023年“五一”節(jié)假日期間，張家界市各大景區(qū)共接待游客約

864003人次.將數(shù)據(jù)864000用科學(xué)計數(shù)法表示為.

10.醫(yī)式分解：x2y+2xy+y=.

11.關(guān)于刀的一元二次方程/一2工-帆=0有兩個不相等的實數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是.

12.2023年4月24日是我國第八個“中國航天日”，某校開展了一次航天知識競賽，共選拔8名選手參加

總決賽，他們的決賽成績分別是95,92,93,89,94,90,96,88.則這8名選手決賽成績的中位數(shù)是

13.如圖，AO為NBA。的平分線，且N84C=50。，將四邊形ABOC繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到

四邊形四且NQ4C=100°,則四邊形A80C旋轉(zhuǎn)的角度是.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A80C是正方形，點A的坐標(biāo)為(1,1),A、是以點B為圓心，BA

為半徑的圓??；44是以點。為圓心，為半徑的圓弧，是以點。為圓心，c4為半徑的圓弧，

44是以點A為圓心，A&為半徑的圜弧，繼續(xù)以點3,。，c,A為圓心按上述作法得到的曲線

4AA2&4A…稱為正方形的“漸開線”，則點4。23的坐標(biāo)是.

將勞動教育從綜合實踐活動課程中獨立出來.某校為了初步了解學(xué)生的勞動教育情況，對九年級學(xué)生“參

加家務(wù)勞動的時間”進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將勞動時間x分為如下四組(4XV70；B：70<x<80：C：

(1)本次抽取的學(xué)生人數(shù)為人，扇形統(tǒng)計圖中機(jī)的值為;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

(3)已知該校九年級有600名學(xué)生，請估計該校九年級學(xué)生中參加家務(wù)勞動時間在80分鐘(含80分

鐘)以上的學(xué)生有多少人？

(4)若。組中有3名女生，其余均是男生，從中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)交流勞動感受，請用列表法或樹狀圖

法，求抽取的兩名同學(xué)中恰好是一名女生和一名男生的概率.

20.“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量奇樓AB的高

度，測量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點，測得奇樓頂端A的俯角為15。，再

將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點Q,測得奇樓底端B的俯角為45。，求奇樓A3的高度.(結(jié)果精確

到1m,參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.26,cos15°?0.97,tan15°?0.27)

21.閱讀下面材料：

將邊長分別為m〃+揚(yáng)，a+2而，3振的正方形面積分別記為52,,S4.

則S2-S1=3+府-a2

=[(a+G)+吁[(a+\[b)-a^

=(2a+y/b)\fh

=b+2a\fb

例如：當(dāng)a=l,6=3時，S2-S1=3+2>/3

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)當(dāng)。=1,。=3時，S3-S2=,S4-S3=；

(2)當(dāng)。=1,b=3時，把邊長為a+〃石的正方形面積記作其中〃是正整數(shù)，從(1)中的計算

結(jié)果，你能猜出S,用-S”等于多少嗎？并證明你的猜想；

(3)當(dāng)。=1,b=3時,令3=S2—S],G=S3-S2,G==S〃+[—5“，且

T=t}+t2+t3^,求7的值.

22.如圖，。。是二A5C外接圓，AO是。。的直徑，尸是A。延長線上一點，連接CDCF,且

/DCF=/CAD.

(1)求證：C尸是OO的切線；

3

(2)若直徑AD=10,cos8=g,求陽的長.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)>=奴2+法+。的圖象與x軸交于點A(—2,0)和點8(6,0)

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖1,求△AOD周長的最小值;

（3）如圖2,過動點D作OP〃AC交拋物線第一象限部分于點P,連接PAPB,記與的

面積和為S,當(dāng)S取得最大值時，求點P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值.

張家界市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：

本學(xué)科試卷共三道大題，23道小題，滿分100分，考試時間120分鐘.

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分,在每個小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1

1.2023的相反數(shù)是（）

A.------B.---------C.2023D.-2023

20232023

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).

11

【詳解】解:的相反數(shù)是一

20232023

故選：B.

【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如圖是由5個完全相同的小正方體組成的立體圖形，其主視圖是（）

O

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案.

【詳解】解：其主視圖有2列，從左到右依次有3、1個正方形，圖形如下:

故選D.

【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握從正面看到的圖形是主視圖是解題關(guān)鍵.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.（A+2）2=X2+4B./.〃4=〃8c.（2X3）2=4X6D.2x2+3x2=5x4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)完全平方公式及合并同類項、積的乘方運(yùn)算依次判斷即可.

詳解】解：A、。+2）2=/+41+4,選項計算錯誤，不符合題意；

B、選項計算錯誤，不符合題意；

C、（2X3）2=4X6,計算正確，符合題意；

D、"+3/=5f，選項計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】題目主要考查完全平方公式及合并同類項、積的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

4.下列說法正確的是（）

A.扇形統(tǒng)計圖能夠清楚地反映事物的變化趨勢

B.對某型號電子產(chǎn)品的使用壽命采用全面調(diào)查的方式

C.有一種游戲的中獎概率是（，則做5次這樣的游戲一定會有一次中獎

D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的方差分別是5：=0.2,S；=0.03,則乙比甲穩(wěn)定

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計圖的特點、全面調(diào)查及抽樣調(diào)查的特點，概率的意義及方差的意義依次判斷即可.

【詳解】解：A、扇形統(tǒng)計圖能夠清楚地反映事物所占的比例，選項錯誤，不符合題意；

B、對某型號電子產(chǎn)品的使用壽命調(diào)查有破壞性，適合采用抽樣調(diào)查，選項錯誤，不符合題意；

C、有一種游戲的中獎概率是：，則做5次這樣的游戲不一定會中獎，選項錯誤，不符合題意；

D、平均數(shù)相等，方差越小，越穩(wěn)定，選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】題目主要考查扇形統(tǒng)計圖的特點、全面調(diào)查及抽樣調(diào)查的特點，概率的意義及方差的意義，熟練學(xué)

握運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵.

5.如圖，已知直線EG平分NBEF,Zl=40°,則N2的度數(shù)是（）

8

D

A.70°B.50°C.40°D.140°

【答案】A

【解析】

［分析］根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/EFG=Z1=40°,ZEFG+NBEF=180°,/EGF=/BEG,推得

ZBEF=140°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出N8EG的度數(shù)，即可求得N2的度數(shù).

【詳解】?：ABHCD,

???NEFG=N1=4O。，NEFG+NBEF=180。,/EGF=/BEG,

???NBEF=180°-40°=140°,

又〈EG平分NBEF,

???/BEG=L/BEF=70。,

2

???N2=N6￡G=70。

故選：A.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì).熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解決本題

的關(guān)鍵.

6.《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，是宋元數(shù)學(xué)集大成者，也是我國古代水平最高的一部數(shù)學(xué)著

作.該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽.每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與

一株椽”.大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文.如果每株椽的運(yùn)費是3文，那么少

拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)6210元購買椽的

數(shù)量為X株，則符合題意的方程是（）.

6210

A.=3xB.3（1）=6210

6210”6210

C.3（x—1）=D.3（x—1）=-------

x

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)6210元購買椽的數(shù)量為x株，根據(jù)單價=總價+數(shù)量，求出一株椽的價錢為國3，再根據(jù)少

x

拿一株椽后剩下的椽的運(yùn)費恰好等于一株椽的價錢，即可列出分式方程，得到答案.

【詳解】解：設(shè)6210元購買椽的數(shù)量為x株，則一株椽的價錢為也9,

x

由題意得：3（x-l）=空3，

Xr

故選C.

【點睛】本題考查了從實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

7.”萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形.如圖，分別以等邊以8c的

三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若等邊“5c的邊長

為3,則該“萊洛三角形”的周長等于（）

A.nB.3兀C.2萬D.24一

【答案】B

njrr

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及弧長公式/=—求解即可.

180

【詳解】解：???等邊三角形A8C的邊長為3,ZABC=ZACB=ZBAC=60°,

???該”萊洛三角形”的周長=3x^=3萬，

故選：B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和弧長公式是解題的關(guān)

鍵.

8.如圖，矩形OABC的頂點4,C分別在y軸、x軸的正半軸上，點。在A5上，且=反比例

4

函數(shù)了=々%>0）的圖象經(jīng)過點。及矩形。45。的對稱中心M,連接QD,OM,ZW.若△QDM的面積

【解析】

【分析】設(shè)8點的坐標(biāo)為（。,6）,根據(jù)矩形對稱中心的性質(zhì)得出延長QM恰好經(jīng)過點8,確定

22

O（L〃,b）,然后結(jié)合圖形及反比例函數(shù)的意義，得出So”,=S.A08-S,A8-S"A/=3,代入求解即可.

4

【詳解】解：???四邊形OC84是矩形，

:.AB=OC，OA=BC,

設(shè)8點的坐標(biāo)為（。,切，

???矩形OA8C的對稱中心M,

4

?,*0(—a,b),

4

3

BD=-a,

4

仁1.13b、3,

S=—BDh=-x—ax(b——)=—ab

.n皿nM224216

???。在反比例函數(shù)的圖象匕

:?一ab=k,

4

??.S.SM=SMOB-SAOD-S,BDM=^ab-^k-^=3,

-ab--ab--=3

2816

解得：ab=\6,

，1，/

k=—ab=4，

4

故選C.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活

運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

9.“仙境張家界，峰迷全世界”，據(jù)統(tǒng)計，2023年“五一”節(jié)假日期間，張家界市各大景區(qū)共接待游客約

864003人次.將數(shù)據(jù)864000用科學(xué)計數(shù)法表示為.

【答案】8.64xlO5

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO”的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：864000=8.64xlO5,

故答案為:8.64xlO5.

【點睛】此題主要考查了科學(xué)記數(shù)法表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中

1<1?1<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

10.因式分解：x2y+2xy+y=.

【答案】y(x+l)

【解析】

【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可.

【詳解】解：x2y+2xy+y=y(x2+2x+1)=y(x+1)2,

故答案為：y(x+\)2.

【點睛】題目主要考查因式分解的方法，熟練掌握提公因式法及公式法是解題關(guān)鍵.

11.關(guān)于X的一元二次方程f—2x-m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則小的取值范圍是.

【答窠】m>-\

【解析】

【分析】根據(jù)有兩個不相等的實數(shù)根得到△=(-2)2-4x1x(一相)>0,解不等式即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，得A=(—2)2-4x1x(一加)>0,

解得m>-l；

故答案為.

【點睛】本題考查一元二次方程的判別式，解決問題的關(guān)鍵是掌握判別式和方程根之間的關(guān)系：當(dāng)△>()

時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)△=()時，原方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)△<()時，原方程無實數(shù)

根.

12.2023年4月24日是我國第八個“中國航天日”，某校開展了一次航天知識競賽，共選拔8名選手參加

總決賽，他們的決賽成績分別是95,92,93,89,94,90,96,88.則這8名選手決賽成績的中位數(shù)是

【答案】92.5

【解析】

【分析】將成績按照從小到大順序排列后,根據(jù)中位數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】解：將決賽成績從小到大順序排列為88,89,90,92,93,94,95：96,

92+93

???中位數(shù)為^-----=92.5.

2

故答案為：92.5.

【點睛】本題考查了中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)按照大小順序排列后，處在中間位置的數(shù)據(jù)或中間兩個數(shù)的平均數(shù)

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，熟練掌握中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，AO為NR4C的平分線，且NHAC=50。，將四邊形A80C繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到

四邊形四'的'，且NQ4C=1OO。，則四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)的角度是.

【答案】75。

【解析】

［分析］根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得NBAO=ZOAC=25°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NBAC==50°,

/8'47=/。47=25。，求得NOAO=75。，即可求得旋轉(zhuǎn)的角度.

【詳解】???A。為N8AC的平分線，ZMC=50%

???ZBAO=ZOAC=25°,

???將四邊形ABOC繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形AB'OV,

???ABAC=N9AU=50°,ZB'ACX=^OAC=25°,

:.Z.OAO=Z.OAC-Z（7AC=100°-25°=75°,

故答案為:75。.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標(biāo)為（LD,AM是以點B為圓心，BA

為半徑的圓??；A4是以點。為圓心，為半徑的圓弧，44是以點c為圓心，c4為半徑的圓弧，

AA是以點A為圓心，A&為半徑的圓弧，繼續(xù)以點8,0,C,A為圓心按上述作法得到的曲線

A4&A34A…稱為正方形的“漸開線”，則點4O23的坐標(biāo)是.

【答案】（一2023,1）

【解析】

【分析】將四分之一圓瓠對應(yīng)的A點坐標(biāo)看作順時針旋轉(zhuǎn)90。，再根據(jù)A、A、42、4、4的坐標(biāo)找到規(guī)

律即可.

【詳解】???4點坐標(biāo)（1,1）,且A為A點繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90。所得，

???A點坐標(biāo)為（2,0）,

又???4為A點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，

???42點坐標(biāo)為（0?一2）,

又???4為4點繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90。所得，

???4點坐標(biāo)為（一3,1）,

又人為4點繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90°所得，

???4點坐標(biāo)為（1,5）,

由此可得出規(guī)律：A“為繞B、0、。、4四點作為圓心依次循環(huán)順時針旋轉(zhuǎn)90。，且半徑為1、2、3、

一、小每次增加1.

???2023+5=505-3,

故4O23為以點。為圓心，半徑為2022的4022順時針旋轉(zhuǎn)90。所得

故4切點坐標(biāo)為（-2023,1）.

故答案為：（一2023」）.

【點睛】本題考查了點坐標(biāo)規(guī)律探索，通過點的變化探索出坐標(biāo)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共9個小題，共計58分.請考生用黑色碳素筆在答題卡相應(yīng)的題號后的

答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫出運(yùn)算步驟、推理過程或文字說明，超出答題區(qū)域的作答無效）

15.計算：卜石卜（4一4）°一2sin60。+.

【答案】4

【解析】

【分析】先化簡絕對值，零次基及特殊角的三角函數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，然后計算加減法即可.

【詳解】解：原式=6一1一2><走+5

2

=4.

【點睛】題目主要考查絕對值，零次惠及特殊角的三角函數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞，熟練掌握各個運(yùn)算法則是解

題關(guān)鍵.

16.先化簡（工一1一一「丁，,然后從-1,1,2這三個數(shù)中選一個合適的數(shù)代入求值.

VX+1）X+2x+l

【答案】x+1,2

【解析】

【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則先化簡，然后再由分式有意義的條件代入求值即可.

解［版盾t、+3-1（X4-1）2

【詳解】解：原式=--------------------2~~~

x+lx+lJX-4

、-4（Hl，

-x-1X2-4

=x+l,

???XH2,

當(dāng)X=1時

原式=1+1=2.

【點睛】題目主要考查分式的化簡求值及其有意義的條件，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

17.為拓展學(xué)生視野，某中學(xué)組織八年級師生開展研學(xué)活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有

座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿.現(xiàn)有甲、乙兩種客車，它們的

載客量和租金如下表所示：

甲型客車乙型客車

載客量（人/輛）4560

租金（元/輛）200300

（1）參加此次研學(xué)活動的師生人數(shù)是多少？原計劃租用多少輛45座客車？

（2）若租用同一種客車，要使每位師生都有座位，應(yīng)該怎樣租用才合算？

【答案】（1）參加此次研學(xué)活動的師生有600人，原計劃租用45座客車13輛

（2）租14輛45座客車較合算

【解析】

【分析】（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動的師生有x人，原計劃租用45座客車），輛，根據(jù)題意列出二元一次方程

組求解即可：

（2）由（1）結(jié)論求出所需費用比較即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)參加此次研學(xué)活動的師生有工人，原計劃租用45座客車y輛

45y+15：=x

依題意得〈

60(y—3)=x

x=600

解得：…，

y=13

答：參加此次研學(xué)活動的師生有600人，原計劃租用45座客車13輛;

【小問2詳解】

???要使每位師生都有座位，

，租45座客車14輛，則租60座客車10輛，

14x200=2800,10x300=3000,

???2800<3000

???租14輛45座客車較合算.

【點睛】題目主要考查二元一次方程組的應(yīng)用及有理數(shù)乘法的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵.

18.如圖，已知點A,。，C,8在同一條直線上，且=AE=BF，CE=DF.

（2）若。?時，求證：四邊形OEC產(chǎn)是菱形.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意得出再由全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的判定證明即可；

（2）方法一：利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出=又EC=DF,再由菱形的判定證明即可；方

法二：利用（1）中結(jié)論得出N￡C4=NFD3,結(jié)合菱形的判定證明即可.

【小問1詳解】

證明：???AD=5C,

???AD+DC=BC+DC,

即AC=BD

在△AEC和△8匹。中，

AC=BD

<AE=BF,

CE=DF

???&AEC-BFD（SSS）

???ZA=NB,

???AE//BF

【小問2詳解】

方法一：在VADE和△3C/中，

AE=BF

<ZA=ZB,

AD=BC

/.^ADE^BCF（SAS）

:,DE=CF,又EC=DF,

???四邊形DECF是平行四邊形

,:DF=FC,

??.戶是菱形；

方法二：/\AEC9/\BFD，

???/ECA=NFDB

???EC//DF,

又EC=DF,

???四邊形DECF是平行四邊形

:DF=FC,

???是菱形.

【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些知識點

是解題關(guān)鍵.

19.2022年4月21日新版《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》正式頒布，優(yōu)化了課程設(shè)置，其中

將勞動教育從綜合實踐活動課程中獨立出來.某校為了初步了解學(xué)生的勞動教育情況，對九年級學(xué)生“參

加家務(wù)勞動的時間”進(jìn)行了抽樣調(diào)查，并將勞動時間x分為如下四組（4XV70；B：70<x<80：C：

（1）本次抽取的學(xué)生人數(shù)為人，扇形統(tǒng)計圖中機(jī)的值為;

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）已知該校九年級有600名學(xué)生，請估計該校九年級學(xué)生中參加家務(wù)勞動的時間在80分鐘（含80分

鐘）以上的學(xué)生有多少人？

（4）若。組中有3名女生，其余均是男生，從中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)交流勞動感受，請用列表法或樹狀圖

法，求抽取的兩名同學(xué)中恰好是一名女生和一名男生的概率.

【答案】（1）50,30（2）見解析

(3)300人

【解析】

【分析】（1）由O組人數(shù)及所占百分比得出總?cè)藬?shù)，然后利用8組人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可得出結(jié)果;

（2）用總?cè)藬?shù)減去各組人數(shù)得出。組人數(shù)，然后補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；

（3）總?cè)藬?shù)乘以C、。組所占比例即可；

（4）方法一、利用列表法求概率；方法二、利用樹狀圖法求概率即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得，本次抽取的人數(shù)為：5?10%=50人，

???B組人數(shù)為15人,

A15-50xl00%=30%,

故答案為：50；30；

【小問2詳解】

解：C組人數(shù)為:50-10-15-5=20A,

補(bǔ)全統(tǒng)計圖如圖所示：

條形統(tǒng)計圖

50

答：估計該校九年級學(xué)生中參加家務(wù)勞動的時間在80分鐘（含80分鐘）以上的學(xué)生有300人;

【小問4詳解】

方法一：列表法:

女1女2女3男1男2

女1（女1,女2）（女1,女3）（女1,男1）（女1,男2）

女2（女2,女1）（女2,女3）（女2,男1）（女2,男2）

女3（女3,女1）（女3,女2）（女3,男1）（女3,男2）

男1（男1,女1）（男1,女2）（男1,女3）（男1，男2）

男2（男2,女1）（男2,女2）（男2,女3）（男2,男1）

共有20種等可能結(jié)果，其中滿足條件的有12種,

故尸（一男一女）=2（）=5

方法二：樹狀圖法：如圖，

開始

女1女2女3男1男2

女2女3男1男2女1女3男1男2女1女2男1男2女1女2女3男2女1女2女3男1

共有20種等可能結(jié)果，其中滿足條件的有12種，

故p（一男一女）卷=1.

【點睛】題目主要考查條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，列表法或樹狀圖法求概率，用樣本估計總體等，理解題意,

綜合運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵.

20.“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色.某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量奇樓A8的高

度，測量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的尸點，測得奇樓頂端A的俯角為15。，再

將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點Q,測得奇樓底端8的俯角為45。，求奇樓4B的高度.（結(jié)果精確

到1m,參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.26,cos15°?0.97,tan15°?0.27）

【答案】110m

【解析】

【分析】延長84,交PQ的延長線于點C,根據(jù)題意得出BC=225m,Pg=200m,再由等腰直角三角

形得出==225m,然后解直角三角形即可.

【詳解】解：延長H4,交PQ的延長線于點C,

則N4CQ=90。

由題意得，3c=225m,PQ=200m,

在RtZXBC。中，NBQC=45。,

則CQ=BC=225m

???PC=PQ+CQ=425m,

AC

在Rt△尸C4中，tanZAPC=tan15°=——=—?0.27,

PC425

解得ACa114.75m,

AC=BC-AC=225-\\4.75=110.25?110m

???奇樓的高度A8約為110m.

【點睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵.

21.閱讀下面材料：

將邊長分別為小〃+揚(yáng)，〃+2新，4+3新的正方形面積分別記為加，S2,S3,S4.

則S2—S]=（a+昭）2_"

=[（a+G）+a[.[（a+振）-a]

=（2a+\fb）\Jb

=b+2a\[b

例如：當(dāng)a=l,6=3時，S2-S}=3+2>/3

根據(jù)以上材料解答下列問題：

（1）當(dāng)a=l,b=3時，S3-S2=,S4-S3=；

（2）當(dāng)a=l,b=3時，把邊長為a+小傷的正方形面積記作S“十1,其中〃是正整數(shù)，從（1）中的計算

結(jié)果，你能猜出S用-S”等于多少嗎？并證明你的猜想；

（3）當(dāng)。=1,6=3時,令3=S2-,芍=S3—§2,t3=S4—S3,???,tn=Sn+i—Sn,且

T=4+q+G---*■/，求7的值.

【答案】⑴9+26，15+2有

（2）猜想結(jié)論：S〃+1—S〃=6〃—3+2jL證明見解析

（3）7500+10073

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；

（2）根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；

（3）結(jié)合題意利用（2）中結(jié)論求解即可.

【小問1詳解】

解：S3-S2=（a+2揚(yáng)）2-3+物）2

=a2+4a\[b+4b-（a2+2a>[b+b）

=/+4a4b+4b-a2-2a4b-b

—2a4b+3b

當(dāng)a=1,。=3時，

原式=26+9；

S4-S3=(a+3@-(〃+2.2

=a2+-6a\/b+9b-(a2+4a加+4b)

=/+6ay/b+9b-a2-4a\/b-4b

=2a4b+5b

當(dāng)a=l,6=3時，

原式-2b+15:

【小問2詳解】

猜想結(jié)論：5出一邑=6〃-3+26

證明：Sn+I-Sn=(l+〃石尸一[1+(〃—1)6了

=[2+(2〃-1)G]X6

=3(2〃-1)+26

=6n-3+2百；

【小問3詳解】

T=tl+t2+t3++1^

=S2-Sl+S3-S2+S4-S3+--+S5l-S5O

=S§]-1

=(1+50>/3)2-1

=7500+1(X)6.

【點睛】題目主要考查利用完全平方公式進(jìn)行計算，理解題意，得出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

22.如圖，OO是，A8C的外接圓，AO是OO的直徑，”是AO延長線上一點，連接CD,CF,且

ZDCF=ZCAD.

A

（1）求證：。尸是0。的切線;

3

（2）若直徑AD=10,cos8=m，求陽的長.

【答案】（1）詳見解析

⑵史

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，余角的性質(zhì)即可求得結(jié)論；

（2）根據(jù)已知條件可知再根據(jù)正切的定義和相似三角形的性質(zhì)得到線段的關(guān)系即可求得線

段尸Z）的長度.

【小問1詳解】

證明：連接0C,

*/是OO的直徑，

???4c0=90。，

:.Z4DC+NC4O=90。，

又,：OC=OD,

ZADC=ZOCD,

又?：ADCF=ZCAD,

???"Cr+NOCD=90。，

即0CLFC>

:,尸C是。。的切線；

【小問2詳解】

3

/.cosZ.ADC=一，

5

3CD

,?在Rt△4cZ）中，cos———......,AD=10,

5AD

3

???CD=ADcosZ.ADC=10x-=6,

JAC=ylADz-Cb2=8^

:.——CD=-3,

AC4

VZFCD=ZFAC,NF=NF,

:?AFCD^AFAC,

.CDFC_FD

??===-9

ACFAFC4

設(shè)陽=3x,則“'udr,AF=3x+10,

又?：FC?=FDFA，

即（4X）2=3X（3X+10）,

30

解得/=?。ㄈ≌担?，

:.FD=3x=—,

7

【點睛】本題考查了圓周角的性質(zhì)，切線的判定定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，找出正切

的定義與相似三角形相似比的關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=+c的圖象與x軸交十點人（-2,0）和點3（6,0）

兩點，與下軸交于點C（0,6）.點。為線段BC上的一動點.

圖1圖2

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1,求△40。周長的最小值；

（3）如圖