2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題規(guī)范解答系列六-概率與統(tǒng)計學(xué)案新人教版

高考大題規(guī)范解答系列(六)——概率與統(tǒng)計考點一離散型隨機(jī)變量的分布列與期望例1(2024·山西聯(lián)考)已知甲盒中有三個白球和三個紅球，乙盒中僅裝有三個白球，球除顏色外完全相同．現(xiàn)從甲盒中任取三個球放入乙盒中．(1)求乙盒中紅球個數(shù)X的分布列與期望；(2)求從乙盒中任取一球是紅球的概率．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)由題意知X的可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)， 2分eq\x(得分點①)P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(9,20)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)， 4分eq\x(得分點②)所以X的分布列為X0123Peq\f(1,20)eq\f(9,20)eq\f(9,20)eq\f(1,20) 5分eq\x(得分點③)所以E(X)＝0×eq\f(1,20)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(1,20)＝eq\f(3,2). 6分eq\x(得分點④)(2)當(dāng)乙盒中紅球個數(shù)為0時，P1＝0， 7分eq\x(得分點⑤)當(dāng)乙盒中紅球個數(shù)為1時，P2＝eq\f(9,20)×eq\f(1,6)＝eq\f(3,40)， 8分eq\x(得分點⑥)當(dāng)乙盒中紅球個數(shù)為2，P3＝eq\f(9,20)×eq\f(2,6)＝eq\f(3,20)， 9分eq\x(得分點⑦)當(dāng)乙盒中紅球個數(shù)為3時，P4＝eq\f(1,20)×eq\f(3,6)＝eq\f(1,40)， 10分eq\x(得分點⑧)所以從乙盒中任取一球是紅球的概率為P1＋P2＋P3＋P4＝eq\f(1,4). 12分eq\x(得分點⑨)【評分細(xì)則】(1)第一問中，正確算出P(X＝0)，P(X＝1)，P(X＝2)，P(X＝3)各得1分，列出分布列得1分，求出期望得1分．(2)其次問中，分類探討，每種狀況各占1分．(3)其他方法按步驟酌情給分．例2(2024·課標(biāo)Ⅰ，21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再支配下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了便利描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈，則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗起先時都給予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；②求p4，并依據(jù)p4的值說明這種試驗方案的合理性．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)X的全部可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)·(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β) 4分eq\x(得分點①)(2)①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. 5分eq\x(得分點②)因此pi＝0.4Pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1). 6分eq\x(得分點③)又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比為4，首項為p1的等比數(shù)列. 7分eq\x(得分點④)②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257). 10分eq\x(得分點⑤)p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率．由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4＝eq\f(1,257)≈0.0039， 11分eq\x(得分點⑥)此時得出錯誤結(jié)論的概率特別小，說明這種試驗方案合理. 12分eq\x(得分點⑦)【評分細(xì)則】①每個式子1分，表格1分；給出X的可能取值給1分；②得出a、b、c的值(有正確的)得1分；③得到Pi＋1－Pi＝4(Pi－Pi－1)得1分；④給出結(jié)論得1分；⑤得出P8，P4，P1的表達(dá)式各得1分；⑥說明P4特別小得1分；⑦說明試驗方案合理得1分．【名師點評】1．核心素養(yǎng)：本題主要考查相互獨立事務(wù)的概率、隨機(jī)變量的期望、方差的應(yīng)用、二項分布、決策問題等，考查數(shù)據(jù)處理實力、運算求解實力，考查或然與必定思想，考查的核心素養(yǎng)的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析．2．解題技巧：破解此類題的關(guān)鍵：一是仔細(xì)讀題，讀懂題意；二是會利用導(dǎo)數(shù)求最值；三是會利用公式求聽從特別分布的離散型隨機(jī)變量的期望值；四是會利用期望值，解決決策型問題．〔變式訓(xùn)練1〕(2024·湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考)某學(xué)校為了了解學(xué)生對新冠病毒的傳播和預(yù)防學(xué)問的駕馭狀況，學(xué)校確定組織一次有關(guān)新冠病毒預(yù)防學(xué)問競答．競答分為必答題(共5題)和選答題(共2題)兩部分．每位同學(xué)答題相互獨立，且每道題答對與否互不影響．已知甲同學(xué)答對每道必答題的概率為eq\f(4,5)，答對每道選答題的概率為eq\f(2,5).(1)求甲恰好答對4道必答題的概率；(2)在選答階段，若選擇回答且答對嘉獎5分，答錯扣2分，選擇放棄回答得0分．已知甲同學(xué)對于選答的兩道題，選擇回答和放棄回答的概率均為eq\f(1,2)，試求甲同學(xué)在選答題階段，得分X的分布列．[解析](1)甲恰好答對4道必答題的概率為P＝Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))4×eq\f(1,5)＝eq\f(256,625).(2)依題意，每道題選擇回答并答對的概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,5)，選擇回答且答錯的概率為eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,10)，選擇放棄回答的概率為eq\f(1,2).甲得分的可能性為－4分，－2分，0分，3分，5分和10分．所以P(X＝－4)＝eq\f(9,100)，P(X＝－2)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,10)，P(X＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,25)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,5)，P(X＝10)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(1,25).所以X的分布列為X－4－203510Peq\f(9,100)eq\f(3,10)eq\f(1,4)eq\f(3,25)eq\f(1,5)eq\f(1,25)考點二線性回來分析例3(2024·全國2)下圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回來模型．依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①；eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t，依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由．【分析】(1)模型①中取t＝19，模型②中取t＝9，求出對應(yīng)的函數(shù)值即可；(2)利用所給折線圖中數(shù)據(jù)的增長趨勢，加以分析即可．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元). 3分eq\x(得分點①)利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元). 6分eq\x(得分點②)(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠． 8分eq\x(得分點③)理由如下：(i)從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．(ii)從計算結(jié)果看，相對于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．(以上給出了2種理由，答出其中隨意一種或其他合理理由均可得分) 12分eq\x(得分點④)【評分細(xì)則】①依據(jù)模型①求出預(yù)料值給3分；②依據(jù)模型②求出預(yù)料值給3分；③推斷模型②得到的預(yù)料值更牢靠給2分；④作出正確的推斷，寫出合理理由，給4分；【名師點評】1．核心素養(yǎng)：本題主要考查線性回來方程的實際應(yīng)用，考查考生的應(yīng)用意識，分析問題與解決問題的實力以及運算求解實力，考查數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算．2．解題技巧：統(tǒng)計中涉及的圖形較多、常見的有條形統(tǒng)計圖、折線圖、莖葉圖、頻率分布直方圖、應(yīng)嫻熟地駕馭這些圖形的特點，提高識圖與用圖的實力．〔變式訓(xùn)練2〕(2024·安徽蚌埠質(zhì)檢)經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的某一型號二手汽車的運用年數(shù)x(0<x≤10，x∈N)與每輛的銷售價格y(單位：萬元)進(jìn)行整理，得到如表的對應(yīng)數(shù)據(jù)：運用年數(shù)246810售價16139.574.5(1)試求y關(guān)于x的回來直線方程；(2)已知每輛該型號汽車的收購價格ω(單位：萬元)與運用年數(shù)x(0<x≤10，x∈N)的函數(shù)關(guān)系為ω＝0.05x2－1.75x＋17.2，依據(jù)(1)中所求的回來方程，預(yù)料x為何值時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤z最大．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).[解析](1)由表中數(shù)據(jù)，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(16＋13＋9.5＋7＋4.5)＝10，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(2×16＋4×13＋6×9.5＋8×7＋10×4.5－5×6×10,4＋16＋36＋64＋100－5×36)＝－1.45，eq\o(a,\s\up6(^))＝10－(－1.45)×6＝18.7，所以y關(guān)于x的回來直線方程為y＝－1.45x＋18.7.(2)由題意，z＝y(tǒng)－ω＝－1.45x＋18.7－(0.05x2－1.75x＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5，其中0<x≤10，且x∈N，z＝－0.05x2＋0.3x＋1.5＝－0.05(x－3)2＋1.95，所以預(yù)料x＝3時，銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤最大．考點三獨立性檢驗例4(2024·課標(biāo)全國Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高，并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式其次種生產(chǎn)方式(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】(1)依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)大致集中在哪個莖，作出推斷；(2)通過莖葉圖確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，按要求完成2×2列聯(lián)表；(3)依據(jù)(2)中2×2列聯(lián)表，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式計算得K2的值，借助臨界值表作出統(tǒng)計推斷．【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分(1)其次種生產(chǎn)方式的效率更高. 4分eq\x(得分點①)理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多．關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用其次種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(2)由莖葉圖知m＝eq\f(79＋81,2)＝80. 6分eq\x(得分點②)列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155其次種生產(chǎn)方式515 8分eq\x(得分點③)(3)由于K2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10>6.635， 11分eq\x(得分點④)所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 12分eq\x(得分點⑤)【評分細(xì)則】①答案給出了4種理由，考生答出隨意一種或其他合理理由，均給4分；②由莖葉圖求出中位數(shù)，給2分；③按要求完成2×2列聯(lián)表，給2分；④依據(jù)公式正確求出K2的值，給3分；⑤借助于臨界值表作出推斷，給1分．【名師點評】1．核心素養(yǎng)：莖葉圖及獨立性檢驗是高考命題的重點，在每年的高考試題都以不同的命題背景進(jìn)行命制．此類問題主要考查學(xué)生的分析問題和解決實際問題的實力，同時考查“數(shù)據(jù)分析”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．解題技巧：(1)審清題意：弄清題意，理順條件和結(jié)論；(2)找數(shù)量關(guān)系：把圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)字，找關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系；(3)建立解決方案：找準(zhǔn)公式，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)值代入公式計算；(4)作出結(jié)論：依據(jù)數(shù)據(jù)，借助臨界值表作出正確推斷．〔變式訓(xùn)練3〕(2024·湖南百校聯(lián)考)2024年3月受新冠肺炎疫情的影響，我市全體學(xué)生只能網(wǎng)上在線學(xué)習(xí)．為了了解學(xué)生在線學(xué)習(xí)的狀況，市教研院數(shù)學(xué)教研室隨機(jī)從市區(qū)各中學(xué)學(xué)校抽取60名學(xué)生對線上教學(xué)狀況進(jìn)行調(diào)查(其中男生與女生的人數(shù)之比為2：1)，結(jié)果發(fā)覺男生中有10名對線上教學(xué)滿足，女生中有12名對線上教學(xué)不滿足．(1)請完成如下2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“對線上教學(xué)是否滿足與性別有關(guān)”；滿足不滿足合計男生女生合計60(2)以這60名學(xué)生對線上教學(xué)的看法的頻率作為1名學(xué)生對線上教學(xué)的看法的概率，若從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中對線上教學(xué)滿足的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：參考公式及臨界值表K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2>k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635[解析](1)由題意可知抽取60名學(xué)生中男生有40人，女生有20人，則列聯(lián)表如下：滿足不滿足合計男生103040女生81220合計184260因為K2＝eq\f(60×10×12－30×82,18×42×40×20)＝eq\f(10,7)≈1.429<2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“對線上教學(xué)是否滿足與性別有關(guān)”．(2)X的可能取值為0,1,2,3，由題意可知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,10)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))3－k，k＝0,1,2,3，隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(343,1000)eq\f(441,1000)eq\f(189,1000)eq\f(27,1000)E(X)＝3×eq\f(3,10)＝eq\f(9,10).考點四正態(tài)分布例5國慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風(fēng)景線，每一名女兵都是經(jīng)過層層篩選才最終入選受閱方隊，篩選標(biāo)準(zhǔn)特別嚴(yán)格，例如要求女兵身高(單位：cm)在區(qū)間[165,175]內(nèi)．現(xiàn)從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取200人，對她們的身高進(jìn)行統(tǒng)計，將所得數(shù)據(jù)分為[165,167)，[167,169)，[169,171)，[171,173)，[173,175]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為75，最終三組的頻率之和為0.7.(1)請依據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為受閱女兵的身高X(cm)近似聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.(ⅰ)求P(167.86<X<174.28)；(ⅱ)若從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取10人，求這10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，eq\r(115)≈10.7，0.954410≈0.63,0.97729≈0.81,0.977210≈0.79.[解析](1)由題知五組頻率依次為0.1,0.2,0.375，0.25，0.075，1分故eq\o(x,\s\up6(－))＝0.1×166＋0.2×168＋0.375×170＋0.25×172＋0.075×174＝170，2分s2＝(170－166)2×0.1＋(170－168)2×0.2＋(170－172)2×0.25＋(170－174)2×0.075＝4.6；4分(2)由題知μ＝170，σ＝eq\r(4.6)＝eq\f(\r(115),5)≈2.14，5分(ⅰ)P(167.86<X<174.28)＝P(μ－σ<X<μ＋2σ)＝0.6826＋eq\f(0.9544－0.6826,2)＝0.8185，8分(ⅱ)P(X>174.28)＝eq\f(1－0.9544,2)＝0.0228，故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率P＝1－(1－0.0228)10＝1－0.977210≈1－0.79＝0.21.12分〔變式訓(xùn)練4〕(2024·貴州遵義模擬)3D打印通常是采納數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來實現(xiàn)的，常在模具制造、工業(yè)設(shè)計等領(lǐng)域被用于制造模型，后漸漸用于一些產(chǎn)品的干脆制造，已經(jīng)有運用這種技術(shù)打印而成的零部件．該技術(shù)應(yīng)用特別廣泛，可以預(yù)料在將來會有廣袤的發(fā)展空間，某制造企業(yè)向A高校3D打印試驗團(tuán)隊租用一臺3D打印設(shè)備，用于打印一批對內(nèi)徑有較高精度要求的零件．該團(tuán)隊在試驗室打印出了一批這樣的零件，從中隨機(jī)抽取10件零件，度量其內(nèi)徑的莖葉圖如圖所示(單位：μm).(1)計算平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ；(2)假設(shè)這臺3D打印設(shè)備打印出的零件內(nèi)徑Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，該團(tuán)隊到工廠安裝調(diào)試后，試打了5個零件，度量其內(nèi)徑分別為：86,95,103,109,118(單位：μm)，試問：此打印設(shè)備是否須要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974，0．95443＝0.87,0.99744＝0.99，0．04562＝0.002.[解析](1)μ＝eq\f(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114,10)＝105μm，σ2＝eq\f(－82＋－82＋－72＋－32＋02＋22＋32＋42＋82＋92,10)＝36，所σ＝6μm.(2)結(jié)論：須要進(jìn)一步調(diào)試．理由如下：假如機(jī)器正常工作，則Z聽從正態(tài)分布N(105,62)，P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝P(87<Z<123)＝0.9974，零件內(nèi)徑在(87,123)之外的概率只有0.0026，而86?(87,123)，依據(jù)3σ原則知機(jī)器異樣，須要進(jìn)一步調(diào)試．(還可有其它說明，合理即可)考點五*概率、統(tǒng)計與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合例6(2024·百師聯(lián)盟期末)出版商為了解某科普書一個季度的銷售量y(單位：千本)和利潤x(單位：元/本)之間的關(guān)系，對近年來幾次調(diào)價之后的季銷售量進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到如下的10組數(shù)據(jù).序號12345678910x2.43.14.65.36.47.17.88.89.510y18.114.19.17.24.93.93.22.32.11.4依據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出如圖所示的散點圖：(1)依據(jù)圖中所示的散點圖推斷y＝ax＋b和y＝clnx＋d哪個更相宜作為銷售量y關(guān)于利潤x的回來方程類型？(給出推斷即可，不須要說明理由)；(2)依據(jù)(1)中的推斷結(jié)果及參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回來方程；(3)依據(jù)回來方程分析：設(shè)該科普書一個季度的利潤總額為z(單位：千元)，當(dāng)季銷售量y為何值時，該書一個季度的利潤總額預(yù)報值最大？(季利潤總額＝季銷售量×每本書的利潤)參考公式及參考數(shù)據(jù)：①對于一組數(shù)據(jù)(u1，ν1)，(u2，ν2)，…，(un，νn)，其回來直線ν＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的公式分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))νi－\o(ν,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(ν,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).②參考數(shù)據(jù)：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(u,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,10,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,10,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))6.506.631.7582.502.70－143.25－27.54表中ui＝lnxi，eq\o(u,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,)ui.另：ln4.06≈1.40.計算時，全部的小數(shù)都精確到0.01.[解析](1)y＝clnx＋d更相宜作為銷售量y關(guān)于利潤x的回來方程類型．(2)令u＝lnx，先建立y關(guān)于u的線性回來方程，由于eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)ui－\o(u,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,10,)ui－\o(u,\s\up6(－))2)＝eq\f(－27.54,2.70)＝－10.20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(c,\s\up6(－))·eq\o(u,\s\up6(－))＝6.63＋10.20×1.75＝24.48，所以y關(guān)于u的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝24.48－10.20u，即y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝24.48－10.20lnx.(3)由題意得z＝xy＝x(24.48－10.20lnx)，z′＝[x(24.48－10.20lnx)]′＝14.28－10.20lnx，令z′＝0即14.28－10.20lnx＝0，解得lnx＝1.40，所以x≈4.06.當(dāng)x∈(0,4.06)時，z′>0，所以z在(0,4.06)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(4.06，＋∞)時，z′<0，所以z在(4.06，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝4.06時，即季銷量y＝10.20千本時，季利潤總額預(yù)報值最大．〔變式訓(xùn)練5〕(2024·河北省部分重點中學(xué)期末聯(lián)考)11月，2024全國漂亮鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地——安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪番進(jìn)行籃球定點投籃競賽(每人各投一次為一輪)．在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分．設(shè)甲每次投球命中的概率為eq\f(1,2)，乙每次投球命中的概率為eq\f(2,3)，且各次投球互不影響．(1)經(jīng)過1輪投球，記甲的得分為X，求X的分布列；(2)若經(jīng)過n輪投球，用pi表示經(jīng)過第i輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率．①求p1，p2，p3；②規(guī)定p0＝0，經(jīng)過計算機(jī)計算可估計得pi＝api＋1＋bpi＋cpi－1(b≠1)，請依據(jù)①中p1，p2，p3的值分別寫出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列{pn}的通項公式．[解析](1)X的可能取值為－1,0,1