2025版新教材高考數(shù)學一輪復習第十章概率隨機變量及其分布10.5離散型隨機變量的數(shù)字特征學案新人教A版

10.5離散型隨機變量的數(shù)字特征必備學問預案自診學問梳理1.離散型隨機變量的均值(1)定義:一般地,若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)=為隨機變量X的均值或數(shù)學期望,數(shù)學期望簡稱期望.

問題思索隨機變量的均值與樣本的平均值有什么區(qū)分和聯(lián)系?(2)均值的性質(zhì)若Y=aX+b,其中X是隨機變量,a,b是常數(shù),隨機變量X的均值是E(X),則E(Y)=E(aX+b)=.

特殊提示①當a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個常數(shù)本身;②當a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個常數(shù)之和;③當b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機變量X乘積的均值等于這個常數(shù)與X的均值的乘積.2.離散型隨機變量的方差(1)定義:一般地,若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱D(X)=為隨機變量X的方差,并稱D(X)為隨機變量X的標準差,記為σ(x溫馨提示①隨機變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的.②(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相對于均值E(X)的偏離程度,而D(X)是上述偏離程度的加權平均數(shù),刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標準差越小,則隨機變量偏離于均值的平均程度越小.③標準差與隨機變量有相同的單位,而方差的單位是隨機變量單位的平方.(2)方差的性質(zhì)若Y=aX+b,其中X是隨機變量,a,b是常數(shù),隨機變量X的方差是D(X),則D(Y)==.

特殊提示①當a=0時,D(b)=0,即常數(shù)的方差等于0.②當a=1時,D(X+b)=D(X),即隨機變量與常數(shù)之和的方差等于這個隨機變量的方差.③當b=0時,D(aX)=a2D(X),即隨機變量與常數(shù)之積的方差等于這個常數(shù)的平方與這個隨機變量方差的乘積.3.幾種特殊分布的均值和方差(1)兩點分布:若隨機變量X聽從兩點分布,則E(X)=,D(X)=.

(2)二項分布:若X~B(n,p),則E(X)=,D(X)=.

(3)超幾何分布:設隨機變量X聽從參數(shù)為N,M,n(n,N,M∈N*,M≤N,n≤N)的超幾何分布,令p=MN則E(X)=,D(X)=nM(N1.若X1,X2相互獨立,則E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.均值與方差的關系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k為常數(shù).4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若X~N(μ,σ2),則X的均值與方差分別為E(X)=μ,D(X)=σ2.考點自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)期望是算術平均數(shù)概念的推廣,與概率無關.()(2)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的狀況,因此它們是一回事.()(3)隨機變量的均值是常數(shù),樣本的平均值是隨機變量,它不確定.()(4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小.()2.(2024江蘇鎮(zhèn)江高三檢測)若X~B80,14,則D(X)=()A.20 B.40 C.15 D.303.已知X的分布列為:X-101P111設Y=2X+3,則E(Y)的值為()A.73 B.4C.-1 D.14.設0<a<1,隨機變量X的分布列為:X0a1P111則當a在(0,1)內(nèi)增大時()A.D(X)增大 B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大5.(多選)(2024山東聊城高三質(zhì)檢)若隨機變量X聽從兩點分布,其中P(X=0)=14,E(X),D(X)分別為隨機變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4C.D(X)=316 D.D(4X+1)=關鍵實力學案突破考點求離散型隨機變量的均值與方差【例1】(2024江蘇鹽城模擬,18)為了提倡健康、低碳、綠色的生活理念,某市建立了公共自行車服務系統(tǒng)激勵市民租用公共自行車出行,公共自行車按每車每次的租用時間進行收費,詳細收費標準如下:①租用時間不超過1小時,免費;②租用時間為1小時以上且不超過2小時,收費1元;③租用時間為2小時以上且不超過3小時,收費2元;④租用時間超過3小時的時段,按每小時2元收費.(不足1小時的部分按1小時計算)已知甲、乙兩人獨立出行,各租用公共自行車一次,兩人租車時間都不會超過3小時,設甲、乙租用時間不超過1小時的概率分別是0.4和0.5,租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.5和0.3.(1)求甲、乙兩人所付租車費相同的概率;(2)設甲、乙兩人所付租車費之和為隨機變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ).解題心得1.求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟:(1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值.(2)求X取每個值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).2.留意性質(zhì)的應用:若隨機變量X的均值為E(X),則對應隨機變量aX+b的均值是aE(X)+b,方差為a2D(X).對點訓練1某投資公司在2024年年初打算將1000萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目供選擇:項目一:新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種狀況發(fā)生的概率分別為79項目二:通信設備.據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種狀況發(fā)生的概率分別為35針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.考點二項分布的均值與方差【例2】一個盒子中裝有大量形態(tài)、大小一樣,質(zhì)量不完全相同的小球,從中隨機抽取50個作為樣本,稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量分組區(qū)間為[5,15),[15,25),[25,35),[35,45],由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖.(1)求a的值,并依據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)與平均數(shù);(2)從盒子中隨機抽取3個小球,其中質(zhì)量在[5,15]內(nèi)的小球個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望以及方差(以直方圖中的頻率作為概率).解題心得求隨機變量X的均值與方差時,可首先分析X是否聽從二項分布,假如X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大削減計算量.對點訓練2(2024天津,16)設甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學到校狀況互不影響,且任一同學每天到校狀況相互獨立(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望;(2)設M為事務“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事務M發(fā)生的概率.考點均值與方差在決策中的應用【例3】某地區(qū)擬建立一個藝術博物館,實行競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司,經(jīng)過層層篩選,甲、乙兩家建筑公司進入最終的招標.現(xiàn)從建筑設計院聘請專家設計了一個招標方案:兩家公司從6個招標問題中隨機抽取3個問題,已知這6個招標問題中,甲公司可正確回答其中的4道題目,而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23,甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立,互不影響的(1)求甲、乙兩家公司共答對2道題目的概率;(2)請從期望和方差的角度分析,甲、乙兩家哪家公司競標勝利的可能性更大?解題心得利用均值、方差進行決策的方法:均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”,因此,當均值不同時,兩個隨機變量取值的水平可見分曉,由此可對實際問題作出決策推斷;若兩個隨機變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩個變量的方差來探討隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小,進而進行決策.對點訓練3為回饋顧客,某商場擬通過模擬兌獎的方式對1000位顧客進行嘉獎,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的嘉獎額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元,其余3個均為10元,求:①顧客所獲的嘉獎額為60元的概率;②顧客所獲的嘉獎額的分布列及均值;(2)商場對嘉獎總額的預算是60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成,或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的嘉獎總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的嘉獎額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由.一般地,假設一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.假如隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X聽從超幾何分布.X的均值為E(X)【典例】已知100件產(chǎn)品中有10件次品,從中任取3件,則取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的均值是,方差是.

答案0.30.2645解析(方法1)用隨機變量ξ表示取出的3件產(chǎn)品中的次品數(shù),則ξ的全部可能取值是0,1,2,3,且有P(ξ=0)=C100C903C1003≈0.7265,P(ξP(ξ=2)=C102C901C1003≈0.0250,P(ξ=3)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P所以ξ的分布列為ξ0123P0.72650.24770.02500.0008從而E(ξ)=0×0.7265+1×0.2477+2×0.0250+3×0.0008=0.3001≈0.3,D(ξ)≈(0-0.3)2×0.7265+(1-0.3)2×0.2477+(2-0.3)2×0.0250+(3-0.3)2×0.0008≈0.2645.(方法2)這是超幾何分布問題,其中N=100,M=10,n=3,故E(ξ)=nMN=3×D(ξ)=nM(N-M)(解題心得求超幾何分布的均值時,干脆應用公式E(X)=nMN比較簡潔,而方差公式不太簡潔記憶,一般是依據(jù)超幾何分布的概率公式求出分布列,代入離散型隨機變量的方差公式計算對點訓練從5名女生和2名男生中任選3人參與英語演講競賽,設隨機變量ξ表示所選3人中男生的人數(shù).(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值與方差;(3)求ξ≤1的概率.概率問題與現(xiàn)實生活聯(lián)系親密,所以高考等各類綜合考試中常以實際應用題形式呈現(xiàn),多為解答題,有較大的閱讀量,與社會熱點問題緊密結(jié)合,考查概率與統(tǒng)計中的眾多學問.有時也會與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、不等式等學問綜合命題,考查形式新奇,有肯定的難度.【典例】某病毒存在人與人之間的傳染,可以通過與患者的親密接觸進行傳染.我們把與患者有過親密接觸的人群稱為親密接觸者,每位親密接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位親密接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為p(0<p<1),某位患者在隔離之前,每天有a位親密接觸者,其中被感染的人數(shù)為X,假設每位親密接觸者不再接觸其他患者.(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)X的概率P(X=k)(k=0,1,2,…,a)與a、p的關系式和X的數(shù)學期望;(2)該病毒在進入人體后有14天的潛藏期,在這14天的潛藏期內(nèi)患者無任何癥狀,為病毒傳播的最佳時間,設每位患者在被感染后的其次天又有a位親密接觸者,把某一名患者被感染的當天按第1天算起,第n天新增患者的數(shù)學期望記為En.①求數(shù)列{En}的通項公式;②若戴口罩能降低每位親密接觸者患病概率,降低后的患病概率p'=ln(1+p)-23p,當p'取最大值時,計算此時p'所對應的E6'值和此時p對應的E6值,依據(jù)計算結(jié)果說明戴口罩的必要性.(取a=結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):ln3≈1.1,ln2≈0.7,13≈0.3解(1)由題意,被感染人數(shù)聽從二項分布:X~B(a,p),則P(X=k)=Cakpk(1-p)a-k(k=0,1,2,…,a),X的數(shù)學期望E(X)(2)①由題意可知當n=1時,E1=0,當n≥2時,第n天被感染人數(shù)為(1+ap)n-1,第n-1天被感染人數(shù)為(1+ap)n-2,En=(1+ap)n-1-(1+ap)n-2=ap(1+ap)n-2,則EnEn-1=1+ap,且E2=ap.②令f(p)=ln(1+p)-23p,則f'(p)=1∴f(p)在0,12上單調(diào)遞增,在12,1上單調(diào)遞減.f(p)max=f12=ln32-13=ln3-ln2-13≈1.1-0.7-0.3=則當a=10,n=6時,E6'=10×0.1(1+10×0.1)4=16.E6=10×0.5(1+10×0.5)4=6480.∵E6>E6',∴戴口罩很有必要.對點訓練1(2024山東威海一模,22)新藥在進入臨床試驗之前,須要先通過動物進行有效性和平安性的試驗.現(xiàn)對某種新藥進行5000次動物試驗,一次試驗方案如下:選取3只白鼠對藥效進行檢驗,當3只白鼠中有2只或2只以上運用“效果明顯”,即確定“試驗勝利”;若有且只有1只“效果明顯”,則再取2只白鼠進行二次檢驗,當2只白鼠均運用“效果明顯”,即確定“試驗勝利”,其余狀況則確定“試驗失敗”.設對每只白鼠的試驗相互獨立,且運用“效果明顯”的概率均為p(0<p<1).(1)若p=12,設該新藥在一次試驗方案中“試驗勝利”的概率為p0,求p0的值(2)若動物試驗預算經(jīng)費700萬元,對每只白鼠進行試驗須要300元,其他費用總計為100萬元,問該動物試驗總費用是否會超出預算,并說明理由.對點訓練2(2024云南昆明三模,20)某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋果的種植,并開設網(wǎng)店進行銷售.為了做好蘋果的品控,小張從自己果園的蘋果樹上,隨機摘取150個蘋果測重(單位:克),其質(zhì)量分布在區(qū)間[100,400]內(nèi),依據(jù)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖.圖1圖2(1)以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率,現(xiàn)一顧客從該果園購買了30個蘋果,求這30個蘋果中質(zhì)量在(300,400]內(nèi)的個數(shù)X的數(shù)學期望;(2)小張的網(wǎng)店為了進行蘋果的促銷,推出了“買蘋果,送福袋”的活動,買家在線參與按圖行進贏取福袋的嬉戲.該嬉戲的規(guī)則如下:買家點擊拋擲一枚特殊的骰子,每次拋擲的結(jié)果為1或2,且出現(xiàn)這兩種結(jié)果的概率相同;從動身格(第0格)起先,每擲一次,依據(jù)拋擲的結(jié)果,按如圖2所示的路徑向前行進一次,若擲出1點,即從當前位置向前行進一格(從第k格到第k+1格,k∈N),若擲出2點,即從當前位置向前行進兩格(從第k格到第k+2格,k∈N),行進至第31格(獲得福袋)或第32格(感謝惠顧),嬉戲結(jié)束.設買家行進至第i格的概率為pi(i=0,1,2,…,32),p0=1.①求p1,p2,并寫出用pi-2,pi-1表示pi(i=2,3,…,31)的遞推式;②求p32,并說明該高校生網(wǎng)店推出的此款嬉戲活動,是更有利于賣家,還是更有利于買家.10.5離散型隨機變量的數(shù)字特征必備學問·預案自診學問梳理1.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nx問題思索提示①區(qū)分:隨機變量的均值是一個常數(shù),它不依靠于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個隨機變量,它是隨著樣本的不同而改變的.②聯(lián)系:對于簡潔隨機抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近于總體的均值.因此,我們常用樣本的平均值來估計總體的均值.(2)aE(X)+b2.(1)∑i=1n(xi-E(X))2pi(2)D(aX+b)a2D3.(1)pp(1-p)(2)npnp(1-p)(3)nM考點自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C∵X~B80,14,∴D(X)=80×14×343.A∵E(X)=-12+16=-13,∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-24.D依據(jù)題意可得E(X)=0+a+13=a+13,D(X)=0-a+132×13+a-所以D(X)是先減小后增大,故選D.5.ABC因為隨機變量X聽從兩點分布,且P(X=0)=14,所以P(X=1)=34,E(X)=0×14+1×34=34,所以P(X=1)=E(X),故A正確;E(4X+1)=4E(X)+1=4×34+1=4,故B正確;D(X)=(0-34)2×14+(1-34)2×34關鍵實力·學案突破例1解(1)依據(jù)題意,分別記“甲所付租車費0元、1元、2元”為事務A1,A2,A3,它們彼此互斥,且P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,所以P(A3)=1-0.4-0.5=0.1.分別記“乙所付租車費0元、1元、2元”為事務B1,B2,B3,它們彼此互斥,且P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,所以P(B3)=1-0.5-0.3=0.2.由題知,A1,A2,A3與B1,B2,B3相互獨立,記甲、乙兩人所付租車費相同為事務M,則M=A1B1∪A2B2∪A3B3,所以P(M)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37.(2)據(jù)題意,ξ的可能取值為0,1,2,3,4,P(ξ=0)=P(A1)P(B1)=0.2;P(ξ=1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37;P(ξ=2)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28;P(ξ=3)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13;P(ξ=4)=P(A3)P(B3)=0.1×0.2=0.02.所以ξ的分布列為:ξ01234P0.20.370.280.130.02數(shù)學期望E(ξ)=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4.對點訓練1解若按“項目一”投資,設獲利為X1萬元,則X1的分布列為X1300-150P72∴E(X1)=300×79+(-150)×29=200.若按“項目二”投資,設獲利為X2萬元,則XX2500-3000P311∴E(X2)=500×35+(-300)×13+0×115=200.D(X1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,D(X2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140000.∴E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X例2解(1)由題意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.由頻率分布直方圖可估計盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)為20克,而樣本中小球質(zhì)量的平均數(shù)x=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克).故由樣本估計總體,可估計盒子中小球質(zhì)量的平均值為24.6克.(2)該盒子中小球質(zhì)量在[5,15)內(nèi)的概率為15,則X~B3,15.X的可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C30150×453=64125,P(X=1)=C31X0123P6448121則E(X)=3×15D(X)=3×15對點訓練2解(1)因為甲同學上學期間的三天中到校狀況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為23,故X~B3,23,從而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.所以隨機變量X0123P1248隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=3×23=2(2)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由題意知事務{(diào)X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且事務{(diào)X=3}與{Y=1},事務{(diào)X=2}與{Y=0}均相互獨立,從而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×例3解(1)由題意可知,所求概率P=C41C22C63×(2)設甲公司正確完成面試的題數(shù)為X,則X的取值分別為1,2,3.P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=CX123P131所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2,D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25.設乙公司正確完成面試的題為Y,則Y取值分別為0,1,2,3.P(Y=0)=127,P(Y=1)=C31×23×13Y0123P1248所以E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.或∵Y~B3,23,∴E(Y)=3×23=2D(Y)=(0-2)2×127+(1-2)2×29+(2-2)2×49+(3-2)2×827=23.由E(X)=E(Y),D對點訓練3解(1)設顧客所獲的嘉獎額為X.①依題意,得P(X=60)=C11C31C42②依題意,得X的全部可能取值為20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C32CX2060P11所以顧客所獲的嘉獎額的均值為E(X)=20×12+60×12=(2)依據(jù)商場的預算,每個顧客的平均嘉獎額為60元,所以先找尋均值為60的可能方案.對于面值由10元和50元組成的狀況,假如選擇(10,10,10,50)的方案,因為60元是面值之和的最大值,所以均值不行能為60元;假如選擇(50,50,50,10)的方案,因為60元是面值之和的最小值,所以均值也不行能為60元;因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對于面值由20元和40元組成的狀況,同理可解除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對兩個方案的分析.對于方案1,即方案(10,10,50,50),設顧客所獲的嘉獎額為X1,則X1的分布列為X12060100P121X1的均值為E(X1)=20×16+60×23+100×16=60,X1的方差為D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003.對于方案2,即方案(20,20,40,40),設顧客所獲的X2406080P121X2的均值為E(X2)=40×16+60×23+80×16=60,X2的方差為D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.由于兩種方案的嘉獎額的均值都符合要求,但方案2嘉獎素養(yǎng)提升微專題16——超幾何分布的均值與方差對點訓練解(1)ξ可能取的值為0,1,2,且ξ滿意超幾何分布.P(ξ=0)=C20C53C73=27,P(ξ=1)=C2ξ012P241(2)E(ξ)=0×27+1×47+2×17=67,D(3)P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=27案例探究(五)概率與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合問題對點訓練1.解(1)當p=12時,一次檢驗就取得“試驗勝利”的概率為C32p2(1-p)+C33p3=3×14×12+123=12;經(jīng)過兩次檢驗才取得“試驗勝利”的概率為[C31p(1-p)2](2)設一次試驗方案須要用