（圓夢高考數學）題型02 函數的4大基本性質解題技巧（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）（含答案及解析）

題型02函數的4大基本性質解題技巧（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）技法01技法01函數單調性的應用及解題技巧技法02函數奇偶性的應用及解題技巧技法03函數周期性的應用及解題技巧技法04函數對稱性的應用及解題技巧技法05函數4大性質的綜合應用及解題技巧技法01函數單調性的應用及解題技巧在考查函數單調性時，如果能掌握同一定義域內，單調性的運算，可以快速判斷函數的單調性；同時復合函數單調性的相關計算也是高考重點在考查函數單調性時，如果能掌握同一定義域內，單調性的運算，可以快速判斷函數的單調性；同時復合函數單調性的相關計算也是高考重點，常以小題形式考查.知識遷移同一定義域內①增函數（↗）增函數（↗）增函數↗②減函數（↘）減函數（↘）減函數↘③為↗，則為↘，為↘④增函數（↗）減函數（↘）增函數↗⑤減函數（↘）增函數（↗）減函數↘⑥增函數（↗）減函數（↘）未知（導數）復合函數的單調性例1．（2020·全國·統考高考真題）設函數,則（

）A．是奇函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是偶函數，且在單調遞減在定義域內是增函數，在定義域內是減函數，所以在單調遞增【答案】A1．（2023·寧夏銀川·統考模擬預測）已知函數，則（

）A．是偶函數且是增函數 B．是偶函數且是減函數C．是奇函數且是增函數 D．是奇函數且是減函數2．（2021·內蒙古包頭·統考一模）設函數，則（

）A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減3．（2023·全國·模擬預測）函數的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．技法02函數奇偶性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數奇偶性是函數及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數奇偶性是函數及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移①具有奇偶性的函數定義域關于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數：，圖象關于原點對稱，偶函數：，圖象關于軸對稱③奇偶性的運算例2．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則．由題知為偶函數，定義域為，【法一】奇偶性的運算只需即可【法二】尋找必要條件（特值法）所以，即，則，故1．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．12．（2023·全國·統考高考真題）已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．23．（2021·全國·高考真題）設是定義域為R的奇函數，且.若，則（

）A． B． C． D．4．（2020·山東·統考高考真題）若定義在的奇函數f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2022·全國·統考高考真題）若是奇函數，則，．技法03函數周期性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數周期性是函數及高考的重要考點，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數周期性是函數及高考的重要考點，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）例3．（全國·高考真題）已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則A． B． C． D．因為是定義域為的奇函數，所以，即，所以周期為4【答案】C1．（2023上·海南省·高三校聯考）已知函數是定義在上的奇函數，且，，則（

）A． B．0 C．3 D．62．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．13．（2023·全國·模擬預測）若函數的定義域為，且，，則．技法04函數對稱性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數對稱性是函數及高考的重要考點，要熟悉對稱性的定義，若能熟悉對稱性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數對稱性是函數及高考的重要考點，要熟悉對稱性的定義，若能熟悉對稱性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為例4-1．（全國·高考真題）下列函數中，其圖像與函數的圖像關于直線對稱的是A． B． C． D．【法一】函數過定點（1，0），（1，0）關于x=1對稱的點還是（1，0），只有過此點．故選項B正確【法二】關于x=1對稱即，即【答案】B例4-2．（2016·全國·高考真題）已知函數滿足，若函數與圖像的交點為則A．0 B． C． D．【詳解】[方法一]：直接法.由得關于對稱，而也關于對稱，∴對于每一組對稱點，∴，故選B．[方法二]：特值法.由得不妨設因為，與函數的交點為∴當時，，故選B．[方法三]：構造法.設，則，故為奇函數.設，則，故為奇函數.∴對于每一組對稱點.將，代入，即得∴，故選B．[方法四]：由題意得,函數和的圖象都關于對稱,所以兩函數的交點也關于對稱,對于每一組對稱點和，都有.從而.故選B.【答案】B例4-3．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．因為的圖像關于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯立得，，所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，所以因為，所以.所以.【答案】D1．（2023上·江蘇南通·高三統考階段練習）已知曲線與曲線交于點，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足對任意實數有，若的圖象關于直線對稱，，則（

）A．2 B．1 C． D．3．（2023·湖南·湖南師大附中校聯考一模）（多選）已知函數，則（

）A．的圖象關于直線軸對稱B．的圖象關于點中心對稱C．的所有零點為D．是以為周期的函數4．（2023·全國·模擬預測）（多選）已知函數，則下列判斷正確的是（

）A．函數的圖象關于原點對稱 B．是函數的一個周期C．函數的圖象關于直線對稱 D．當時，的最小值為1技法05函數4大性質的綜合應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數奇偶性是函數及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數奇偶性是函數及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數，為奇函數，則的周期為：②已知為奇函數，為偶函數，則的周期為：例5．（2021·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（

）A． B． C． D．因為函數為偶函數，則，可得，因為函數為奇函數，則，所以，，所以，，即，故函數是以為周期的周期函數，因為函數為奇函數，則，故，其它三個選項未知.【答案】B1．（2021·全國·統考高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足為奇函數，為偶函數．若，則（

）A． B．0 C．2 D．20243．（2023·全國·模擬預測）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，若，則．4．（2023·浙江·統考一模）設函數的定義域為，且為偶函數，為奇函數，當時，，則.

題型02函數的4大基本性質解題技巧（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）技法01技法01函數單調性的應用及解題技巧技法02函數奇偶性的應用及解題技巧技法03函數周期性的應用及解題技巧技法04函數對稱性的應用及解題技巧技法05函數4大性質的綜合應用及解題技巧技法01函數單調性的應用及解題技巧在考查函數單調性時，如果能掌握同一定義域內，單調性的運算，可以快速判斷函數的單調性；同時復合函數單調性的相關計算也是高考重點在考查函數單調性時，如果能掌握同一定義域內，單調性的運算，可以快速判斷函數的單調性；同時復合函數單調性的相關計算也是高考重點，常以小題形式考查.知識遷移同一定義域內①增函數（↗）增函數（↗）增函數↗②減函數（↘）減函數（↘）減函數↘③為↗，則為↘，為↘④增函數（↗）減函數（↘）增函數↗⑤減函數（↘）增函數（↗）減函數↘⑥增函數（↗）減函數（↘）未知（導數）復合函數的單調性例1．（2020·全國·統考高考真題）設函數,則（

）A．是奇函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是偶函數，且在單調遞減在定義域內是增函數，在定義域內是減函數，所以在單調遞增【答案】A1．（2023·寧夏銀川·統考模擬預測）已知函數，則（

）A．是偶函數且是增函數 B．是偶函數且是減函數C．是奇函數且是增函數 D．是奇函數且是減函數【答案】C【分析】根據給定的函數，利用奇偶性定義及復合函數單詞性判斷作答.【詳解】函數的定義域為R，，即函數是奇函數，AB錯誤，因為函數在R上遞增，則函數在R上遞減，所以函數是增函數，D錯誤，C正確.故選：C2．（2021·內蒙古包頭·統考一模）設函數，則（

）A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減【答案】C【分析】首先確定定義域關于原點對稱，又有，可知為偶函數；利用復合函數單調性的判定方法可確定時，單調遞減，由對稱性可知時，單調遞增，由此得到結果.【詳解】由得：，定義域為；又，為定義域內的偶函數，可排除BD；當時，，在上單調遞減，單調遞增，在上單調遞減，可排除A；為偶函數且在上單調遞減，在上單調遞增，C正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題對于函數單調性的判斷的關鍵是能夠根據的范圍得到的解析式，利用復合函數單調性的判斷，即“同增異減”的方法確定函數在區(qū)間內的單調性.3．（2023·全國·模擬預測）函數的單調遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據真數大于零，可得函數的定義域；結合復合函數“同增異減”的原則，可確定函數的單調遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數的定義域為令，則是單調遞減函數又，在上單調遞增，在上單調遞減由復合函數的單調性可得函數的單調遞減區(qū)間為.故選：A.【點睛】本題考查的知識點是復合函數的單調性，函數的定義域，對數函數的性質，屬于中檔題.技法02函數奇偶性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數奇偶性是函數及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數奇偶性是函數及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移①具有奇偶性的函數定義域關于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數：，圖象關于原點對稱，偶函數：，圖象關于軸對稱③奇偶性的運算例2．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則．由題知為偶函數，定義域為，【法一】奇偶性的運算只需即可【法二】尋找必要條件（特值法）所以，即，則，故1．（2023·全國·統考高考真題）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據偶函數性質，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數.故選：B.2．（2023·全國·統考高考真題）已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據偶函數的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.3．（2021·全國·高考真題）設是定義域為R的奇函數，且.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意利用函數的奇偶性和函數的遞推關系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數的奇偶性和函數的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉化是解決本題的關鍵.4．（2020·山東·統考高考真題）若定義在的奇函數f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據函數奇偶性與單調性，得到函數在相應區(qū)間上的符號，再根據兩個數的乘積大于等于零，分類轉化為對應自變量不等式，最后求并集得結果.【詳解】因為定義在上的奇函數在上單調遞減，且，所以在上也是單調遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點睛】本題考查利用函數奇偶性與單調性解抽象函數不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.5．（2022·全國·統考高考真題）若是奇函數，則，．【答案】；．【分析】根據奇函數的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數定義域的對稱性若，則的定義域為，不關于原點對稱若奇函數的有意義，則且且，函數為奇函數，定義域關于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數的奇偶性求參函數為奇函數[方法三]：因為函數為奇函數，所以其定義域關于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數的定義域為，再由可得，．即，在定義域內滿足，符合題意．故答案為：；．技法03函數周期性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數周期性是函數及高考的重要考點，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數周期性是函數及高考的重要考點，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）例3．（全國·高考真題）已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則A． B． C． D．因為是定義域為的奇函數，所以，即，所以周期為4【答案】C1．（2023上·海南省·高三校聯考）已知函數是定義在上的奇函數，且，，則（

）A． B．0 C．3 D．6【答案】A【分析】由函數為奇函數可得，，再根據求出函數的周期，再根據函數的周期即可得解.【詳解】因為是定義在上的奇函數，所以，，因為，所以，則，所以，所以是以為周期的一個周期函數，所以.故選：A．2．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據題意賦值即可知函數的一個周期為，求出函數一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構造特殊函數由，聯想到余弦函數和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.3．（2023·全國·模擬預測）若函數的定義域為，且，，則．【答案】【分析】利用賦值法依次求得，再利用賦值法推得的周期為12，從而利用函數的周期性即可得解.【詳解】因為，令，有，則或．若，則令，，有，得，與已知矛盾，所以．令，有，則，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，有，得，令，有，即，所以，故，所以的周期為12．又因為，所以．【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用賦值法推得的周期性，從而得解.技法04函數對稱性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數對稱性是函數及高考的重要考點，要熟悉對稱性的定義，若能熟悉對稱性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數對稱性是函數及高考的重要考點，要熟悉對稱性的定義，若能熟悉對稱性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為例4-1．（全國·高考真題）下列函數中，其圖像與函數的圖像關于直線對稱的是A． B． C． D．【法一】函數過定點（1，0），（1，0）關于x=1對稱的點還是（1，0），只有過此點．故選項B正確【法二】關于x=1對稱即，即【答案】B例4-2．（2016·全國·高考真題）已知函數滿足，若函數與圖像的交點為則A．0 B． C． D．【詳解】[方法一]：直接法.由得關于對稱，而也關于對稱，∴對于每一組對稱點，∴，故選B．[方法二]：特值法.由得不妨設因為，與函數的交點為∴當時，，故選B．[方法三]：構造法.設，則，故為奇函數.設，則，故為奇函數.∴對于每一組對稱點.將，代入，即得∴，故選B．[方法四]：由題意得,函數和的圖象都關于對稱,所以兩函數的交點也關于對稱,對于每一組對稱點和，都有.從而.故選B.【答案】B例4-3．（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．因為的圖像關于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯立得，，所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，所以因為，所以.所以.【答案】D1．（2023上·江蘇南通·高三統考階段練習）已知曲線與曲線交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由和可確定兩曲線均關于中心對稱；利用導數可求得單調性和極值，結合的單調性可確定兩曲線在上的圖象，由此可確定交點個數，結合對稱性可求得結果.【詳解】令，則，，，關于中心對稱；，關于中心對稱；，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，極小值為，極大值為；當時，單調遞減，且，當時，；作出與在時的圖象如下圖所示，由圖象可知：與在上有且僅有兩個不同的交點，由對稱性可知：與在上有且僅有兩個不同的交點，.故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題考查函數對稱性的應用，解題關鍵是能夠根據函數的解析式，確定兩函數關于同一對稱中心對稱，結合兩函數圖象確定交點個數后，即可根據對稱性求得交點橫縱坐標之和.2．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數滿足對任意實數有，若的圖象關于直線對稱，，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】由題意，從而是周期函數，又的圖象關于直線對稱，從而函數的圖象關于直線對稱，由，從而即可求解.【詳解】因為，所以，從而可得，所以，所以函數的一個周期為6．因為的圖象關于直線對稱，所以，即函數的圖象關于直線對稱．又，，所以，所以，所以．由于23除以6余5，所以．故選：C．【點睛】易錯點點睛：對于“系數不為1”的復合型函數，一般情況下，內函數多為一次函數型，涉及奇偶性（圖象的對稱性）時處理方法有：①利用奇偶性（圖象的對稱性）直接替換題中對應的變量；②類比三角函數；③引入新函數，如令，則．本題中，的圖象關于直線對稱，令，則，從而，即，函數的圖象關于直線對稱，不能誤認為函數的圖象關于直線對稱．3．（2023·湖南·湖南師大附中校聯考一模）（多選）已知函數，則（

）A．的圖象關于直線軸對稱B．的圖象關于點中心對稱C．的所有零點為D．是以為周期的函數【答案】AC【分析】對于A：根據對稱軸的定義分析證明；對于B：舉例說明即可；對于C：根據零點的定義結合倍角公式運算求解；對于D：舉例說明即可.【詳解】對于A：因為，所以的圖象關于直線軸對稱，故A正確；對于B：因為，，所以的圖象不關于點中心對稱，B錯誤.對于C：因為，注意到，令，得，即，故的所有零點為，故C正確；對于D：因為，所以不是的周期，故D錯誤；故選：AC.4．（2023·全國·模擬預測）（多選）已知函數，則下列判斷正確的是（

）A．函數的圖象關于原點對稱 B．是函數的一個周期C．函數的圖象關于直線對稱 D．當時，的最小值為1【答案】ABD【分析】由函數奇偶性的定義即可判斷A項，運用周期定義即可判斷B項，結合A項、B項即可判斷C項，運用完全平方公式、二倍角公式化簡函數，結合換元法即可求得函數的最小值進而可判斷D項.【詳解】對于A項，因為，所以函數的定義域為，又，所以是奇函數，其圖象關于原點對稱，故A項正確；對于B項，，所以是函數的一個周期，故B項正確；對于C項，由B項知，由A項知，所以，所以的圖象關于點對稱，故C項錯誤；對于D項，，令，又，則，所以，即，所以，（），又在上單調遞減，所以當時，取得最小值為，故D項正確.故選：ABD.技法05函數4大性質的綜合應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數奇偶性是函數及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數奇偶性是函數及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數，為奇函數，則的周期為：②已知為奇函數，為偶函數，則的周期為：例5．（2021·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（

）A． B． C． D．因為函數為偶函數，則，可得，因為函數為奇函數，則，所以，，所以，，即，故函數是以為周期的周期函數，因為函數為奇函數，則，故，其它三個選項未知.【答案】B1．（2021·全國·統考高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【