專題03一元二次方程（考點(diǎn)剖析）-2018-2019學(xué)年浙江省八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末必考點(diǎn)復(fù)習(xí)（浙教版）2

專題03一元二次方程【考點(diǎn)剖析】1、一元二次方程的相關(guān)概念（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．注意：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．（2）一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．2、一元二次方程的解法（1）解一元二次方程配方法將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．（2）解一元二次方程公式法把x＝﹣b±b2﹣4ac用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．（3）解一元二次方程因式分解法因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．3、根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過(guò)來(lái)可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反過(guò)來(lái)也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．一元二次方程的定義【典例】例1．方程（m﹣3）xm2（1）m為何值時(shí)，方程是一元二次方程；（2）m為何值時(shí)，方程是一元一次方程．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵關(guān)于方程（m﹣3）xm∴m2﹣7＝2且m﹣3≠0，解得m＝﹣3．故m為﹣3時(shí)，方程是一元二次方程；（2）∵關(guān)于（m﹣3）xm∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1或m2﹣7＝0，解得m＝3或m＝±22或m＝±7故m為3或±22或±7時(shí)，方程是一元一次方程．【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)一元二次方程的定義得到：m2﹣7＝2且m﹣3≠0，由此可以求得m的值；（2）由一元一次方程的定義得到：m﹣3＝0且m﹣2≠0或m2﹣7＝1，由此可以求得m的值．本題考查了一元二次方程、一元一次方程的定義．注意，一元一次方程的未知數(shù)的系數(shù)不等于零，一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于零．【鞏固練習(xí)】1．已知方程（m﹣2）xm2+（1）當(dāng)m為何值時(shí)，它是一元二次方程？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，它是一元一次方程？【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵方程（m﹣2）xm∴m2解得：m＝±2，所以當(dāng)m為2或-2時(shí)，方程方程（m﹣2）x（2）∵方程（m﹣2）xm∴m-2=0m-3≠0解得，m＝2或m＝±1，m＝0，故當(dāng)m為2或±1時(shí)，方程方程（m﹣2）xm2．已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，該方程為一元二次方程？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，該方程為一元一次方程？【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0為一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即當(dāng)m≠±1時(shí)，方程為一元二次方程；（2）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0為一元一次方程，∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，即當(dāng)m為﹣1時(shí)，方程為一元一次方程．一元二次方程的解【典例】例1．若a是方程x2﹣3x+1＝0的根，計(jì)算：a2﹣3a+3a【答案】0【解析】解：∵a是方程x2﹣3x+1＝0的根，∴a2﹣3a+1＝0，則a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，所以原式＝﹣1+1＝0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】由方程的解的定義得出a2﹣3a+1＝0，即a2﹣3a＝﹣1、a2+1＝3a，整體代入計(jì)算可得．本題主要考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握方程的解的定義及整體代入思想的運(yùn)用．【鞏固練習(xí)】1．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個(gè)解為x＝﹣1，則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，將x＝﹣1代入x2﹣2x+m＝0，得：1+2+m＝0，解得m＝﹣3，故選：C．2．m是方程x2+x﹣1＝0的根，則式子2m2+2m+2017的值為（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【答案】D【解析】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，∴2m2+2m+2017＝2（m2+m）+2017＝2+2017＝2019．故選：D．3．已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一個(gè)根，則2m2﹣4m的值等于（）A．2019 B．﹣2019 C．4038 D．﹣4038【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，將x＝m代入方程，得：m2﹣2m﹣2019＝0，則m2﹣2m＝2019，∴2m2﹣4m＝2（m2﹣2m）＝2×2019＝4038，故選：C．解一元二次方程【典例】例1．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，其解答過(guò)程如下：x2﹣2x＝﹣1（第一步）x2﹣2x+1＝﹣1+1（第二步）（x﹣1）2＝0（第三步）x1＝x2＝1（第四步）（1）小明解答過(guò)程是從第______步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是______________________；（2）請(qǐng)寫(xiě)出此題正確的解答過(guò)程．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）小明解答過(guò)程是從第一步開(kāi)始出錯(cuò)的，因?yàn)榘逊匠虄蛇叾技由?時(shí)，方程右邊為1．故答案為一；不符合等式性質(zhì)1；（1）x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±2，所以x1＝1+2，x2＝1-【點(diǎn)睛】（1）先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上9，然后把方程左邊寫(xiě)成完全平方的形式即可；（2）先把方程兩邊加上1，再把方程兩邊加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接開(kāi)平方法解方程．本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．例2．解方程：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0；（2）3x2﹣6x﹣2＝0．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0，（2x﹣1）（x+1）＝0，2x﹣1＝0，x+1＝0，x1=12，x（2）3x2﹣6x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）＝60，x=6±x1=3+153，x【點(diǎn)睛】（1）先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1．用配方法解方程x2﹣6x+7＝0，將其化為（x+a）2＝b的形式，正確的是（）A．（x+3）2＝2 B．（x﹣3）2＝16 C．（x﹣6）2＝2 D．（x﹣3）2＝2【答案】D【解析】解：x2﹣6x+7＝0，x2﹣6x＝﹣7，x2﹣6x+9＝﹣7+9，（x﹣3）2＝2，故選：D．2．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）A．x2+8x+9＝0化為（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化為（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化為(t-7D．3x2﹣4x﹣2＝0化為(【答案】A【解析】解：A、x2+8x+9＝0化為（x+4）2＝7，所以A選項(xiàng)的配方錯(cuò)誤；B、x2﹣2x﹣99＝0化為（x﹣1）2＝100，所以B選項(xiàng)的配方正確；C、2t2﹣7t﹣4＝0先化為t2-72t＝2，再化為(D、3x2﹣4x﹣2＝0先化為x2-43x=23，再化為（x-故選：A．3．用配方法解關(guān)于x的方程x2+px+q＝0時(shí)，此方程可變形為（）A．(x+p2)2C．(x-p2【答案】B【解析】解：∵x2+px+q＝0∴x2+px＝﹣q∴x2+px+p2∴（x+p2）故選：B．4．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）3x2﹣2＝4x．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）x2+4x﹣1＝0，x2+4x＝1，x2+4x+4＝1+4，（x+2）2＝5，x1＝﹣2+，5，x2＝﹣2-5（2）3x2﹣2＝4x，3x2﹣4x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40，x=4±x1=2+103，x5．解下列方程：（1）2x2+4x﹣1＝0；（2）2x（x+2）＝x+2．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）x2+2x=1x2+2x+1=1（x+1）2=3x+1＝±62所以x1＝﹣1+62，x2＝﹣1（2）2x（x+2）﹣（x+2）＝0，（x+2）（2x﹣1）＝0，x+2＝0或2x﹣1＝0，所以x1＝﹣2，x2=16．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?）3x2﹣10x+3＝0；（2）（2x﹣3）（x+1）＝（2﹣x）（x+1）．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵a＝3，b＝﹣10，c＝3．∴b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×3×3＝64x=10±8所以x1＝3，x2=1（2）（2x﹣3）（x+1）+（x﹣2）（x+1）＝0，（x+1）（2x﹣3+x﹣2）＝0，x+1＝0或3x﹣5＝0，所以x1＝﹣1，x2=57．解方程：（1）（x﹣2）（x+4）＝6；（2）（x+1）2﹣9（x+3）2＝0．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）x2+2x﹣14＝0，x2+2x+1＝15，（x+1）2＝15，x+1＝±15，所以x1＝﹣1+15，x2＝﹣1-（2）[x+1﹣3（x+3）][x+1+3（x+3）]＝0，x+1﹣3（x+3）＝0或x+1+3（x+3）＝0，所以x1＝﹣4，x2=-根的判別式【典例】例1．已知，關(guān)于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x﹣a＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程有一個(gè)根是負(fù)數(shù)，求a的取值范圍．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）證明：∵x2+（a﹣1）x﹣a＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴△＝（a﹣1）2+4a＝a2+2a+1＝（a+1）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：由求根公式得，x=-(a-1)±(a+1)∴x1＝1，x2＝﹣a，∵該方程有一個(gè)根是負(fù)數(shù)，∴﹣a＜0，∴a＞0．【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可得出結(jié)論；（2）利用一元二方程的求根公式求出兩根，即可得出結(jié)論．此題主要考查了一元二次方程的根的判別式，公式法解一元二次方程，熟記一元二次方程的求根公式是解本題的關(guān)鍵．例2．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m為實(shí)數(shù)且m≠1）．（1）求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）如果此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）證明：依題意，得△＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3）＝m2﹣8m+16+12m﹣12＝m2+4m+4＝（m+2）2．∵（m+2）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0，∴x1＝﹣1，x2∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且m是正整數(shù)，∴m﹣1＝1或m﹣1＝3，∴m＝2或m＝4．【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，配方法，偶次方的非負(fù)性證明；（2）利用因式分解法解出方程，根據(jù)題意求出m．本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判別式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣3）＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2【答案】C【解析】解：根據(jù)題意得：△＝22+4（m﹣3）＝4+4m﹣12＝4m﹣8≥0，解得：m≥2，故選：C．2．一元二次方程x2﹣3x+3＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．不能確定【答案】C【解析】解：∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝9﹣12＝﹣3＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選：C．3．若關(guān)于x的一元二次方程12x2﹣2mx+4m+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m2【答案】1【解析】解：根據(jù)題意得：△＝（﹣2m）2﹣4×＝4m2﹣8m﹣2＝0，整理得：4m2﹣8m＝2，等式兩邊同時(shí)除以4得：m2﹣2m=1故答案為：124．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是__________________．【答案】k＞0且k≠1【解析】解：∵原方程是關(guān)于x得一元二次方程，∴k﹣1≠0解得：k≠1，又∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△＝4+4（k﹣1）＞0，解得：k＞0，即k得取值范圍是：k＞0且k≠1，故答案為：k＞0且k≠1．5．已知關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0總有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當(dāng)m在取值范圍內(nèi)取最小整數(shù)時(shí)，求原方程的解．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0總有實(shí)數(shù)根，∴m+1≠0且△≥0，即4m2﹣4（m+1）×（m﹣3）≥0，解得m≥-∴m的取值范圍為m≥-（2）∵m的取值范圍為m≥-∴m的最小整數(shù)為0，∴方程變形為：x2﹣3＝0，∴x＝±3，根與系數(shù)的關(guān)系【典例】例1．若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根，求下列代數(shù)式的值．（1）1x1（2）x12+x22;（3）（x1﹣x2）2;（4）x2（5）（x1﹣2）（x2﹣2）;（6）（x1+1x2）（x【答案】見(jiàn)解析【解析】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個(gè)根，∴x1+x2=32，x1x2（1）1x（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（32）2﹣2×（-12（3）（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（32）2﹣4×（-12（4）x2（5）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4=-12-2×（6）（x1+1x2）（x2+1x1）＝x1x【點(diǎn)睛】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2和x1x2的值，然后把它們的值代入代數(shù)式可以求出代數(shù)式的值．本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根的和與兩根的積，然后把兩根的和與兩根的積代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值．例2．關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0．（1）如果方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）設(shè)x1、x2是方程的兩根，且x12+x22＝6+x1x2，求k的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）根據(jù)題意得△＝（2k+1）2﹣4k2≥0，解得k≥-即k的范圍為k≥-（2）根據(jù)題意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2，∵x12+x22＝6+x1x2，∴（x1+x2）2＝6+3x1x2，∴（2k+1）2＝6+3k2，整理得k2+4k﹣5＝0，解得k1＝1，k2＝﹣5，∵k≥-1∴k的值為1．【點(diǎn)睛】（1）根據(jù)判別式的意義得到△＝（2k+1）2﹣4k2≥0，然后解關(guān)于k的不等式即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2，再變形x12+x22＝6+x1x2得到（x1+x2）2＝6+3x1x2，所以（2k+1）2＝6+3k2，然后解關(guān)于k的方程后利用k的范圍確定滿足條件的k的值．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x【鞏固練習(xí)】1．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1＝2，x2＝4，則m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【答案】D【解析】解：根據(jù)題意得：x1+x2＝﹣m＝2+4，解得：m＝﹣6，x1?