專題12幾何圖形初步相交線與平行線-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專題12幾何圖形初步相交線與平行線幾何圖形初步、相交線與平行線是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)，中考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本應(yīng)用以及基本的數(shù)學(xué)思想方法．1.線段與角這兩種最簡(jiǎn)單的幾何圖形的相關(guān)概念、畫法及大小比較．重點(diǎn)的是尺規(guī)作圖及線段與角的和、差、倍的相關(guān)計(jì)算．等知識(shí)點(diǎn)直接考查．2．掌握相交線的性質(zhì)、對(duì)頂角和垂直的有關(guān)特性；平行線的判定與性質(zhì)的綜合考查.角角的度量互余：互補(bǔ)：線段的大小比較1、度量法——用刻度尺度量2、疊合法線段的中點(diǎn)線段的和、差、倍畫一條線段等于已知線段線段a、b角的大小比較1、度量法——用量角器度量2、疊合法角的平分線角的和、差、倍畫一個(gè)角等于已知角線段、1、度量方法2、尺規(guī)作圖1、度量方法2、尺規(guī)作圖

同一平面內(nèi)的兩條不同直線同一平面內(nèi)的兩條不同直線相交直線鄰補(bǔ)角對(duì)頂角平行直線平行線的基本性質(zhì)判定方法和性質(zhì)斜交垂直點(diǎn)到直線的距離垂直的基本性質(zhì)線段的垂直平分線兩條直線被第三條直線所截同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角平行線間的距離一、幾何圖形初步1.直線、射線、線段關(guān)于直線的基本事實(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線．簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線．相交、交點(diǎn)：當(dāng)兩條不同的直線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就稱這兩條直線相交，這個(gè)公共點(diǎn)叫做它們的交點(diǎn)。直線、射線、線段的表示方法①直線：用一個(gè)小寫字母表示，如：直線l，或用兩個(gè)大些字母（直線上的）表示，如直線AB．②射線：直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如：射線l，或用兩個(gè)大些字母表示，如：射線OA．注意：用兩個(gè)字母表示時(shí)，端點(diǎn)的字母放在前邊．③線段：直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如線段a；用兩個(gè)表示端點(diǎn)的字母表示，如：線段AB（或線段BA）．尺規(guī)作圖：在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖。中點(diǎn)：點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM和MB，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)。三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)……關(guān)于線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短．簡(jiǎn)單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短．比較兩條線段長(zhǎng)短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法．距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)間的距離．（平面上任意兩點(diǎn)間的距離指的是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，強(qiáng)調(diào)最后的兩個(gè)字“長(zhǎng)度”，也就是說，它是一個(gè)量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長(zhǎng)度才是兩點(diǎn)的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離）2.角角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時(shí)形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角．角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示．角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．3.角的比較與運(yùn)算比較角的大?。毫拷瞧髁炕虔B合角平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等。三等分線4.余角和補(bǔ)角余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中每一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．同角（等角）的余角相等．補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．同角（等角）的補(bǔ)角相等．注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．一、單選題1．下列關(guān)于直線的表示方法，正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④2．下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①連接兩點(diǎn)之間的線段叫兩點(diǎn)間的距離；②線段AB和線段BA表示同一條線段；③木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在模板上畫出兩個(gè)點(diǎn)，然后過這兩點(diǎn)彈出一條墨線，這樣做的原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短；④若，則點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．若，，，則（

）A． B． C． D．4．如圖，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，AB＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm．則MN的長(zhǎng)為（

）A．12cm B．11cm C．13cm D．10cm5．下列關(guān)于余角、補(bǔ)角的說法，正確的是（

）A．若∠α＋∠β＝90°，則∠α與∠β互余B．若∠1＋∠2＝90°，則∠1與∠2互補(bǔ)C．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，則∠1，∠2，∠3互余D．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，則∠α，∠β，∠γ互補(bǔ)6．若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°二、填空題7．如圖，計(jì)劃把河水引到水池A中，先作，垂足為B，然后沿開渠，能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是______．8．已知在同一個(gè)平面內(nèi)，一個(gè)角的度數(shù)是70°，另一個(gè)角的兩邊分別與它的兩邊垂直，則另一個(gè)角的度數(shù)是___________．9．平面上不重合的四條直線，可能產(chǎn)生交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_____個(gè)．10．如圖，平分，平分，，，則的度數(shù)為___°．三、解答題11．如圖，已知，按下列要求畫圖．（1）在的內(nèi)部畫射線；（2）畫，使在的內(nèi)部；（3）在完成（1）、（2）后，圖中共______個(gè)角，并寫角的名稱．12．（1）如圖1，請(qǐng)利用無刻度的直尺和圓規(guī)，連接，在線段上求作線段，使；（2）如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、分別是線段、上的點(diǎn)，且，．若，求線段的長(zhǎng)．13．如圖，直線、相交于點(diǎn)，將一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)處，且平分．(1)若，求的度數(shù)；(2)試說明平分．相交線與平行線相交線1.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即∠3+∠4=180°要點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對(duì)頂角的特征:有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線.⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點(diǎn)，有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線．⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2.垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語言記作：AB⊥CD，垂足為O.要點(diǎn)：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長(zhǎng).要點(diǎn)：垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.平行線1．平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．要點(diǎn)：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.2．平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．3．兩條平行線間的距離如圖3，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離.要點(diǎn)：（1）兩條平行線之間的距離處處相等.（2）初中階級(jí)學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點(diǎn)在于都是線段的長(zhǎng)度,它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度,點(diǎn)到直線距離是直線外一點(diǎn)引已知直線的垂線段的長(zhǎng)度,平行線間的距離是一條直線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離.（3）如何理解“垂線段”與“距離”的關(guān)系：垂線段是一個(gè)圖形，距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量，它們之間不能等同.一、單選題1．下列圖中∠1和∠2是同位角的是(

)A．（1）、（2）、（3） B．（2）、（3）、（4）C．（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（5）2．下列說法中不正確的個(gè)數(shù)為（）．①在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和垂直．②有且只有一條直線垂直于已知直線．③如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．④從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離．⑤過一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．如圖,下列說法正確的是（

）A．∠1和∠4不是同位角 B．∠2和∠4是同位角C．∠2和∠4是內(nèi)錯(cuò)角 D．∠3和∠4是同旁內(nèi)角4．如圖，a∥b，點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（）A．54° B．56° C．44° D．46°5．如圖，直線，被直線，所截，，，，則的大小是（

）A． B． C． D．6．如圖，把一長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，，點(diǎn)A?B分別落在?的位置，與相交于點(diǎn)F，已知，則的度數(shù)是（

）A．55° B．60° C．70° D．75°二、填空題7．如圖，與構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的角是______；8．己知為平面內(nèi)三條不同直線，若則與的位置關(guān)系是_________9．如圖，利用直尺和三角尺過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線，第步：畫直線，將三角尺的一邊緊靠直線，將直尺緊靠三角尺的另一邊：第步：將三角尺沿直尺下移：第步：沿三角尺原先緊靠直線的那一邊畫直線．這樣就得到．這種畫平行線的依據(jù)是________．10．將一塊三角板按如圖所示位置放置，，則的度數(shù)為_____°．一、單選題1．（2021·上海寶山·統(tǒng)考一模）如果是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，那么等于（

）．A． B． C． D．2．（2021·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，那么下列結(jié)論中，正確的是（

）．A． B．C． D．3．（2020·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如果從貨船A測(cè)得小島B在貨船A的北偏東30°方向500米處，那么從小島B看貨船A的位置，此時(shí)貨船A在小島B的（

）A．南偏西30°方向500米處 B．南偏西60°方向500米處C．南偏西30°方向米處 D．南偏西60°方向米處4．（2017·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠C＝36°，那么∠ABE的大小是（）A．18° B．24° C．36° D．54°．5．（2018·上海·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列說法錯(cuò)誤的是()A．如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯(cuò)角相等B．在同一平面內(nèi)過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直C．經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行D．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短6．（2011·上海普陀·統(tǒng)考中考模擬）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果∠1=32°，那么∠2的度數(shù)是（）A．32° B．58°C．68° D．60°7．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（

）A．62° B．56° C．52° D．46°8．（2020·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知長(zhǎng)方體ABCDEFGH如圖所示，那么下列各條棱中與棱GC平行的是（）A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．9．（2021·上海·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？级＃┤鐖D，在長(zhǎng)方體ABCDEFGH中，與棱AD平行的平面共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（2022·上?！ば？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)D、E分別在的邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的長(zhǎng)是（

）A．8 B．10 C．6 D．411．（2018·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在下列的條件中，能判定DE∥AC的是（

）A． B． C． D．12．（2017·上海普陀·校聯(lián)考中考模擬）如圖，已知直線，點(diǎn)、分別在AB、上，::，如果，那么＝（

）A．； B．； C．； D．．二、填空題13．（2022·上海·一模）已知與互余，且，則____________．14．（2022·上?！ざ＃┤鐖D，，則射線表示是南偏東__________的方向．15．（2021·上海浦東新·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分線分別為AD和BE，則AD和BE所夾的角為____度．16．（2019·上?！ぶ锌寄M）已知一個(gè)角的度數(shù)為50度，那么這個(gè)角的補(bǔ)角等于_____．17．（2022·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知ABDE，如果∠ABC＝70°，∠CDE＝147°，那么∠BCD＝_______°．18．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)、、在同一直線上，CEAB，，如果，那么______．19．（2020·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直線a∥b，點(diǎn)C在直線b上，直線a交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，如果∠1＝145°，那么∠2的度數(shù)是____．20．（2021·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，兩條平行線l1、l2分別經(jīng)過正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)B、C．如果∠1＝20°，那么∠2＝_____．補(bǔ)充：一、概念1、長(zhǎng)方體的元素：六個(gè)面、八個(gè)頂點(diǎn)、十二條棱2、長(zhǎng)方體的三元素的特點(diǎn)：（主要是外觀特征和數(shù)量關(guān)系）①長(zhǎng)方體的每個(gè)面都是長(zhǎng)方形；②長(zhǎng)方體的十二條棱可以分為三組，每組中的四條棱的長(zhǎng)度相等。③長(zhǎng)方體的六個(gè)面可以分為三組，每組中的兩個(gè)面形狀大小都相同。3、正方體是特殊的長(zhǎng)方體。4、平面是平的，無邊無沿，沒有厚度和大小，一般用平行四邊形來表示。記作：平面ABCD或平面α。5、將水平放置的平面畫成一邊是水平位置，另一邊與水平線成45度角的平行四邊形。6、斜二側(cè)畫法畫長(zhǎng)方體時(shí)要注意：寬畫成標(biāo)注尺寸的一半；看不到的線畫成虛線；要標(biāo)字母和尺寸，要寫結(jié)論。長(zhǎng)方體ABCDEFGH、平面ABCD、棱AB、頂點(diǎn)A。7、空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面①如果兩條直線在同一平面內(nèi)，有唯一公共點(diǎn)，稱這兩條直線的位置關(guān)系是相交；②如果兩條直線在同一平面內(nèi)，沒有唯一公共點(diǎn)，稱這兩條直線的位置關(guān)系是平行；③如果兩條直線既不平行也不相交，稱這兩條直線的位置關(guān)系是異面。8、直線垂直于平面記作：PQ⊥平面ABCD；直線直線平行于平面記作：直線PQ‖平面ABCD。9、計(jì)算公式之一：（三條棱長(zhǎng)分別是a、b、c的長(zhǎng)方體）①棱長(zhǎng)和=4(a+b+c)；②體積=abc；③表面積=2(ab+bc+ac)；④無蓋表面積=Sab、Sbc、Sbc10、計(jì)算公式之二：（邊長(zhǎng)是a正方體）①棱長(zhǎng)和=12a；②體積=a3；③表面積=6a；④無蓋表面積=5a2。11、長(zhǎng)方體不一定是正方體；正方體一定是長(zhǎng)方體。12、長(zhǎng)方體中棱與棱的位置關(guān)系有3種，分別是平行、相交、異面。13、長(zhǎng)方體中棱與面的位置關(guān)系有2種，分別是：平行、垂直。14、長(zhǎng)方體中面與面的位置關(guān)系有2種，分別是：平行、垂直。二、檢驗(yàn)垂直或平行的方法：檢驗(yàn)垂直或平行的方法：1、檢驗(yàn)直線與平面垂直的方法：①鉛垂線法：將鉛垂線靠近被測(cè)直線，如果鉛垂線能夠緊貼被測(cè)直線，說明直線垂直于水平面。（可用于檢驗(yàn)細(xì)棒是否垂直于水平面、黑板的邊沿是否垂直于水平面）②三角尺法：將兩把三角尺的一條直角邊分別緊貼已知平面并且位置交叉，將兩把三角尺的另一條直角邊分別靠近被測(cè)細(xì)棒，如果兩條直角邊都能夠緊貼被測(cè)直線，說明直線垂直于已知