全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試八大模塊專題訓(xùn)練

全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試八大模塊專題訓(xùn)練一.函數(shù)綜合訓(xùn)練1.若兩個(gè)二元素集合與恰有一個(gè)公共元素為正數(shù),則________.21.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足,則________.3.設(shè),如果依次成等差數(shù)列,則的值為________.4.設(shè),若均有成立,則________.5.已知,則的最大值為________.6.設(shè)則方程的解為________.7.設(shè),則有________個(gè)不同的解.8.已知方程有3個(gè)實(shí)根.若,則實(shí)數(shù)________.9.設(shè)滿足,則的取值范圍是________.10.若對(duì)于任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍________.11.設(shè),定義,則________.12.設(shè),且,若,則的值為________.13.用[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),例如,記,則使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立的最大常數(shù)為________.14.設(shè),歐拉函數(shù)表示正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù),例如1,3都與4互質(zhì),2,4與4不互質(zhì),所以,則________.15.設(shè)是正整數(shù),當(dāng)時(shí),的小數(shù)部分的前兩位數(shù)是________.16.已知是定義在上的奇函數(shù),,且對(duì)任意,均有,則________.17.若關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求關(guān)于的不等式的解集.18.[x]為不超過(guò)的最大整數(shù),求方程的解集.19.設(shè)函數(shù)滿足,求當(dāng)時(shí),的最大值.20.已知是偶函數(shù),且,若對(duì)任意均滿足:求的所有可能值.二.三角函數(shù)綜合訓(xùn)練1.在中,,則________.2.已知均為銳角,且滿足,則與的大小關(guān)系為________.3.在中,設(shè),則x,y的大小關(guān)系為________.4.若,其中為常數(shù),則________.5.實(shí)數(shù)A,B,C滿足,,則________.6.若M,N在Rt的斜邊AB上,,則M,N兩點(diǎn)分別到兩直角邊的距離之和與的周長(zhǎng)之比的最大可能值是________.7.已知不是直角三角形,若,且,的倒數(shù)成等差數(shù)列,則________.8.已知函數(shù)的最小值為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.9.當(dāng)________時(shí),關(guān)于的方程的兩根的平方和有最大值.10.若實(shí)數(shù)x,y滿足,則的取值范圍是________.11.已知,則的最大值為________.12.已知,則的最小值是________.13.設(shè)函數(shù).若實(shí)數(shù)a,b,c使得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則的值為________.14.設(shè)的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c成等比數(shù)列,則的取值范圍是________.15.給定與,在的條件下,求的最大值.16.求證:17.,求證:18.銳角的外心是,過(guò)A,B,D三點(diǎn)的圓分別與邊AC,BC相交于點(diǎn)M,N.求證:的外接圓半徑等于的外接圓半徑.19.設(shè)a,b,c為中的三邊長(zhǎng),且,求證:三.數(shù)列綜合訓(xùn)練1.已知數(shù)列滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.2.甲、乙兩人輪流擲一枚硬幣至正面朝上或者朝下,規(guī)定誰(shuí)先擲出正面朝上為贏;前一場(chǎng)的輸者,則下一場(chǎng)先擲.若第一場(chǎng)甲先擲,則甲贏得第場(chǎng)的概率為________.3.在數(shù)列中,,則________.4.為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,記,其中[x]表示不超過(guò)的最大整數(shù),如,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為________.5.已知數(shù)列滿足,則________.6.若在等比數(shù)列中,,則________.7.已知函數(shù),其中.過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線,令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列.則數(shù)列的所有項(xiàng)之和的值為________.8已知數(shù)列滿足,且,則與最接近的自然數(shù)為________.9.在等差數(shù)列中,,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的恒成立,則正整數(shù)的最小值為________.10.的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,則最大的三位正整數(shù)________.11已知集合,對(duì)于集合的每一個(gè)非空子集的所有元素,計(jì)算它們乘積的倒數(shù).則所有這些倒數(shù)的和為________.12.設(shè),用表示所有形如的正整數(shù)集合,其中且為集合中的所有元素之和,則的通項(xiàng)公式為________.13.數(shù)列的前項(xiàng)組成集合,從集合中任取個(gè)數(shù),其所有可能的個(gè)數(shù)的乘積之和為(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記,例如當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),7,試寫出________.14.設(shè)階方陣,任取中的一個(gè)元素,記為,劃去所在的行和列,將剩下的元素按原來(lái)的位置關(guān)系組成階方陣,任取中的一個(gè)元素,記為,劃去所在的行和列,將剩下的元素按原來(lái)的位置關(guān)系組成階方陣,,,將最后剩下的一個(gè)元素記為,記,則________.15.已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列分別滿足和其中,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為.若數(shù)列滿足:存在唯一的正整數(shù),使得,稱數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.若數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”,數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”,,則的最大值為________.16.設(shè)數(shù)列滿足:.求證:數(shù)列的每一項(xiàng)都是正整數(shù).17.已知數(shù)列滿足,且.求的表達(dá)式.18.設(shè).求證：(1).(2).19.對(duì)于函數(shù),若,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù),且在其定義域內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn).(1)求的表達(dá)式.(2)若數(shù)列滿足,求.20.稱一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列為“有趣的”,若,且對(duì)任意正整數(shù),均有.求最大的常數(shù),使得對(duì)一切有趣的數(shù)列及任意正整數(shù),均有.四.不等式綜合訓(xùn)練1.(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試3)在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域和N,M為，是隨變化的區(qū)域,它由不等式確定,的取值范圍是,則和的公共面積是函數(shù)________.2.(2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試6)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)集所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為________.3.(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)使不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為________.4.(2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)如果,那么的取值范圍是________.5.若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.6.(2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)使關(guān)于的不等式有解的實(shí)數(shù)的最大值為________.7.已知,且滿足,則________.8.函數(shù)在時(shí)的最大值為________.9.(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試11)函數(shù)的最大值為________.10.設(shè),則函數(shù)的最小值為________.11.設(shè),則使不等式成立的最大的值為________.12.(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)設(shè)實(shí)數(shù)使得不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則滿足條件的所組成的集合________.13.若不等式恒成立,則a,b滿足的條件為________.14.(2009年北京大學(xué)自主招生)已知對(duì)任意實(shí)數(shù),不等式恒成立,則的最大值為________.15.定義區(qū)間的長(zhǎng)度均為,其中.已知實(shí)數(shù),則滿足的構(gòu)成的區(qū)間長(zhǎng)度之和為________.16.給定實(shí)數(shù),解關(guān)于的不等式.17.已知,試判斷實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系,并證明之.18.(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試10)設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù),滿足1,求的最小值和最大值.19.(第三屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)求最小的實(shí)數(shù),使得對(duì)滿足的任意正實(shí)數(shù)a,b,c,都有.20.(2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試12)求所有的正實(shí)數(shù)對(duì),使得函數(shù)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有.五.向量與復(fù)數(shù)綜合訓(xùn)練1.已知復(fù)數(shù)滿足,若為正實(shí)數(shù),則________.2.已知,其中是虛數(shù)單位,則________.3.設(shè)為虛數(shù)單位,和為正整數(shù),且,則________.4.復(fù)數(shù)滿足,且為純虛數(shù),則________.5.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則________.6.設(shè),復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,若,成等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)的值是________.7.復(fù)數(shù)滿足,則________.8.設(shè)為復(fù)數(shù),且.當(dāng)取得最小值時(shí),復(fù)數(shù)________.9.設(shè)平面向量a,b滿足,則的最大值為________.10.在直角中,,點(diǎn)是斜邊AB上一點(diǎn),且,則________.11.已知,點(diǎn)在內(nèi),且.設(shè),則________.12.設(shè),點(diǎn)是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.13.已知向量,則的最小值為________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),設(shè),則的最小值為________.15.設(shè)點(diǎn)在的內(nèi)部,且,則的面積與的面積的比為________.16.在中,.設(shè)是的內(nèi)心,若,則的值為________.17.I為的內(nèi)心,且,記R,r分別為的外接圓與內(nèi)切圓的半徑,若,求.18.設(shè)為的重心,若,求的最大值.________.19.已知為單位圓外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為和,求的最小值.20.已知復(fù)數(shù)滿足,求的最小值.21已知復(fù)數(shù)和滿足,求的最大值.22.設(shè)復(fù)數(shù),求的值.六.立體幾何綜合訓(xùn)練1.一個(gè)凸36面體中有24個(gè)面是三角形,12個(gè)面是四邊形,則該多面體的對(duì)角線的條數(shù)是________.(連接不在凸多面體的同一個(gè)面內(nèi)的兩個(gè)凸面體的頂點(diǎn)的線段叫作凸多面體的對(duì)角線.)2.已知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于,則________.3.正八面體的任意兩個(gè)相鄰面所成二面角的余弦值為________.4.已知一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的下底面在同一平面上,且有公共的內(nèi)切球.記圓錐的體積為,圓柱的體積為,且.則的最小值為________.5.在四面體ABCD內(nèi)部有一點(diǎn),滿足,則四面體ABCD體積的最大值為________.6.已知點(diǎn)是空間直角坐標(biāo)系內(nèi)一定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作一平面與三坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A,B,C三點(diǎn),則所有這樣的四面體OABC的體積的最小值為________.7.在正方體中,為棱AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)在空間作直線,使得與平面ABCD和平面成角,則這樣的直線有________條.8.在四面體中,,且,則的取值范圍為________.9.已知正三棱錐的底面ABC是正三角形,其外接球的球心滿足,則二面角的余弦值為________.10.將邊長(zhǎng)為2的正沿高AD折成直二面角,則三棱錐的外接球的表面積是________.11.將8個(gè)半徑都為1的球分兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi),并使得每個(gè)球和其相鄰的4個(gè)球相切,且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切,則此圓柱的高為________.12.一個(gè)四面體的6條棱長(zhǎng)均為整數(shù),且它們的和為2011,則這樣的四面體的最大棱長(zhǎng)與最小棱長(zhǎng)之差的最大可能值為________.13.在四面體ABCD中,,則AD與BC所成的角為________.14.在三棱錐中,,則三棱錐的體積為________.15.已知三棱錐的3個(gè)側(cè)面及底面的面積分別為5,12,13,15,且側(cè)面的斜高相等,則三棱錐的體積為________.16.若四面體的6條棱長(zhǎng)分別為2,3,4,5,6,7,求不同的形狀有多少種.(若兩個(gè)四面體經(jīng)適當(dāng)放置后可完全重合,則認(rèn)為是相同的形狀.)17.在四面體中,,且,求異面直線AD與BC所成的角.18.設(shè)四棱錐的底面是正方形,且.如果的面積為1,則求能夠放人這個(gè)棱錐的最大球的半徑.19.如圖所示,在正方體中,E,F分別為棱AD,AB的中點(diǎn)（1）求證：EF//平面.(2)求證:平面平面.(3)如果,一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在正方體的表面上依次經(jīng)過(guò)棱,上的點(diǎn),最終又回到點(diǎn),指出整個(gè)路線長(zhǎng)度的最小值,并說(shuō)明理由.20.已知是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體,是底面的中心,是棱上的點(diǎn),且,求四面體的體積.七.解析幾何綜合訓(xùn)練1.在平面直角坐標(biāo)系中,若方程裛示的曲線為橢圓,則的取值范圍是________.2.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是,過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)P,Q,若,且的面積與的面積之比為,則橢圓的離心率為________.3.設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),是橢圓上的點(diǎn),且,則的面積等于________.4.給定橢圓,如果存在過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且OQ,則離心率的取值范圍是________.5.一邊的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為和,另兩邊斜率的乘積為,若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則|AT|的最小值為________.6.已知點(diǎn)既在橢圓內(nèi)部(含邊界),又在圓外部(含邊界).若,則的最小值為________.7.雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)整點(diǎn)(縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)是________.8.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作平分線的垂線,垂足為,則垂足的軌跡方程為________.9.已知雙曲線,左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)點(diǎn)作一直線與雙曲線的右半支交于P,Q兩點(diǎn),使得,則的內(nèi)切圓的半徑________.10.直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),為拋物線上的一點(diǎn),,則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.11.設(shè)為拋物線的頂點(diǎn),為焦點(diǎn),且PQ為過(guò)的弦.已知,則的面積為________.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)AB在拋物線上,滿足是拋物線的焦點(diǎn),則________.13.長(zhǎng)為的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線上滑動(dòng),則線段AB的中點(diǎn)到軸的最短距離為________.14.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)線段AB的中點(diǎn)在上的投影為,則的最大值為________.15.已知拋物線及定點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn),設(shè)直線AM,BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為,當(dāng)變動(dòng)時(shí),直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),則此定點(diǎn)坐標(biāo)為________.16.已知橢圓的內(nèi)接的邊AB,AC分別過(guò)左、右焦點(diǎn),橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為D,E,直線DB與直線CE交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在橢圓上變動(dòng)時(shí),試求點(diǎn)的軌跡.17已知拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中且4.線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn),求面積的最大值.18.在平面坐標(biāo)系xOy中,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),設(shè)不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,焦點(diǎn)到直線的距離為,如果的斜率依次成等差數(shù)列,求的取值范圍.19.設(shè)曲線(為正常數(shù))與在軸上方有一個(gè)公共點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍(用表示).(2)為原點(diǎn),若與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),試求面積的最大值(用表示).20.作斜率為的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),如圖7.18所示,且在直線的左上方.(1)證明:的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.（2）若,求的面積.21.橢圓的離心率,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,焦點(diǎn)為,四邊形的內(nèi)切圓半徑為.(1)求橢圓的方程.(2)過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),交直線于點(diǎn),設(shè),,試證為定值,并求出此定值.八.排列組合綜合訓(xùn)練1.在的展開式中,的系數(shù)是________.2.在的展開式中,的冪指數(shù)是整數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)之和,則其為________.3.觀察下列等式:,,,,.由以上等式推測(cè)出一般的結(jié)論:對(duì)于________.4.將90000個(gè)五位數(shù)打印在卡片上,每張卡片上打印一個(gè)五位數(shù),有些卡片上所打印的數(shù)(如19806倒過(guò)來(lái)看是90861)有兩種不同的讀法,會(huì)引起混淆.則不會(huì)引起混淆的卡片共有________張.5.紅、藍(lán)、綠、白四個(gè)骰子,每個(gè)骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別為1,2,3,4,5,6.同時(shí)擲這四個(gè)骰子使得四個(gè)骰子朝上的數(shù)的乘積等于36,則共有________種可能.6.將6個(gè)數(shù)2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一個(gè)8位數(shù)(首位不為0),則產(chǎn)生的不同8位數(shù)的個(gè)數(shù)為________.7.將16本相同的書全部分給四個(gè)班級(jí),每個(gè)班級(jí)至少有一本書,且各班所得書的數(shù)量互不相同.則不同的分配方法種數(shù)為________(用數(shù)字作答).8.學(xué)校5月1號(hào)至5月3號(hào)擬安排六位領(lǐng)導(dǎo)值班,要求每人值班1天,每天安排兩人.若六位領(lǐng)導(dǎo)中的甲不能值2號(hào),乙不能值3號(hào),則不同的安排值班的方法共有________種.9.現(xiàn)安排7名同學(xué)去參加5個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,要求甲、乙兩同學(xué)不能參加同一個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目都有人參加,每人只參加一個(gè)項(xiàng)目.則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為________(用數(shù)字作答).10.如圖8.3所示,有16間小三角形的房間.甲、乙兩人被隨機(jī)地分別安置在不同的小三角形的房間.則他們?cè)诓幌噜?沒(méi)有公共邊)房間的概率為________(用分?jǐn)?shù)表示).11.在的