專題09 圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型（原卷版）

專題09圓中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（定理）模型圓在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆羅摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.阿基米德折弦模型【模型解讀】折弦:從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點。如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4常見證明的方法：1）補短法：如圖2，如圖，延長DB至F，使BF=BA；2）截長法：如圖3，在CD上截取DG=DB；3）垂線法：如圖4，作MH⊥射線AB，垂足為H。例1．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝°．例2．（2023·廣東九年級期中如圖，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，若，，則CD的長為（

）．A． B． C． D．例3．（2023上·河南周口·九年級校考期末）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖，和是的兩條弦（即折線是弦的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即，下面是運用“截長法”證明的部分證明過程證明：如圖2，在上截取，連接，，和是弧的中點，∴，……(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)實踐應用：如圖3，內(nèi)接于，，是弧的中點，于點，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為______.(3)如圖4，等腰內(nèi)接于，，為弧上一點，連接，，，，求的周長.例4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）問題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．

（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M是的中點，∴……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實踐應用：（2）如圖3，已知內(nèi)接于，，D是的中點，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關系為．（3）如圖4，已知等腰內(nèi)接于，，D為上一點，連接，，于點E，的周長為，，請求出的長．例5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）閱讀下面材料，完成相應的任務：阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學，研究古希臘數(shù)學思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．如圖1，AB和BC是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），．M是弧的中點，則從M向所作垂線之垂足D是折弦的中點，即．小明認為可以利用“截長法”，如圖2：在線段上從C點截取一段線段，連接．小麗認為可以利用“垂線法”，如圖3：過點M作于點H，連接任務：(1)請你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書寫出證明過程，(2)就圖3證明：．模型2.婆羅摩笈多（定理）模型【模型解讀】婆羅摩笈多（Brahmagupta）是七世紀時的印度數(shù)學家。婆羅摩笈多定理：如果一個圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直相交，那么從交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經(jīng)過這條邊對邊的中點。圖1圖2圖3如圖1，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對角線AC和BD垂直相交，交點為E，過點E作BC的垂線EF，延長FE與AD交于點G；則點G是AD的中點。如圖2，所示已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，作BH//AE交AG的延長線于點H，（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，則G為BE中點。2、如圖3，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，在AF的延長線取點H，使得AF=FH；（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F為CD中點，則AG⊥BE。例1．（2023下·江蘇泰州·九年級校考階段練習）閱讀材料并完成相應任務：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學家與天文學家，他的一些數(shù)學成就在世界數(shù)學史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊．下面對該定理進行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對角線于點P，于點M，延長交于點N．求證：．證明：∵，，∴，∴．……任務：(1)請完成該證明的剩余部分；(2)請利用婆羅摩笈多定理完成如下問題：如圖（2），已知中，分別交于點D，E，連接交于點P．過點P作，分別交于點M，N．若，求的長．例2．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的算術(shù)運算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：如圖①，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線，垂足為點M，直線，垂足為點E，并且交直線AD于點F．則．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．…任務：(1)將上述證明過程補充完整；(2)古拉美古塔定理的逆命題：如圖②，四邊形ABCD內(nèi)接于，對角線，垂足為點M，直線FM交BC于點E，交AD于點F．若，則．請證明該命題．課后專項訓練1．（2023山東·?？级＃┌⒒椎抡巯叶ɡ恚喝鐖D1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．請應用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點，，于點，則的周長是．2．（2022·河南南陽·統(tǒng)考一模）請閱讀下面材料，并完成相應的任務：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子．阿拉伯Al-Birni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)AI-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是弧ABC的中點，則從點M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即．這個定理有很多證明方法，下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M是弧ABC的中點，…任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于，D為弧AC上一點，，于點E，，連接AD，則△DAB的周長是___________．3.（2023春·山東威?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考期中）早在公元前古希臘數(shù)學家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦．阿基米德從中看出了玄機并提出：如果條件中的弦變成折線段，仍然有類似的結(jié)論．某數(shù)學興趣小組對此進行了探究，如圖1，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，是的中點，過點作，垂足為，小明通過度量、、的長度，發(fā)現(xiàn)點平分折弦，即．小麗和小軍改變折弦的位置發(fā)現(xiàn)仍然成立，于是三位同學都嘗試進行了證明：小軍采用了“截長法”（如圖2），在上?取，使得，……小麗則采用了“補短法”（如圖3），延長至，使，……小明采用了“平行線法”（如圖4），過點作，交圓于點，過點作，……(1)請你任選一位同學的方法，并完成證明；(2)如圖5，在網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，內(nèi)接于（A、B、C均是格點），點A、D關于對稱，連接并延長交于點，連接．①請用無刻度的直尺作直線，使得直線平分的周長；②求的周長．4．（2023·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M是的中點，∴任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上一點,，與點E,則的周長是．5．（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考階段練習）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應的任務．在《阿基米德全集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學家、哲學家、物理學家阿基米德提出的關于圓的一些問題，其中有這樣一個問題：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是的中點，則從點向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．其部分證明過程如下：證明：如圖2，在上截取，連接，，和．∵是的中點，∴，∵，∴，∴，……任務：(1)補全證明過程，(2)如圖3，在中，，，若，，，則到的距離是____________，到的距離是____________，的半徑是____________．6．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理的題設和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，C是劣弧的中點，直線于點E，則．請證明此結(jié)論；(2)從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．C是劣弧的中點，直線于點E，則．可以通過延長、相交于點F，再連接證明結(jié)論成立．請寫出證明過程；(3)如圖3，，組成的一條折弦．C是優(yōu)弧的中點，直線于點E，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關系？寫出結(jié)論，不必證明．

7．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子．阿拉伯Al-Biruni（年～年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了像文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是固的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．這個定理有根多證明方法，下面是運用“垂線法”證明的部分證明過程．證明：如圖2．作射線，垂足為，連接，，．∵是弧的中點，∴．…

任務：(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)填空：如圖3，已知等邊內(nèi)接于，為上一點，，于點，，則折弦的長是______．

8．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）閱讀以下材料，并按要求完成相應任務：婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名數(shù)學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的算術(shù)運算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”，該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：如圖1，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為點，直線，垂足為點，并且交直線于點，則．證明：∵，，∴∴，．∴．∵，∴．（依據(jù)）又∵，∴．∴．……任務：（1）上述證明過程中的依據(jù)是______；（2）將上述證明過程補充完整；（3）古拉美古塔定理的逆命題：如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線，垂足為點，直線交于點，交于點．若，則．請證明該命題．9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀印度數(shù)學家，他曾提出一個定理：若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，垂足為點，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點，由垂直關系得，，所以，由同弧所對的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，則平分對邊且過對角線交點的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點的等腰直角三角形，，過點的直線垂直于，垂足為點，與邊交于點．證明：點是的中點；（2）如圖3，和為共頂點的等腰直角三角形，點是的中點，連接交于點，若，求的長．10．（2023·山西太原·九年級山西大附中校考階段練習）閱讀下列材料，完成相應的任務婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學家、天文學家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的算術(shù)運算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程方面作出了巨大貢獻．他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔定理”．該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，直線ME⊥BC，垂足為E，并且交直線AD于點F，則AF＝FD．證明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CME+∠C＝90°，∠CBD+∠C＝90°∴∠CBD＝∠CME∴，∠CME＝∠AMF∴∠CAD＝∠AMF∴AF＝MF…任務：（1）材料中劃橫線部分短缺的條件為：；（2）請用符號語言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補充完整，并證明該逆命題的正確性：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點，直線FM交BC于點E，①．求證：②．證明：11．（2023·內(nèi)蒙古包頭·校考三模）閱讀下面材料，完成相應的任務：阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子：《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學，研究古希臘數(shù)學思想以及整個科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折折弦定理：一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長弦上的射影，就是折弦的中點．

(1)定理認識：如圖所示，，是圓O的兩條弦（折弦），M是的中點，，垂足為D，求證：____________________．(2)定理證明：“截長補短”是證明線段和差倍分的常用辦法，下面有三位同學提出了不同的輔助線作法以達到“截長補短”效果．同學1：在上截取，同學2：過點M作的垂線交的延長線于點E，同學3：利用平行弦夾等弧的正確結(jié)論（本題可直接使用）過點M作的平行弦交于點N．請你參考上述三位同學輔助線作法并用兩種方法完成證明．12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）探索應用材料一：如圖1，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，∠B＝θ，用c和θ表示BC邊上的高為，用a．c和θ表示△ABC的面積為．材料二：如圖2，已知∠C＝∠P，求證：CF?BF＝QF?PF．材料三：蝴蝶定理（ButterflyTheorem）是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一，最早出現(xiàn)在1815年，由W．G．霍納提出證明，定理的圖形象一只蝴蝶．定理：如圖3，M為弦PQ的中點，過M作弦AB和CD，連結(jié)AD和BC交PQ分別于點E和F，則ME＝MF．證明：設∠A＝∠C＝α，∠B＝∠D＝β，∠DMP＝∠CMQ＝γ，∠AMP＝∠BMQ＝ρ，PM＝MQ＝a，ME＝x，MF＝y(tǒng)由即化簡得：MF2?AE?ED＝ME2?CF?FB則有：,又∵CF?FB＝QF?FP，AE?ED＝PE?EQ，∴，即即，從而x＝y(tǒng)，ME＝MF．請運用蝴蝶定理的證明方法解決下面的問題：如圖4，B、C為線段PQ上的兩點，且BP＝CQ，A為PQ外一動點，且滿足∠BAP＝∠CAQ，判斷△PAQ的形狀，并證明你的結(jié)論．13．（2022·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）閱讀以下材料，并完成相應的任務：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數(shù)學興趣小組的同學們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．14．（2022·河南平頂山·統(tǒng)考二模）閱讀下面的材料，完成相應的任務：在1815年某雜志上刊登了這樣一個命題：如圖，圓O中的弦AB的中點為G，過點G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一．任務：(1)如圖1，AB為⊙O的任一弦．①若G為弦AB的中點，連接OG，則OG與AB的位置關系為______；②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數(shù)量關系，并說明理由．(2)下面是“蝴蝶定理”的證明過程（部分），請補充完整．證明：過O作OM⊥FC于點M，ON⊥DE于點N，連接OP，OQ，MG，NG，OG，由任務（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即，又，取PO的中點O′，在四邊形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′