人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專(zhuān)題03圓周角定理(知識(shí)串講+6大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專(zhuān)題03圓周角定理考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）圓周角定理（1）圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．（二）圓周角的推論①推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．②推論2：直徑所對(duì)的網(wǎng)周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．③推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（三）圓的內(nèi)接四邊形（1）圓內(nèi)接四邊形概念：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角．考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：圓周角概念典例1：（2022秋·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中的∠ABC是圓周角的是（

）A．B．C．D．【變式1】（2022秋·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）．A．B． C． D．【變式2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點(diǎn)P，連接AD．下列角中，AB所對(duì)圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【變式3】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在圓上，且邊CD與該圓交于點(diǎn)E，AC，BE交于點(diǎn)F.下列角中，弧AE所對(duì)的圓周角是(

)A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC考點(diǎn)2：圓周角定理——求角度典例2：（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，如果∠CAB=20°，那么∠AOD等于（

）

A．120° B．140° C．150° D．160°【變式1】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是BC的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC=70°，則∠OBE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°【變式2】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)．若∠BOC=66°，則∠A=（

）

A．66° B．33° C．24° D．30°【變式3】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，∠AOB=4∠BOC，若∠ACB=60°，則∠BAC的度數(shù)是（

）

A．20° B．18° C．15° D．12°考點(diǎn)3：同?。ǖ然。┧鶎?duì)的圓周角相等典例3：（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC,BD為對(duì)角線，BD經(jīng)過(guò)圓心O．若∠BAC=40°，則∠DBC的度數(shù)為（

）

A．40° B．50° C．60° D．70°【變式1】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)F是圓O上的點(diǎn)，點(diǎn)B、C是劣弧AD的三等分點(diǎn)，若∠BOC=44°，則∠AFD的度數(shù)是（

）

A．65° B．66° C．67° D．68°【變式2】（2023·北京·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的直徑AB⊥CD，垂足為E，∠A=25°，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接FD，則∠F的度數(shù)為（

）

A．25° B．45° C．50° D．65°【變式3】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=50°，則∠D=（

）

A．20° B．40° C．50° D．80°考點(diǎn)4：直徑所對(duì)圓周角90°典例4：（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，AD是⊙O的直徑，弦BC交AD于點(diǎn)E，連接AB，AC，若∠BAD=30°，則∠ACB的度數(shù)是（

A．50° B．40° C．70° D．60°【變式1】（2023·山東威海·統(tǒng)考二模）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程始終保持∠AFB=90°，則線段CF長(zhǎng)度的最大值與最小值的差約為（

）

A．4?23 B．2 C．23?2【變式2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AB是半圓O的直徑，以弦為痕折疊AC后，恰好過(guò)點(diǎn)O則∠OAC等于（

）

A．10° B．25° C．30° D．14°【變式3】（2023·江蘇徐州·?？既＃┤鐖D，矩形ABCD的寬為10，長(zhǎng)為12，E是矩形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，AE⊥BE，則CE最小值為（

）

A．9 B．8 C．7 D．6考點(diǎn)5：圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)典例5：（2023·山西太原·校聯(lián)考三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD=70°，則∠AOC的度數(shù)為（

A．110° B．120° C．130° D．140°【變式1】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)B是弧AC的三等分點(diǎn)，且弧AB大于弧BC，若∠A=50°，則∠ABC的度數(shù)是（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【變式2】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠D=120°，AB=AC=6，則點(diǎn)O到BC的距離是（）

A．3 B．3 C．23 D．33【變式3】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD=2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（

）

A．20° B．30° C．40° D．45°考點(diǎn)6：圓周角定理綜合典例6：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AC，BD是

(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由．(2)若⊙O的直徑為8，∠AOB=120°，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．【變式1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AC、BD為圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線，且點(diǎn)D為(1)如圖1，若∠CDB=60°、直接寫(xiě)出AD，AB與(2)如圖2、若∠CDB=90°、AC平分∠BCD，BC=4，求AD的長(zhǎng)度．【變式2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．

(1)判斷△ABC的形狀，并證明；(2)若CP=6,BC=27，求S【變式3】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AC上一點(diǎn)，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD,DC,CP．

(1)求證：∠ADC?∠BAC=90°；（請(qǐng)用兩種證法解答）(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半徑為3，CP=4，求AP的長(zhǎng)．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖A、B是⊙O上兩點(diǎn)中，若∠AOB=90°，點(diǎn)C在⊙O上，則A．45° B．40° C．35°2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB=10，E在⊙O內(nèi)，且OE=4，則過(guò)E點(diǎn)所有弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的條數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．103．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級(jí)校考期中）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD．若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=24°，則∠DCA的度數(shù)為（）A．40° B．41° C．42° D．43°4．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠C=2∠A，則∠A的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．不確定5．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，以量角器的直徑AB為斜邊畫(huà)直角三角形ABC，量角器上點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是100°，則∠BCD的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．80°6．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)O，點(diǎn)B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，∠OBC=30°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）．A．0,5 B．0,53 C．0,527．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PAB、PCD都是⊙O的割線．如果PA=4，AB=2，PC=CDA．3 B．23 C．33 D．438．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，則∠BDE的度數(shù)為（

）A．90° B．100° C．110° D．120°9．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，則∠BCD=（

）A．112° B．68° C．56° D．34°10．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為32，若BC=6，則∠A的度數(shù)為（

A．120° B．135° C．150° D．160°二、填空題11．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60o，則∠ABC＝o．12．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，已知⊙O的半徑為5，弦AB，CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB，∠COD．若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD＝6，則弦AB的長(zhǎng)為．13．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓中一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為．14．（2022秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將大小兩塊量角器的零度線對(duì)齊，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圓周上。設(shè)它們圓周的交點(diǎn)為P，且點(diǎn)P在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為75°，那么點(diǎn)P在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為15．（2022秋·天津·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，∠ABC＝65°．則∠CDB的大小等于．16．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為直線BC上動(dòng)點(diǎn)，B、G關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，連接AG，點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足∠APB=12∠AGB，則DP三、解答題17．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O點(diǎn)D．點(diǎn)E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的長(zhǎng)．18．（2023·陜西·三模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法求作∠CPB=∠A，使得頂點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．19．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，MD恰好經(jīng)過(guò)圓心O，連接MB．(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直徑；(2)若∠M=∠D，求∠D的度數(shù)．20．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)E．（1）若∠BAD和∠BCD的度數(shù)之比為2:3，求∠BAD的度數(shù)；（2）若AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C為劣弧BD的中點(diǎn)，求弦AC的長(zhǎng)．21．（2022秋·廣西桂林·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，∠A的角平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，求證：BE＝CF．22．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）圖1為一枚宋代古錢(qián)幣，從中抽象出等大的方孔圓形（如圖2），蘊(yùn)含著“天圓地方”的思想，這一鑄錢(qián)形制在中國(guó)古代延用了二千多年．(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察，圖2．A．是軸對(duì)稱(chēng)圖形B．是中心對(duì)稱(chēng)圖形C．既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形(2)請(qǐng)你用直尺，在圖2中作出圓心O（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(3)古錢(qián)幣的直徑是鑒定其真?zhèn)蔚闹匾罁?jù)，已知這種錢(qián)幣真品的直徑為3.6cm，允許誤差±0.2cm，直徑超出此范圍的錢(qián)幣為偽品．如圖3，可用一把三角尺測(cè)量該錢(qián)幣的直徑，將直角頂點(diǎn)A放在上，三角尺的兩直角邊與圓分別交于點(diǎn)B、C，測(cè)得AB＝2cm，AC＝3cm，判斷這枚古錢(qián)幣的真?zhèn)?，并說(shuō)明理由．23．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，已知AC,BD是⊙O內(nèi)兩條互相垂直的弦，連接AD、BC．(1)如圖2，若AC=6,BD=8，則四邊形ABCD的面積是_____________．(2)如圖3，若AC是⊙O的直徑，BC=2,AD=4，求⊙O的半徑．(3)在（2）的情況下，若AC,BD均不是直徑（如圖1），⊙O的半徑會(huì)發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化，求出這個(gè)半徑值；若不發(fā)生變化，請(qǐng)利用圖1給出證明．24．（2022秋·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題提出：如圖1，在Rt△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，連接CD，為探究AD2，B探究解決：將圖1中CD繞著點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到CE，連接DE，AE，如圖2，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：(1)證明：△ACE≌△BCD；(2)證明：∠DAE=90(3)直接寫(xiě)出AD2，BD(4)拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且BD為⊙O直徑，BC=DC，連接AC，若AB=5，BC=17，則AC=25．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度數(shù)；（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若AB＝1，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足AE2＝BE2+CE2，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．

專(zhuān)題03圓周角定理考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）圓周角定理（1）圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．（二）圓周角的推論①推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．②推論2：直徑所對(duì)的網(wǎng)周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．③推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（三）圓的內(nèi)接四邊形（1）圓內(nèi)接四邊形概念：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角．考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：圓周角概念典例1：（2022秋·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列圖形中的∠ABC是圓周角的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，即可求得答案．【詳解】解：由圓周角的定義可知，A、B、D中的∠ABC都不是圓周角，C中的∠ABC是圓周角，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定義．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義．【變式1】（2022秋·山東濰坊·九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列圓中既有圓心角又有圓周角的是（

）．A．B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角和圓心角的定義解答即可．【詳解】解：A．圖中只有圓周角，沒(méi)有圓心角，選項(xiàng)不符合題意；B．圖中只有圓心角，沒(méi)有圓周角，選項(xiàng)不符合題意；C．圖中既有圓心角，也有圓周角，選項(xiàng)符合題意；D．圖中只有圓心角，沒(méi)有圓周角，選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的識(shí)別，掌握?qǐng)A周角和圓心角的定義是解答本題的關(guān)鍵．頂點(diǎn)在圓周上，角的兩邊與圓相交的角是圓周角；圓心角的定義：頂點(diǎn)在圓的角是圓心角．【變式2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點(diǎn)P，連接AD．下列角中，AB所對(duì)圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可知：AB所對(duì)圓周角的是∠ACB或∠ADB，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握?qǐng)A周角是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在圓上，且邊CD與該圓交于點(diǎn)E，AC，BE交于點(diǎn)F.下列角中，弧AE所對(duì)的圓周角是(

)A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC【答案】C【分析】直接運(yùn)用圓周角的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：弧AE所對(duì)的圓周角是：∠ABE或∠ACE故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的定義，掌握?qǐng)A周角的定義是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)2：圓周角定理——求角度典例2：（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，如果∠CAB=20°，那么∠AOD等于（

）

A．120° B．140° C．150° D．160°【答案】B【分析】先根據(jù)垂徑定理得到BC=BD，然后根據(jù)圓周角定理得【詳解】解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴BC=∴∠BOD=2∠BAC=40°．∴∠AOD=180°?∠BOD=140°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和垂弦定理，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理及圓周角定理的內(nèi)容．【變式1】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)．若∠BOC=66°，則∠A=（

）

A．66° B．33° C．24° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】解：∵BC=BC，∴∠A=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，∠AOB=4∠BOC，若∠ACB=60°，則∠BAC的度數(shù)是（

）

A．20° B．18° C．15° D．12°【答案】C【分析】由∠ACB=60°，可得∠AOB=2∠ACB=120°，結(jié)合∠AOB=4∠BOC，可得∠BOC=1【詳解】解：∵∠ACB=60°，∴∠AOB=2∠ACB=120°，∵∠AOB=4∠BOC，∴∠BOC=1∴∠BAC=1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，熟記圓周角定理的含義是解本題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是BC的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC=70°，則∠OBE的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】D【分析】連接OB、OC，則∠BOC=2∠BAC=140°，可得∠OBC=20°，再證∠EBC=∠EAC=∠EAB=12∠BAC=35°【詳解】解：連接OB、OC，∵∠BAC=70°，∴∠BOC=2∠BAC=140°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=20°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=∴∠EBC=∠EAC=∠EAB=1∴∠OBE=∠OBC+∠EBC=55°，∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE=55°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：同?。ǖ然。┧鶎?duì)的圓周角相等典例3：（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC,BD為對(duì)角線，BD經(jīng)過(guò)圓心O．若∠BAC=40°，則∠DBC的度數(shù)為（

）

A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】由同弧所對(duì)圓周角相等及直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵BC=∴∠BDC=∠BAC=40°，∵BD為圓的直徑，∴∠BCD=90°，∴∠DBC=90°?∠BDC=50°；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，直角三角形兩銳角互余，掌握它們是關(guān)鍵．【變式1】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)F是圓O上的點(diǎn)，點(diǎn)B、C是劣弧AD的三等分點(diǎn)，若∠BOC=44°，則∠AFD的度數(shù)是（

）

A．65° B．66° C．67° D．68°【答案】B【分析】根據(jù)題意可得AB=BC=CD，則【詳解】解：∵點(diǎn)B、C是劣弧AD的三等分點(diǎn)，∴AB∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∵∠BOC=44°，∴∠AOD=3∠BOC=132°∵AD∴∠AFD=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等弧所對(duì)的圓周角線段，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·北京·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的直徑AB⊥CD，垂足為E，∠A=25°，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接FD，則∠F的度數(shù)為（

）

A．25° B．45° C．50° D．65°【答案】C【分析】連接OD，根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接OD，

∵⊙O的直徑AB⊥CD，∴BC∴∠BOC=∠BOD，∵∠A=25°，∠BOC=2∠A，∴∠BOC=50°，∴∠COD=100°，∴∠F=1故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，等弧所對(duì)的圓周角相等，熟記圓周角定理正確作輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=50°，則∠D=（

）

A．20° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=50°，∴∠ABC=90°?∠BAC=40°，∵AC=∴∠D=∠ABC=40°；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對(duì)圓周角為直角是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：直徑所對(duì)圓周角90°典例4：（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，AD是⊙O的直徑，弦BC交AD于點(diǎn)E，連接AB，AC，若∠BAD=30°，則∠ACB的度數(shù)是（

A．50° B．40° C．70° D．60°【答案】D【分析】如圖所示，連接CD，先由同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠BCD=∠BAD=30°，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ACD=90°，則∠ACB=∠ACD?∠BCD=60°．【詳解】解：如圖所示，連接CD，∵∠BAD=30°，∴∠BCD=∠BAD=30°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD?∠BCD=60°，故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確求出∠ACD，【變式1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AB是半圓O的直徑，以弦為痕折疊AC后，恰好過(guò)點(diǎn)O則∠OAC等于（

）

A．10° B．25° C．30° D．14°【答案】C【分析】連接BC，過(guò)O作OE⊥AC于D交圓O于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=12OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD=【詳解】解：如圖，連接BC，過(guò)O作OE⊥AC于D交圓O于E，

∵把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∴OD=12∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴OD∥∵OA=OB，∴OD=1∴BC=OE=OB=OC，∴△OCB是等邊三角形，∴∠COB=60°，∴∠OAC=∠OCA=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·江蘇徐州·?？既＃┤鐖D，矩形ABCD的寬為10，長(zhǎng)為12，E是矩形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，AE⊥BE，則CE最小值為（

）

A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由AE⊥BE知點(diǎn)E在以AB為直徑的半⊙O上，連接CO交⊙O于點(diǎn)E′，當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)E′位置時(shí)，線段【詳解】解：如圖，

∵AE⊥BE，∴點(diǎn)E在以AB為直徑的半⊙O上，連接CO交⊙O于點(diǎn)E′∴當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)E′位置時(shí)，線段CE∵AB=10，∴OA=OB=OE∵BC=12，∴OC=B則CE故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、圓的基本性質(zhì)及矩形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)AE⊥BE知點(diǎn)E在以AB為直徑的半⊙O上是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F在△ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程始終保持∠AFB=90°，則線段CF長(zhǎng)度的最大值與最小值的差約為（

）

A．4?23 B．2 C．23?2【答案】A【分析】根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程始終保持∠AFB=90°，可知點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，該圓記作圓O，連接OC，交圓O于點(diǎn)F，此時(shí)滿足CF最短（圖1）；設(shè)AC交圓O于F，此時(shí)滿足CF最長(zhǎng)（圖2）．據(jù)此利用勾股定理即可作答．【詳解】∵運(yùn)動(dòng)過(guò)程始終保持∠AFB=90°，∴點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，該圓記作圓O，連接OC，交圓O于點(diǎn)F，此時(shí)滿足CF最短．如圖1，

圖1

∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，∴AB=4，OA=OB=OF=1∵點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴OC=A∴CF最短為：CF=OC?OF=23如圖2，假如當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到AC與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，CF最長(zhǎng)．

圖2∵∠AFB=90°（直徑AB所對(duì)的圓周角為直角），又BA=BC，∴F為AC的中點(diǎn)，∴CF=1即CF長(zhǎng)度的最大值為2．故線段CF長(zhǎng)度的最大值與最小值的差約為：2?2故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，判斷出點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)典例5：（2023·山西太原·校聯(lián)考三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD=70°，則∠AOC的度數(shù)為（

A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【分析】先由平行線的性質(zhì)求出∠ABC=110°，再由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出∠ADC=70°，則由圓周角定理可得∠AOC=2∠ADC=140°．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠ABC=180°?∠BAD=110°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADC=180°?∠ABC=70°，∴∠AOC=2∠ADC=140°，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)B是弧AC的三等分點(diǎn)，且弧AB大于弧BC，若∠A=50°，則∠ABC的度數(shù)是（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【分析】連接OB，取AB的中點(diǎn)D，連接OD，在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)E，連接AE、CE，由圓的性質(zhì)可求得∠AOC，根據(jù)圓周角定理可求得∠E，利用圓內(nèi)角四邊形的性質(zhì)即可求得∠ABC．【詳解】解：如圖，連接OB，取AB的中點(diǎn)D，連接OD，在優(yōu)弧AC上取點(diǎn)E，連接AE、CE，

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°?50°?50°=80°，∵點(diǎn)B是弧AC的三等分點(diǎn)，∴∠BOC=∠AOD=∠BOD=40°，∴∠AOC=120°，∴∠E=1∴∠ABC=180°?∠E=120°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，利用條件構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD=2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（

）

A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】B【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BCD+∠BAD=180°，得到∠BCD=120°,∠BAD=60°，由BE是⊙O的直徑，得到∠BAE=90°，再根據(jù)∠BAE?∠BAD求出∠DAE的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BCD=2∠BAD，∴∠BCD=120°,∠BAD=60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE=90°，∴∠DAE=∠BAE?∠BAD=30°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BCD=120°,∠BAD=60°是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠D=120°，AB=AC=6，則點(diǎn)O到BC的距離是（）

A．3 B．3 C．23 D．33【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)接四邊形得出∠A=60°，進(jìn)而得出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠D=120°，∴∠A=60°，∵AB=AC=6，∴△ABC是等邊三角形，連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∴BE=12BC=3∴OE=∴點(diǎn)O到BC的距離是3，故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：圓周角定理綜合典例6：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AC，BD是

(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并說(shuō)明理由．(2)若⊙O的直徑為8，∠AOB=120°，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．【答案】(1)四邊形ABCD是矩形，理由見(jiàn)解析；(2)8+83，16【分析】（1）由AC，BD是⊙O的兩條直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，即可得∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，則可判定四邊形（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和矩形的周長(zhǎng)和面積解答即可．【詳解】（1）四邊形ABCD是矩形．理由：∵AC，BD是∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形．（2）∵∠AOB=120°，∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中，DB=8∴AD=4，AB=43∴四邊形的周長(zhǎng)4+4+43面積=43【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理以及矩形的判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式1】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AC、BD為圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線，且點(diǎn)D為(1)如圖1，若∠CDB=60°、直接寫(xiě)出AD，AB與(2)如圖2、若∠CDB=90°、AC平分∠BCD，BC=4，求AD的長(zhǎng)度．【答案】(1)AD+AB=AC(2)8?4【分析】（1）如圖：BA繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交AC于E,即AB=BE，先說(shuō)明△AEB是等邊三角形可得∠ABE=60°,AE=AB；再說(shuō)明△DBC是等邊三角形可得∠DBC=60°,BC=BD，進(jìn)而證明△CBE?△DBASAS可得CE=AD，最后根據(jù)AC=CE+EA（2）如圖：連接OD,OA交BD于E，先說(shuō)明BC為⊙O直徑,即OA=OB=OC=2，再運(yùn)用圓周角定理和勾股定理可得BD=CD=22，進(jìn)而求得DE=2、【詳解】（1）解：如圖：BA繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交AC于E，即AB=BE，∵∠CDB=60°，∴∠CAB=∠CDB=60°，∴△AEB是等邊三角形，∴

∠ABE=60°,AE=AB,∵點(diǎn)D為BDC的中點(diǎn)∴CD=BD，∵∠CDB=60°，∴△DBC是等邊三角形，∴∠DBC=60°,BC=BD，∴∠ABE=∠CBD,即∠CBE=∠ABD,∴△CBE?△DBASAS∴CE=AD,∴AC=CE+EA=AD+AB,即AD+AB=AC．

（2）解：如圖：連接OD，OA交BD于E，∵∠CDB=90°，∴BC為⊙O直徑,即OA=OB=OC=2∵點(diǎn)D為BDC的中點(diǎn)，∴BD=CD，

∴BC=BD2+CD∵AC平分∠BCD，∴AD=AB,又∵OD=OB,∴AE垂直平分BD,即DE=1∴CD∥∵OC=OB．∴OE是△OBD的中位線，∴OE=1∴AE=OA?OE=2?2∴AD=A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°．

(1)判斷△ABC的形狀，并證明；(2)若CP=6,BC=27，求S【答案】(1)等邊三角形，證明見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明；（2）過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BP交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作AJ⊥PC于點(diǎn)J.證明△ABK≌△ACJAAS，推出AK=AJ，BK=CJ，證明Rt△AKP≌Rt△AJPHL推出PK=PJ，設(shè)PK=PJ=x，則【詳解】（1）解：△ABC是等邊三角形，

理由如下：由圓周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BP交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)A作AJ⊥PC于點(diǎn)J．∵∠K=∠AJC=90°，AB=AC，∠ABK=∠ACJ，∴△ABK≌△ACJAAS∴AK=AJ,BK=CJ，∵AP=AP，∴Rt△AKP≌Rt△AJPHLPK=PJ，設(shè)PK=PJ=x，則AK=AJ=3∵AK∴3x解得，x=1或2，∴PJ=1或2，AK=AJ=3或2∴PB=2或4，∴△APB的面積=12×2×2綜上所述，△APB的面積為23【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、等邊三角形的判定，掌握同弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AC上一點(diǎn)，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD,DC,CP．

(1)求證：∠ADC?∠BAC=90°；（請(qǐng)用兩種證法解答）(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半徑為3，CP=4，求AP的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)8【分析】（1）證法一：連接BD，得到∠ADB=90°，因?yàn)椤螧AC=∠BDC，所以∠ADC?∠BAC=90°；證法二：連接BC，可得∠ADC+∠ABC=180°，則∠ABC=180°?∠ADC，根據(jù)∠ACB=90°，可得∠BAC+∠ABC=90°，即可得到結(jié)果；（2）連接OC，根據(jù)角度間的關(guān)系可以證得△OCP為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得邊OP的長(zhǎng)，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】（1）證法一：如圖，連接BD，∵BC=∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC?∠BAC=90°，

證法二：如圖，連接BC，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°?∠ADC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°?∠ADC=90°，∴∠ADC?∠BAC=90°，

（2）解：如圖，連接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC?∠BAC=90°，∴∠ACP?∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP?∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半徑為3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，O∵CP=4，∴OP∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角，勾股定理，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖A、B是⊙O上兩點(diǎn)中，若∠AOB=90°，點(diǎn)C在⊙O上，則A．45° B．40° C．35°【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理即可解答．【詳解】解：∵OA，OB是⊙O的兩條半徑，∴∠ACB=故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．2．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB=10，E在⊙O內(nèi)，且OE=4，則過(guò)E點(diǎn)所有弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的條數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【詳解】解：由垂徑定理得：CE=5∴CD=2CE=6則過(guò)E點(diǎn)所有弦中長(zhǎng)度為整數(shù)的有：6（1條）,7,8,9各兩條,10（1條）；共8條.故選C.3．（2022秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級(jí)校考期中）如圖，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD．若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=24°，則∠DCA的度數(shù)為（）A．40° B．41° C．42° D．43°【答案】C【分析】連接BC，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得到ABC所對(duì)的圓周角，然后根據(jù)∠ACD等于ABC所對(duì)的圓周角減去CD所對(duì)的圓周角，計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠BAC=24°，∴∠B=90°?∠BAC=90°?24°=66°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，弧AC所對(duì)的圓周角為∠B，ABC所對(duì)的圓周角為∠ACD，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠CDB=180°，∴∠B=∠CDB=66°，∴∠DCA=∠CDB?∠BAC=66°?24°=42°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)同弦所對(duì)的兩個(gè)圓周角互補(bǔ)求解是解題的關(guān)鍵，此題難度不大．4．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠C=2∠A，則∠A的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠A=180°，∵∠C=2∠A，∴∠A=60°．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A的度數(shù)．5．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，以量角器的直徑AB為斜邊畫(huà)直角三角形ABC，量角器上點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是100°，則∠BCD的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】根據(jù)題意，確定A、B、C、D在同一個(gè)圓上，根據(jù)量角器量角及圓周角定理即可得到∠BCD=1【詳解】解：令圓心為O，連接OD，如圖所示：∵以量角器的直徑AB為斜邊畫(huà)直角三角形ABC，∴C在⊙O上，∵量角器上點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是100°，∴∠DOA=100°，∴∠BOD=180°?100°=80°，∵DB∴∠BCD=1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，讀懂題意，掌握量角器量角的方法及圓周角定理求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2023·內(nèi)蒙古包頭·二模）如圖，直徑為10的⊙A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)O，點(diǎn)B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，∠OBC=30°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）．A．0,5 B．0,53 C．0,52【答案】A【分析】首先設(shè)⊙A與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD．根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，即可得CD是⊙A的直徑．由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可求得∠ODC的度數(shù)，進(jìn)而由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得OC的長(zhǎng)，即得出點(diǎn)C坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)⊙A與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD，如圖，∵∠COD=90°，∴CD是⊙A的直徑，即CD=10．∵OC=∴∠ODC=∠OBC=30°，∴OC=1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：0,5．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理的推論，含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．7．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PAB、PCD都是⊙O的割線．如果PA=4，AB=2，PC=CDA．3 B．23 C．33 D．43【答案】D【分析】連結(jié)BC、BD，證明△PCB∽△PAD，由PA：PD＝PC：PB可得到PD的長(zhǎng).【詳解】如圖，連結(jié)BC、BD.∵同弧所對(duì)的圓心角相等∴∠PDA＝∠PBC，又∵∠BPD是△PCB和△PAD共同的角，∴△PCB∽△PAD，∴PA：PD＝PC：PB＝PD：PA＋AB，∴PD＝4.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形、同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.8．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，則∠BDE的度數(shù)為（

）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】C【分析】連接AD，根據(jù)圓周角定理，可分別求出∠ADB=90°，∠ADE=∠ACE=20°，即可求∠BDE的度數(shù)．【詳解】解：連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠ACE=20°，∴∠ADE=∠ACE=20°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=110°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．9．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，則∠BCD=（

）A．112° B．68° C．56° D．34°【答案】D【分析】先根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得到∠ADB＝90°，再根據(jù)互余得到∠A＝90°?∠ABD＝34°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝90°?∠ABD＝90°?56°＝34°，∴∠BCD＝∠A＝34°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直10．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為32，若BC=6，則∠A的度數(shù)為（

A．120° B．135° C．150° D．160°【答案】B【分析】連接OB和OC，作OD⊥BC，求出∠BOD=∠DBO=45°，再求出∠BOC的度數(shù)，最后利用圓周角定理得出∠A．【詳解】解：連接OB和OC，作OD⊥BC，∵圓O半徑為32，BC=6，OD⊥BC∴OB=32，BD=3，∠BDO∴OD=O∴∠BOD=∠DBO=45°，∴∠BOC=90°，∴∠A=135°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．二、填空題11．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60o，則∠ABC＝o．【答案】150【詳解】如圖，在優(yōu)弧ADC上取點(diǎn)D，連接AD，CD，∵∠AOC=60°，∴∠ADC=12∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°－∠ADC=180°－30°=150°．12．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，已知⊙O的半徑為5，弦AB，CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB，∠COD．若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD＝6，則弦AB的長(zhǎng)為．【答案】8【分析】延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，據(jù)此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE為⊙O的直徑，∴∠ABE=90°，∴AB=AE故答案為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角定理，角的補(bǔ)角、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角定理和圓周角定理．13．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若圓中一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為．【答案】30°或150°【詳解】與半徑相等的弦與兩條半徑可構(gòu)成等邊三角形，所以這條弦所對(duì)的圓心角為60°，而弦所對(duì)的圓周角兩種，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可知，這兩個(gè)圓周角互補(bǔ)，其中一種圓周角的度數(shù)為12×60故答案為30°或150°．14．（2022秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，將大小兩塊量角器的零度線對(duì)齊，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圓周上。設(shè)它們圓周的交點(diǎn)為P，且點(diǎn)P在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為75°，那么點(diǎn)P在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為【答案】30°【分析】設(shè)大量角器的左端點(diǎn)為A，連接AP、PO2，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠PAO2的度數(shù)．然后根據(jù)圓周角定理即可求出大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)．【詳解】設(shè)大量角器的左端點(diǎn)是A，連接AP，PO2，則∠APO2=90°，由題可知∠AO2P=75°，∴∠PAO2=180°－90°－75°=15°，根據(jù)圓周角定理可得，在大量角器中弧PO2所對(duì)的圓心角是30°，∴P在大量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)為30°.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理，熟練掌握直徑所對(duì)圓周角為直角及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.15．（2022秋·天津·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，∠ABC＝65°．則∠CDB的大小等于．【答案】25°【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，∠ADC＝∠ABC＝65°，然后利用互余計(jì)算∠CDB的度數(shù)．【詳解】解：∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝65°，∴∠CDB＝90°﹣65°＝25°．故答案為25°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．16．（2023春·江蘇宿遷·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為直線BC上動(dòng)點(diǎn)，B、G關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，連接AG，點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足∠APB=12∠AGB，則DP【答案】2【分析】由題意可知，∠AGB=90°，可得∠APB=12∠AGB=45°，可知點(diǎn)P在以AB為弦，圓周角∠APB=45°的圓上，（要使DP最小，則點(diǎn)P要靠近蒂點(diǎn)D，即點(diǎn)P在AB的右側(cè)），設(shè)圓心為O，連接OA，OB，OE，OP，OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥AD，可知△AOB為等腰直角三角形，求得OA=22AB=22=OP，AQ=OQ=22OA=2，QD=AD?AQ=6【詳解】解：∵B、G關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，∴BH=GH，且EF⊥BG∵E為AB中點(diǎn)，則EH為△ABG的中位線，∴EH∥AG，∴∠AGB=90°，∵∠APB=12∠AGB∴點(diǎn)P在以AB為弦，圓周角∠APB=45°的圓上，（要使DP最小，則點(diǎn)P要靠近蒂點(diǎn)D，即點(diǎn)P在AB的右側(cè)）設(shè)圓心為O，連接OA，OB，OE，OP，OD，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥AD，則OA=OB=OP，∵∠APB=45°，∴∠AOB=90°，則△AOB為等腰直角三角形，∴OA=2又∵E為AB中點(diǎn)，∴OE⊥AB，OE=1又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=8，∴四邊形AEOQ是正方形，∴AQ=OQ=22OA=2∴OD=O由三角形三邊關(guān)系可得：DP≥OD?OP=210?22，當(dāng)點(diǎn)P∴DP的最小值為210故答案為：210【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，隱形圓，三角形三邊關(guān)系，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)∠APB=12∠AGB=45°得知點(diǎn)P在以AB三、解答題17．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O點(diǎn)D．點(diǎn)E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）20°；（2）8【分析】（1）由垂徑定理，可知弧AD＝弧BD，再由圓周角定理求得∠DEB的度數(shù)．（2）由垂徑定理可得AC=4，由勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案．【詳解】解：（1）∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，∴弧AD＝弧BD，∴∠DEB＝12∠AOC＝1（2）∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，∴AC＝BC，即AB＝2AC，在Rt△AOC中，AC＝OA則AB＝2AC＝8．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理．解答關(guān)鍵是應(yīng)用垂徑定理構(gòu)造方程．18．（2023·陜西·三模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法求作∠CPB=∠A，使得頂點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．【答案】見(jiàn)解析【分析】作AB的垂直平分線，再以AB為直徑作圓，AB下方交點(diǎn)就是所求【詳解】解：如圖，∠CPB即為所作．①作AB的垂直平分線l，交AB于點(diǎn)O；②以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，⊙O與直線l的一個(gè)交點(diǎn)為P（點(diǎn)P與點(diǎn)C在AB的兩側(cè)）；③連接BP,CP，則∠CPB就是所求作的角．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．19．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，MD恰好經(jīng)過(guò)圓心O，連接MB．(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直徑；(2)若∠M=∠D，求∠D的度數(shù)．【答案】(1)⊙O的直徑是20(2)∠D=30°【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理得到CE=DE=8，設(shè)OB=x，利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠D，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求解即可．【詳解】（1）解：∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，設(shè)OB=x，又∵BE=4，∴x2解得：x=10，∴⊙O的直徑是20．（2）解：∵∠M=12∠BOD∴∠D=12∠BOD∵AB⊥CD，∴∠D+∠BOD=∴∠D=30°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是解答的關(guān)鍵．20．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)E．（1）若∠BAD和∠BCD的度數(shù)之比為2:3，求∠BAD的度數(shù)；（2）若AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點(diǎn)C為劣弧BD的中點(diǎn)，求弦AC的長(zhǎng)．【答案】（1）∠BAD=72°；（2）AC=8【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BAD+∠BCD=180°，由∠BAD和∠BCD的度數(shù)之比為2:3計(jì)算求值即可；（2）利用點(diǎn)C為劣弧BD的中點(diǎn)，得到BC=CD，∠BAC=∠DAC=30°，BC=CD，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△ECB，得A、B、E三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AE于G求得EG=12AE=12【詳解】（1）如圖所示，∵點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAD和∠BCD的度數(shù)之比為2:3，∴∠BCD=3∴∠BAD=72°；（2）解：∵∠BAD=60°，∴∠BCD=120°，∵點(diǎn)C為劣弧BD的中點(diǎn)，∴BC=∴∠BAC=∠DAC=30°，BC=CD．將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△ECB，如圖所示．則∠E=∠DAC=∠BAC=30°，BE=AD=5，∠ADC=∠EBC，AC=CE，∵∠ABC+∠EBC=∠ABC+∠ADC=180°，∴A、B、E三點(diǎn)共線．過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AE于G，則EG=12AE=∵Rt△EGC中，CG∴12解得AC=8．【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握各部分知識(shí)并綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·廣西桂林·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，∠A的角平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于F，求證：BE＝CF．【答案】詳見(jiàn)解析.【分析】首先連接BD,CD，根據(jù)角平分線的定義可知∠BAD=∠CAD，可得BD=CD，則BD=CD，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)定理得出DE=DF，然后可證△DEB≌△DFC（HL），從而得出BE＝CF．【詳解】證明：連接DB、DC，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BAD＝∠CAD，DE＝DF，∴BD=CD，∴DB＝DC，∵∠BED＝∠DFC＝90°，DE＝DF，在RtΔDEB和RtΔDFC中BD=CDDE=DF∴RtΔDEB≌RtΔDFC（HL），∴BE＝CF．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).解題關(guān)鍵是掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.22．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）圖1為一枚宋代古錢(qián)幣，從中抽象出等大的方孔圓形（如圖2），蘊(yùn)含著“天圓地方”的思想，這一鑄錢(qián)形制在中國(guó)古代延用了二千多年．(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察，圖2．A．是軸對(duì)稱(chēng)圖形B．是中心對(duì)稱(chēng)圖形C．既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形(2)請(qǐng)你用直尺，在圖2中作出圓心O（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(3)古錢(qián)幣的直徑是鑒定其真?zhèn)蔚闹匾罁?jù)，已知這種錢(qián)幣真品的直徑為3.6cm，允許誤差±0.2cm，直徑超出此范圍的錢(qián)幣為偽品．如圖3，可用一把三角尺測(cè)量該錢(qián)幣的直徑，將直角頂點(diǎn)A放在上，三角尺的兩直角邊與圓分別交于點(diǎn)B、C，測(cè)得AB＝2cm，AC＝3cm，判斷這枚古錢(qián)幣的真?zhèn)危⒄f(shuō)明理由．【答案】(1)C(2)見(jiàn)解析(3)這枚古錢(qián)幣是真品，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形，軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義判斷即可；（2）正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)即為所求；（3）利用勾股定理求出BC，即可判斷．【詳解】（1）解：圖2既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故答案為：C；（2）如圖4中，點(diǎn)O即為所求；（3）如圖5中，連接BC．∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑，∵BC＝AB2+A∴這枚古錢(qián)幣是真品．【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作為中心對(duì)稱(chēng)圖形，軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．23．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1，已知AC,BD是⊙O內(nèi)兩條互相垂直的弦，連接AD、BC．(1)如圖2，若AC=6,BD=8