2025屆江西省豐城二中高二數學第一學期期末綜合測試試題含解析

2025屆江西省豐城二中高二數學第一學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“對任何實數，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得2．已知直線與圓相交于，兩點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知函數（為自然對數的底數），若的零點為，極值點為，則（）A. B.0C.1 D.24．等差數列中，為其前項和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2085．已知橢圓的右焦點為，則正數的值是（）A.3 B.4C.9 D.216．在正方體中，分別為的中點，為側面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．“五一”期間，甲、乙、丙三個大學生外出旅游，已知一人去北京，一人去兩安，一人去云南.回來后，三人對去向作了如下陳述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事實是甲、乙、丙三人陳述都只對了一半(關于去向的地點僅對一個).根據以上信息，可判斷下面說法中正確的是（）A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南8．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.9．函數的單調遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.10．等比數列的各項均為正數，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.11．設橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A. B.C. D.12．拋物線的焦點到其準線的距離是（）A.4 B.3C.2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在點處的切線方程是_________14．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐，若此正四棱錐的側面積是底面積的2倍，則側面與底面的夾角為___________15．某人有樓房一棟，室內面積共計，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為，可住游客4名，每名游客每天的住宿費100元；小房間每間面積為，可住游客2名，每名游客每天的住宿費150元；裝修大房間每間需要3萬元，裝修小房間每間需要2萬元.如果他只能籌款25萬元用于裝修，且假定游客能住滿客房，則該人一天能獲得的住宿費的最大值為___________元.16．若p：存在，使是真命題，則實數a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值18．（12分）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上.（1）求漁船甲的速度；（2）求的值.19．（12分）已知函數在處取得極值（1）求實數a的值；（2）若函數在內有零點，求實數b的取值范圍20．（12分）數列滿足，，.（1）證明：數列是等差數列；（2）設，求數列的前項和.21．（12分）已知拋物線的準線與軸的交點為.（1）求的方程；（2）若過點的直線與拋物線交于，兩點.請判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.22．（10分）已知命題p：集合為空集，命題q：不等式恒成立（1）若p為真命題，求實數a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】可將原命題變成全稱命題形式，而全稱命題的否定為特稱命題，即可選出答案.【詳解】命題“對任何實數，都有”，可寫成：，使得，此命題為全稱命題，故其否定形式為：，使得.故選：B.2、C【解析】求得直線恒過的定點，找出弦長取得最值的狀態(tài)，利用弦長公式求解即可.【詳解】因直線方程為：，整理得，故該直線恒過定點，又，故點在圓內，又圓的圓心為則，此時直線過圓心；當直線與直線垂直時，取得最小值，此時.故的取值范圍為.故選：.3、C【解析】令可求得其零點，即的值，再利用導數可求得其極值點，即的值，從而可得答案【詳解】解：，當時，，即，解得；當時，恒成立，的零點為又當時，為增函數，故在，上無極值點；當時，，，當時，，當時，，時，取到極小值，即的極值點，故選：C【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值，考查函數的零點，考查分段函數的應用，突出分析運算能力的考查，屬于中檔題4、D【解析】利用等差數列下標的性質，結合等差數列前項和公式進行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D5、A【解析】由直接可得.【詳解】由題知，所以，因為，所以.故選：A6、A【解析】建立空間直角坐標系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，，，，則，，設異面直線與所成角為（），則.故選：A7、D【解析】根據題意，先假設甲去了北京正確，則可分析其他人的陳述是否符合題意，再假設乙去西安正確，分析其他人的陳述是否符合題意，即可得答案.【詳解】由題意得，甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半，假設甲去了北京正確，對于甲的陳述：則乙去西安錯誤，則乙去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南錯誤，乙去了北京也錯誤，故假設錯誤.假設乙去了西安正確，對于甲的陳述：則甲去了北京錯誤，則甲去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南正確，乙去了北京錯誤，此種假設滿足題意，故甲去了云南.故選：D8、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據復合命題的真假關系，即可得出結論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.9、A【解析】先求定義域，再由導數小于零即可求得函數的單調遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數的定義域為，又，因為，所以由得，解得，所以函數的單調遞減區(qū)間為.故選：A.10、C【解析】利用數量積運算性質、等比數列的性質及其對數運算性質即可得出【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數列的性質可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【點睛】本題考查數量積運算性質、等比數列的性質及其對數運算性質，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題11、D【解析】詳解】由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.12、C【解析】由拋物線焦點到準線的距離為求解即可.【詳解】因為拋物線焦點到準線的距離為,故拋物線的焦點到其準線的距離是2.故選：C【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程中的幾何意義,屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得函數的導數，得到且，再結合直線的點斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數，可得，則且，所以在點處切線方程是，即故答案為：.14、【解析】設此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結AC、BD交于點O，連結OP.則以O為原點，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標系，用向量法求出側面與底面夾角.【詳解】設此四棱錐P-ABCD底面邊長為，斜高為，連結AC、BD交于點O，連結OP.則，，以O為原點，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標系則，，設平面的法向量為，則，令，則，顯然平面的法向量為所以，所以側面與底面的夾角為故答案為：.15、3600【解析】先設分割大房間為間，小房間為間，收益為元，列出約束條件，再根據約束條件畫出可行域，設，再利用的幾何意義求最值，只需求出直線過可行域內的整數點時，從而得到值即可【詳解】解：設裝修大房間間，小房間間，收益為萬元，則，目標函數，由，解得畫出可行域，得到目標函數過點時，有最大值，故應隔出大房間3間和小房間8間，每天能獲得最大的房租收益最大，且為3600元故答案為：360016、【解析】將問題分離參數得到存在，使成立，可得結論.【詳解】存在，使，即存在，使，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據向量數量積的坐標表示即可得解；（2）求出，再根據空間向量的模的坐標表示即可得解；（3）由，可得，再根據數量積的運算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因為，所以，即，解得.18、（1）14海里小時；（2）.【解析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小問1詳解】(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時.即漁船甲的速度為14海里小時.【小問2詳解】在△中，因為，，，，由正弦定理，得，即.值為.19、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出a的值；（2）先對函數求導，求得函數的單調區(qū)間，從而可由函數的變化情況可知，要函數在內有零點，只要函數在內的最大值大于等于零，最小值小于等于零，然后解不等式組可得答案【詳解】解：（1）在處取得極值，∴，∴．經驗證時，在處取得極值（2）由（1）知，∴極值點為2，.將x，，在內的取值列表如下：x024/-0+/b極小值由此可得，在內有零點，只需∴20、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數列的前項和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項，1為公差的等差數列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點睛：本題主要考查了等差數列的定義、等差數列的判定與證明和數列的求和，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數列的定義得到數列為等差數列，求解的表達式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和中，準確計算是解答的一個難點.21、（1）（2）是定值，定值為【解析】(1)由拋物線的準線求標準方程；(2)直線與拋物線相交求定值，解聯立方程消未知數，利用韋達定理，求線段長，再求它們的倒數的平方和.【小問1詳解】由題意，可得，即，故拋物線的方程為.【小問2詳解】為定值，且定值是.下面給出證明.證明：設直線的方程為，，，聯立拋物線有，消去得，則，又，.得因此為定值，