江西省吉安市永新二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題含解析

江西省吉安市永新二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B.C. D.2．已知點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，，則的值為（）A. B.C. D.3．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題4．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°5．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.2C. D.6．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用表示，村外一小路所在直線方程可用表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為（）A. B.C. D.7．“”是“直線與互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知向量a→=(1，1，k)，A. B.C. D.9．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足，則點(diǎn)P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.10．命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，11．雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（）A. B.C.3 D.612．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，的面積為，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)過(guò)點(diǎn)K(-1，0）的直線l與拋物線C：y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若|BF|=2|AF|，則cos∠AFB=_______14．若正實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_(kāi)_______________________15．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō):“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營(yíng),怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營(yíng)所在平面區(qū)域?yàn)閧(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點(diǎn)P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng),當(dāng)將軍選擇最短路程時(shí),飲馬點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為_(kāi)_____.最短總路程為_(kāi)_____16．正四棱柱中，，，點(diǎn)為底面四邊形的中心，點(diǎn)在側(cè)面四邊形的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若，則線段長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）18．（12分）設(shè)：實(shí)數(shù)滿足，：實(shí)數(shù)滿足.（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，設(shè)的前項(xiàng)和為，令，求證：.22．（10分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)，先求出點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，如圖所示，設(shè)，則，∵為等腰三角形，且，∴.過(guò)作垂直軸于點(diǎn)，則，∴，，即點(diǎn).∵點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線上，∴，解得，∴.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（通過(guò)已知找到關(guān)于離心率的方程解方程即得解）.2、D【解析】由題，由于過(guò)拋物線上一點(diǎn)的直線與直線垂直相交于點(diǎn)，可得，又，故，所以的坐標(biāo)為，由余弦定理可得.故選：D.考點(diǎn)：拋物線的定義、余弦定理【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題3、B【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以命題為假命題因?yàn)椋悦}為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B4、B【解析】以為空間的一個(gè)基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B5、A【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為：，故選：A6、B【解析】求出圓心到直線距離，減去半徑即為答案.【詳解】圓心到直線的距離，則從村莊外圍到小路的最短距離為故選：B7、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求出，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直線與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.8、D【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直數(shù)量積為0可解.【詳解】解：根據(jù)題意，易得a→∵與兩向量互相垂直，∴0+2+k+2=0，解得.故選：D9、A【解析】構(gòu)造輔助線，找到點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為長(zhǎng)方形，從而求出面積.【詳解】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點(diǎn)，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因?yàn)锽EEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A10、D【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D.11、D【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程求出的值，即可得答案【詳解】因?yàn)?，所以，所以雙曲線的虛軸長(zhǎng)為.故選：D.12、C【解析】利用面積公式，求出，進(jìn)而求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出【詳解】由面積公式得：，因?yàn)榈拿娣e為，所以，求得：因，所以由余弦定理得：所以由正弦定理得：，即，解得：故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知設(shè)直線方程為與C聯(lián)立，結(jié)合|BF|=2|AF|，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而利用求向量夾角余弦值的方法，即可得到答案.【詳解】令直線的方程為將直線方程代入批物線C:的方程，得令且，所以由拋物線的定義知，由|BF|=2|AF|可知，，則，解得：，，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則則.故答案為：14、【解析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)即，等號(hào)成立，.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15、①.②.【解析】求出P(,)關(guān)于直線x+2y4=0對(duì)稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)，再求出線段OP'與直線x+2y-4=0的交點(diǎn)A,再利用圓的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)P(,)關(guān)于直線x+2y4=0的對(duì)稱點(diǎn)為P'(m,n),則解得因?yàn)閺狞c(diǎn)P到軍營(yíng)總路程最短,所以A為線段OP'與直線x+2y4=0的交點(diǎn),聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=，故答案為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)稱問(wèn)題以及圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對(duì)稱問(wèn)題，主要有以下三種題型：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用，且點(diǎn)在對(duì)稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對(duì)稱，利用已知直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)以及直線上特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（利用（1）求解），兩點(diǎn)式求對(duì)稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.16、【解析】根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)位于點(diǎn)時(shí)，因?yàn)槭钦叫危?，由正四棱柱的性質(zhì)可知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，平面，所以，因此?dāng)位于點(diǎn)時(shí)，滿足題意，當(dāng)點(diǎn)位于邊點(diǎn)時(shí)，若，在矩形中，,因?yàn)?，所以，因此，所以有，此時(shí)，又平面，所以平面，故點(diǎn)的軌跡在線段上，，所以線段長(zhǎng)度的最大值為.故答案為：關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用特殊點(diǎn)判斷出點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)題意，分析、為真時(shí)的取值范圍，又由復(fù)合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據(jù)此分析可得答案.【詳解】解：選①時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由q：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.選②時(shí)由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，∴，由為真命題知，解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍.18、（1）（2）【解析】（1）首先分別求出、為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再由為真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依題意是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，即可得到不等式組，解得即可；【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，解得，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù)滿足，即，解得：，即為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為因，所以，即；【小問(wèn)2詳解】解：由，即，所以，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的必要不充分條件，則可推出，而不能推出，則，解得；19、（1）；（2）.【解析】（1）由，，可得求出，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，考查裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題20、（1）（2）【解析】（1）由，，成等比數(shù)列和，可得，解方程求出，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求出【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，所以又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以.21、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)利用累加法求通項(xiàng)公式，利用通