數(shù)學(xué)分析22.4場論初步(含習(xí)題及參考答案)

第二十二章曲面積分4場論初步一、場的概念概念：若對全空間或其中某一區(qū)域V中每一點M，都有一個數(shù)量(或向量)與之對應(yīng)，則稱V上給定了一個數(shù)量場(或向量場).溫度場和密度場都是數(shù)量場.若數(shù)量函數(shù)u(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)不同時為0,則滿足方程u(x,y,z)=c(常數(shù))的所有點通常是一個曲面.曲面上函數(shù)u都取同一個值時，稱為等值面，如溫度場中的等溫面.重力場和速度場都是向量場.設(shè)向量函數(shù)A(x,y,z)在三坐標(biāo)軸上投影分別為：P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),則A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),其中P,Q,R為定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù)，且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).設(shè)向量場中的曲線L上每點M處的切線方向都與向量函數(shù)A在該點的方向一致，即==,則稱曲線L為向量場A的向量場線.如,電力線、磁力線等都是向量場線.二、梯度場概念：梯度是由數(shù)量函數(shù)u(x,y,z)定義的向量函數(shù)gradu=,且gradu的方向是使達(dá)到最大值的方向,其大小為u在這個方向上的方向?qū)?shù).所以可定義數(shù)量場u在點M處的梯度gradu為在M處最大的方向?qū)?shù)的方向，及大小為在M處最大方向?qū)?shù)值的向量.因為方向?qū)?shù)的定義與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，所以梯度定義也與坐標(biāo)系選取無關(guān).由梯度給出的向量場，稱為梯度場.又?jǐn)?shù)量場u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c的法線方向為,所以gradu的方向與等值面正交,即等值面法線方向.引進(jìn)符號向量：▽=.將之視為運算符號時,gradu=▽u.基本性質(zhì)：若u,v是數(shù)量函數(shù),則1、▽(u+v)=▽u+▽v；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v.特別地▽u2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z),φ=φ(x,y,z),則dφ=dr▽φ；4、若f=f(u),u=u(x,y,z),則▽f=f’(u)▽u；5、若f=f(u1,u2,…,un),ui=ui(x,y,z)(i=1,2,…,n),則▽f=.證：1、▽(u+v)===+=▽u+▽v.2、▽(uv)===+=u+v=u(▽v)+(▽u)v.當(dāng)u=v時，有▽u2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v=2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz,▽φ=,∴dr▽φ=(dx+dy+dz)==dφ.4、∵▽f==,又▽u=,f’(u)=,∴f’(u)▽u===▽f.5、▽f=====.例1：設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點位于原點,質(zhì)量為1的質(zhì)點位于M(x,y,z),記OM=r=,求的梯度.解：=.注：若以r0表示上的單位向量，則有=,表示兩質(zhì)點間引力方向朝著原點,大小是與質(zhì)量的乘積成正比,與兩點間的距離的平方成反比.這說明引力場是數(shù)量函數(shù)的梯度場.所以稱為引力勢.三、散度場概念：設(shè)A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))為空間區(qū)域V上的向量函數(shù),對V上每一點(x,y,z),定義數(shù)量函數(shù)D(x,y,z)=,則稱D為向量函數(shù)A在(x,y,z)處的散度，記作D(x,y,z)=divA(x,y,z).設(shè)n0=(cosα,cosβ,cosγ)為曲面的單位法向量,則=n0dS就稱為曲面的面積元素向量.于是得高斯公式的向量形式：=.在V中任取一點M0,對應(yīng)用中值定理,得=divA(M*)·△V=,其中M*為V中某一點，于是有divA(M*)=.令V收縮到點M0(記為V→M0)則M*→M0,因此divA(M0)=.因和△V都與坐標(biāo)系選取無關(guān)，所以散度與坐標(biāo)系選取無關(guān).由向量場A的散度divA構(gòu)成的數(shù)量場，稱為散度場.其物理意義：divA(M0)是流量對體積V的變化率，并稱它為A在點M0的流量密度.若divA(M0)>0,說明在每一單位時間內(nèi)有一定數(shù)量的流體流出這一點，則稱這一點為源.反之，若divA(M0)<0,說明流體在這一點被吸收，則稱這點為匯.若向量場A中每一點皆有divA=0,則稱A為無源場.向量場A的散度的向量形式為：divA=▽·A.基本性質(zhì)：1、若u,v是向量函數(shù),則▽·(u+v)=▽·u+▽·v；2、若φ是數(shù)量函數(shù),F是向量函數(shù),則▽·(φF)=φ▽·F+F·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一數(shù)量函數(shù),則▽·▽φ=.證：1、記u(P1(x,y,z),Q1(x,y,z),R1(x,y,z)),v(P2(x,y,z),Q2(x,y,z),R2(x,y,z)),則▽·(u+v)===▽·u+▽·v.2、▽·(φF)===φ+(P,Q,R)=φ▽·F+F·▽φ.3、∵▽φ=,∴▽·▽φ==.注：算符▽的內(nèi)積▽·▽常記作△=▽·▽=，稱為拉普拉斯算符,于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力場F=所產(chǎn)生的散度場.解：∵r2=x2+y2+z2,∴F=(x,y,z),▽·F=-m=0.注：由例2知，引力場內(nèi)每一點處的散度都為0(除原點處外).四、旋度場概念：設(shè)A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))為空間區(qū)域V上的向量函數(shù),對V上每一點(x,y,z),定義向量函數(shù)F(x,y,z)=,稱之為向量函數(shù)A在(x,y,z)處的旋度,記作rotA.設(shè)(cosα,cosβ,cosγ)是曲線L的正向上的單位切線向量t0的方向余弦,向量=(cosα,cosβ,cosγ)ds=t0dl稱為弧長元素向量.于是有斯托克斯公式的向量形式：=.向量函數(shù)A的旋度rotA所定義的向量場，稱為旋度場.在流量問題中，稱為沿閉曲線L的環(huán)流量.表示流速為A的不可壓縮流體在單位時間內(nèi)沿曲線L的流體總量，反映了流體沿L時的旋轉(zhuǎn)強(qiáng)弱程度.當(dāng)rotA=0時，沿任意封閉曲線的環(huán)流量為0，即流體流動時不成旋渦，這時稱向量場A為無旋場.注：旋度與坐標(biāo)系的選擇無關(guān).在場V中任意取一點M0,通過M0作平面π垂直于曲面S的法向量n0,且在π上圍繞M0作任一封閉曲線L,記L所圍區(qū)域為D，則有==.又由中值定理有=(rotA·n0)M*μ(D)=,其中μ(D)為區(qū)域D的面積,M*為D中的某一點.∴(rotA·n0)M*=.當(dāng)D收縮到點M0(記作D→M0)時,有M*→M0,即有(rotA·n0)=.左邊為rotA在法線方向上的投影，即為旋度的另一種定義形式.右邊的極限與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，所以rotA與坐標(biāo)系選取無關(guān).物理意義：=(rotA·n0)M*μ(D)=,表明向量場在曲面邊界線上的切線投影對弧長的曲線積分等于向量場旋度的法線投影在曲面上對面積的曲面積分.即流體的速度場的旋度的法線投影在曲面上對面積的曲面積分等于流體在曲面邊界上的環(huán)流量.剛體旋轉(zhuǎn)問題：設(shè)一剛體以角速度ω繞某軸旋轉(zhuǎn)，則角速度向量ω方向沿著旋轉(zhuǎn)軸，其指向與旋轉(zhuǎn)方向的關(guān)系符合右手法則，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋轉(zhuǎn)方向.若取定旋轉(zhuǎn)軸上一點O作為原點，則剛體上任一點P的線速度v可表示為v=ω×r,其中r=是P的徑向量.設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y,z),便有r=(x,y,z),設(shè)ω(ωx,ωy,ωz),∴v=(ωyz-ωzy,ωzx-ωxz,ωxy-ωyx),∴rotv=(2ωx,2ωy,2ωz)=2ω或ω=rotv.即線速度向量v的旋度除去,就是旋轉(zhuǎn)的角速度向量ω.也即v的旋度與角速度向量ω成正比.基本性質(zhì)：rotA=▽×A.1、若u,v是向量函數(shù),則(1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v；(2)▽(u·v)=u×(▽×v)+v×(▽×u)+(u·▽)v+(v·▽)u；(3)▽·(u×v)=v·(▽×u)-u·(▽×v)；(4)▽×(u×v)=(v·▽)u-(u·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是數(shù)量函數(shù),A是向量函數(shù),則▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是數(shù)量函數(shù),A是向量函數(shù),則(1)▽·(▽×A)=0,▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A.證：1、記u(P1(x,y,z),Q1(x,y,z),R1(x,y,z)),v(P2(x,y,z),Q2(x,y,z),R2(x,y,z)),則(1)▽×(u+v)==+=▽×u+▽×v.(2)∵▽(u·v)=▽(P1P2+Q1Q2+R1R2)==.又u×(▽×v)=u×=.v×(▽×u)=.(u·▽)v=v=(v·▽)u=;∴▽(u·v)=u×(▽×v)+v×(▽×u)+(u·▽)v+(v·▽)u.(3)∵▽·(u×v)=▽·(Q1R2-R1Q2,R1P2-P1R2,P1Q2-Q1P2)==.又v·(▽×u)=v·=;u·(▽×v)=;∴▽·(u×v)=v·(▽×u)-u·(▽×v).(4)∵▽×(u×v)=▽×(Q1R2-R1Q2,R1P2-P1R2,P1Q2-Q1P2)==;又(v·▽)u=;(u·▽)v=;(▽·v)u=u=;(▽·u)v=;∴▽×(u×v)=(v·▽)u-(u·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、記φ=φ(x,y,z),A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),則▽×(φA)===φ+=φ(▽×A)+▽φ×A.3、記φ=φ(x,y,z),A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),則(1)▽·(▽×A)=▽·====0.▽×▽φ=▽×==0.(2)▽×(▽×A)=▽×==;又▽(▽·A)=▽=,=;▽2A=△A=;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A.五、管量場與有勢場概念：對無源場A，即divA=0，由高斯公式知，此時沿任何閉曲面的曲面積分都為0，這樣的向量場稱為管量場.因為在向量場A中作一向量管，即由向量線圍成的管狀曲面，用斷面S1,S2截它，以S3表示所截出的管的表面，即得到由S1,S2,S3圍成的封閉曲面S，于是有=++=0.又由向量線與曲面S3的法線正交知,=0.∴+=0,即+.等式說明，流體通過向量管的任意斷面流量相同,∴稱場A為管量場.如例2，由梯度所成的引力場F是管量場.概念：對無旋場A，即rotA=0，由斯托克斯公式知，這時在空間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于0，該向量場稱為有勢場.因為當(dāng)rotA=0時，由定理22.7推得此時空間曲線積分與路線無關(guān),且有u(x,y,z),使得du=Pdx+Qdy+Rdz,即gradu=(P,Q,R),u稱為勢函數(shù).所以，若向量場A的旋度為0，則必存在某勢函數(shù)u，使得gradu=A.這也是一個向量場是某個數(shù)量場的梯度場的充要條件.例1中引力勢u=就是勢函數(shù).∴▽u=F=-.又▽×▽u≡0,∴▽×F=0,它也是引力場F是有勢場的充要條件.若向量場A既是管量場，又是有勢場，則稱其為調(diào)和場.例2中的引力場F就是調(diào)和場.若A是一個調(diào)和場，則必有▽·A=0,▽u=A.顯然▽·▽u=▽2u=△u=0,即必有勢函數(shù)u滿足=0,這時稱函數(shù)u為調(diào)和函數(shù).習(xí)題1、若r=,計算▽r,▽r2,▽,▽f(r),▽rn(n≥3).解：∵=,=,=,∴▽r==(x,y,z);記u=r2=x2+y2+z2,∵=2x,=2y,=2z,∴▽r2=▽u=2(x,y,z);記v=,∵=-,=-,=-,∴▽=▽v=(x,y,z);∵=f’(r),=f’(r),=f’(r),∴▽f(r)=f’(r)(x,y,z);∴▽rn=nrn-1=nrn-2(x,y,z),(n≥3).2、求u=x2+2y2+3z2+2xy-4x+2y-4z在O(0,0,0),A(1,1,1),B(-1,-1,-1)處的梯度，并求梯度為0的點.解：∵=2x+2y-4,=4y+2x+2,=6z-4,∴在O(0,0,0),gradu=(-4,2,-4);在A(1,1,1),gradu=(0,8,2);在B(-1,-1,-1),gradu=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0,4y+2x+2=0,6z-4=0,解得x=5,y=-3,z=,∴在(5,-3,),|gradu|=0.3、證明梯度的基本性質(zhì)1~5.證：見梯度的基本性質(zhì).4、計算下列向量場A的散度與旋度：(1)A=(y2+z2,z2+x2,x2+y2)；(2)A=(x2yz,xy2z,xyz2)；(3)A=.解：(1)∵P=y2+z2,Q=z2+x2,R=x2+y2；∴divA=(y2+z2)+(z2+x2)+(x2+y2)=0；又(x2+y2)-(z2+x2)=2y-2z;(y2+z2)-(x2+y2)=2z-2x;(z2+x2)-(y2+z2)=2x-2y.∴rotA=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x2yz,Q=xy2z,R=xyz2；∴divA=(x2yz)+(xy2z)+(xyz2)=6xyz；又(xyz2)-(xy2z)=x(z2-y2);(x2yz)-(xyz2)=y(x2-z2);(xy2z)-(x2yz)=z(y2-x2).∴rotA=(x(z2-y2),y(x2-z2),z(y2-x2)).(3)A=.∵P=,Q=,R=；∴divA=++=；又-=;-=;-=.∴rotA=.5、證明散度的基本性質(zhì)1~3.證：見散度的基本性質(zhì).6、證明旋度的基本性質(zhì)1~3.證：見旋度的基本性質(zhì).7、證明：場A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有勢場并求其勢函數(shù).證：P=yz(2x+y+z),Q=zx(x+2y+z),R=xy(x+y+2z),[xy(x+y+2z)]-[zx(x+2y+z)]=x2+2xy+2xz-x2-2xy-2xz=0;[yz(2x+y+z)]-[xy(x+y+2z)]=2xy+y2+2yz-2xy-y2-2yz=0;[zx(x+2y+z)]-[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z2-2xz-2y